RBNS的線性預(yù)測模型

RBNS的線性預(yù)測模型

1引言非壽險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金是保險(xiǎn)公司最主要的負(fù)債項(xiàng)目，責(zé)任準(zhǔn)備金評(píng)估的充足性和準(zhǔn)確性，分別構(gòu)成了保險(xiǎn)公司履行保險(xiǎn)賠付責(zé)任的能力和經(jīng)營成本的重要基礎(chǔ)，尤其是準(zhǔn)備金的充足性更是成為保險(xiǎn)監(jiān)管部門的重點(diǎn)監(jiān)管目標(biāo)之一。保險(xiǎn)公司非壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)準(zhǔn)備金包括未到期責(zé)任準(zhǔn)備金（notincurred，簡記為NI）和未決賠款準(zhǔn)備金（指保險(xiǎn)公司為尚未結(jié)案的賠案而提取的準(zhǔn)備金）。而未決賠款準(zhǔn)備金又包括已發(fā)生已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金（reportedbutnotsettled，業(yè)界通稱RBNS）和已發(fā)生未報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金（incurredbutnotreported，業(yè)界通稱IBNR）。IBNR是指對(duì)那些到當(dāng)前會(huì)計(jì)日或精算評(píng)估日（簡稱currentinstant）已經(jīng)發(fā)生但還沒有報(bào)告給保險(xiǎn)公司的賠案而提取的責(zé)任準(zhǔn)備金，而RBNS是指對(duì)那些到當(dāng)前會(huì)計(jì)日或精算評(píng)估日已經(jīng)報(bào)告給保險(xiǎn)公司但還沒有結(jié)案的賠案而提取的責(zé)任準(zhǔn)備金。對(duì)于未決賠款準(zhǔn)備金，人們提出了許多確定性和隨機(jī)性的方法來對(duì)它進(jìn)行預(yù)測和估計(jì)。這些傳統(tǒng)的準(zhǔn)備金評(píng)估方法都是基于聚合數(shù)據(jù)（aggregatedata）的，因而，Tayloretal.（2003）稱它們?yōu)榫酆纤髻r模型（aggregateclaimsmodels），相關(guān)內(nèi)容可以參見綜述EnglandandVerrall（2002）、Tayloretal.（2003）及WüthrichandMerz（2008）。然而，由于聚合數(shù)據(jù)模型使用的數(shù)據(jù)是對(duì)單個(gè)時(shí)間周期（通常為一年）內(nèi)的所有個(gè)體索賠數(shù)據(jù)的加總，因而必然會(huì)部分地丟失個(gè)體數(shù)據(jù)中所含的有用信息，這就將使得傳統(tǒng)的聚合索賠模型沒有充分地利用歷史數(shù)據(jù)所提供的完整信息，對(duì)準(zhǔn)備金進(jìn)行有效的預(yù)測，因此對(duì)于準(zhǔn)備金的厘定，用基于單個(gè)索賠的個(gè)體數(shù)據(jù)比用聚合數(shù)據(jù)更為有效（可以參見EnglandandVerrall（2002）和Tayloretal.（2003））。實(shí)際上，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)來看，這是顯然的，因?yàn)閿?shù)據(jù)的簡單加總不一定能夠保證信息的完好保存，或者，用統(tǒng)計(jì)的術(shù)語來說，傳統(tǒng)的聚合索賠模型中所用數(shù)據(jù)一般不是原始數(shù)據(jù)的充分統(tǒng)計(jì)量。基于上述的觀察，人們提出了一些基于個(gè)體數(shù)據(jù)的準(zhǔn)備金模型，Tayloretal.（2003）稱這樣的模型為個(gè)體索賠模型（individualclaimsmodel）。下面是該方法的一些值得一提的結(jié)果。Antonioetal.（2006）用基于縱向數(shù)據(jù)的廣義線性混合模型（GLMM：generalizedlinearmixedmodels）來預(yù)測已報(bào)告未結(jié)案的準(zhǔn)備金（RBNS）。Jewell（1989，1990）用齊次Poisson過程來刻畫索賠發(fā)生過程，Norberg（1993）提出用標(biāo)值Poisson過程（markedPoissonprocesses）來刻畫索賠過程，Norberg（1999），Larsen（2007），HaastrupandArjas（1996）和Neuhaus（2004）是Norberg（1993）模型的進(jìn)一步研究。本文把線性預(yù)測理論引入到RBNS的厘定當(dāng)中來，是基于個(gè)體索賠數(shù)據(jù)的一個(gè)模型，也就是說，是一個(gè)個(gè)體索賠模型。在本文的模型中，不需要假定其前兩階矩的形式，更不需要對(duì)索賠數(shù)據(jù)的具體分布進(jìn)行假設(shè)，而只需假設(shè)個(gè)體索賠數(shù)據(jù)的前兩階矩存在，這在實(shí)際生活當(dāng)中不失為一個(gè)合理的假設(shè)。與此同時(shí)，該模型能給出預(yù)測的均方誤差，這在準(zhǔn)備金的厘定過程中甚至對(duì)整個(gè)公司的全面管理都是非常有用的。該方法具有成本低、費(fèi)時(shí)少、可操作性強(qiáng)等特點(diǎn)。在文章的最后，基于準(zhǔn)備金厘定文獻(xiàn)中常用的分布假設(shè)進(jìn)行數(shù)據(jù)模擬，然后對(duì)模擬數(shù)據(jù)用線性預(yù)測方法和經(jīng)典的鏈梯法同時(shí)對(duì)RBNS進(jìn)行預(yù)測，并把它們與準(zhǔn)備金真實(shí)值進(jìn)行對(duì)比，模擬結(jié)果表明，本文提出的方法是一個(gè)行之有效的方法。2數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)及模型假設(shè)及總準(zhǔn)備金注釋2.11.我們?cè)谶@里假定了索賠進(jìn)展的最大年份是n+1，對(duì)于規(guī)定了最遲結(jié)案時(shí)間的險(xiǎn)種，這是現(xiàn)實(shí)的；如果沒有最大結(jié)案年限的限制，則結(jié)案時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量，比如說T，我們總是可以選取足夠大的n，使得概率P（T＞n+1）的值充分小到可以容忍的程度，使得本文所得到的方法可以認(rèn)為是真實(shí)模型的一個(gè)近似。而且，最大結(jié)案時(shí)間也是傳統(tǒng)的鏈梯法一直采用的假定，我們這里采用這個(gè)假定，除了數(shù)學(xué)上的方便之外，一個(gè)附帶的好處是容易與鏈梯法直接進(jìn)行對(duì)比。2.我們明白本模型的一個(gè)嚴(yán)重的不足是，忽視了索賠是否已經(jīng)結(jié)案。在精算的評(píng)估日，一個(gè)案例是否已經(jīng)結(jié)案是已知的，這個(gè)信息在這里被忽略了。為了個(gè)體數(shù)據(jù)模型能夠得到更準(zhǔn)確的預(yù)測，這個(gè)問題將是我們進(jìn)一步研究的課題。本模型在實(shí)際應(yīng)用中的一個(gè)修正方法是：對(duì)已經(jīng)結(jié)案的索賠不再預(yù)測其將來的索賠（或者說，將其準(zhǔn)備金預(yù)測為0，但是這樣做的合理性有待進(jìn)一步思考）。3.除此之外，本模型的假定可以說是相當(dāng)弱。3線性預(yù)測及其均方誤差3.2均值向量和協(xié)方差陣的估計(jì)此時(shí)，誤差項(xiàng)滿足下面的關(guān)系來估計(jì)。4.2模擬結(jié)果為了驗(yàn)證本文研究的個(gè)體索賠的線性預(yù)測方法的可行性、有效性、方法的廣泛性及穩(wěn)定性，接下來，本文將對(duì)多元正態(tài)分布、Direchlet分布和代表重尾分布的多元對(duì)數(shù)正態(tài)分布產(chǎn)生的隨機(jī)模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。步驟如下：首先產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，然后再用傳統(tǒng)的鏈梯法和本文的線性預(yù)測方法分別對(duì)準(zhǔn)備金進(jìn)行預(yù)測，再把兩種方法預(yù)測得到的總準(zhǔn)備金和模擬得到的總準(zhǔn)備金真實(shí)值進(jìn)行對(duì)比。4.2.1幾點(diǎn)說明（1）假設(shè)計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的模擬數(shù)據(jù)的含義為0-9年間所有個(gè)體索賠案件，對(duì)于每個(gè)案件，我們假設(shè)其進(jìn)展年為0-9年。假設(shè)這些個(gè)體案件在各個(gè)進(jìn)展年的賠付額由計(jì)算機(jī)根據(jù)相應(yīng)分布假設(shè)一次性產(chǎn)生，并根據(jù)其報(bào)告年把未觀察到的部分作為準(zhǔn)備金真值予以保留，用來和各方法的預(yù)測值比較；（2）在線性預(yù)測方法中，出現(xiàn)個(gè)別個(gè)體總準(zhǔn)備金為負(fù)的情況，此時(shí)，我們令其在各個(gè)進(jìn)展年的準(zhǔn)備金為0；（3）模擬和計(jì)算產(chǎn)生的所有數(shù)據(jù)均采用四舍五入的方法保留四位小數(shù)；4.2.2多元正態(tài)分布情形假設(shè)各進(jìn)展年的增量索賠數(shù)據(jù)服從多元正態(tài)分布，均值向量為[69.48，56.91，54.58，65.61，72.83，32.53，22.24,34.53，33.04,35.58]，各進(jìn)展年的標(biāo)準(zhǔn)差分別為[15.115，13.069，16.631，14.364，13.506,9.739,7.119,9.246，11.506，11.155]，各發(fā)生年的個(gè)體索賠次數(shù)分別為[25，20，35，15，40，13，28，23，34，25]。我們選取三個(gè)相關(guān)系數(shù)矩陣（來自于Timm（1970）），分別代表各進(jìn)展年的增量索賠數(shù)據(jù)弱相關(guān)、一般相關(guān)和強(qiáng)相關(guān)，以此來考察方法的適應(yīng)性。4.2.3多元對(duì)數(shù)正態(tài)分布情形假設(shè)這里的多元對(duì)數(shù)正態(tài)分布數(shù)據(jù)是由多元正態(tài)分布數(shù)據(jù)通過對(duì)數(shù)變換得到，先要得到多元正態(tài)分布數(shù)據(jù)，設(shè)其均值向量為[6.948，5.691，5.458，6.561，7.283，3.253，2.224，3.453，3.304，3.558]，各進(jìn)展年的標(biāo)準(zhǔn)差分別為[1.5115，1.3069，1.6631，1.4364，1.3506，0.9739，0.7119，0.9246，1.1506，1.1155]，各發(fā)生年的個(gè)體索賠次數(shù)分別為[25，20，35，15，40，13，28，23，34，25]。和多元正態(tài)分布一樣，我們?nèi)匀豢紤]三種情形：情況1：用來產(chǎn)生對(duì)數(shù)正態(tài)分布的正態(tài)分布的相關(guān)系數(shù)矩陣取多元正態(tài)情形1中的弱相關(guān)陣；情況2：用來產(chǎn)生對(duì)數(shù)正態(tài)分布的正態(tài)分布的相關(guān)系數(shù)矩陣取多元正態(tài)情形2中的一般相關(guān)陣；情況3：用來產(chǎn)生對(duì)數(shù)正態(tài)分布的正態(tài)分布的相關(guān)系數(shù)矩陣取多元正態(tài)情形3中的強(qiáng)相關(guān)陣。4.2.4Dirichlet分布情形對(duì)于Dirichlet分布情形，我們也考慮三種情況：情況1：用來產(chǎn)生dirichlet分布的gamma分布的形參：[2.55，3.12，5，2.11，3.29，1.54，3.11，3.28，1.7，3.92]，尺度參數(shù)為2，索賠的程度用參數(shù)為1000的指數(shù)分布來模擬，各報(bào)告年的個(gè)體索賠次數(shù)分別為：[25，20,35，15,40，13，28，23，34，25]；情況2：其他同情況1，但是增大后面幾個(gè)進(jìn)展年所占的比例，把用來產(chǎn)生dirichlet分布的gamma分布的形參改為：[2.55，3.12，5，2.11，3.29，1.54，5.67，6.78，6.81，5.22]；情況3：其他同情況1，增大靠后面的報(bào)告年的個(gè)體索賠次數(shù)，以使得總準(zhǔn)備金的不確定性更大，各報(bào)案年的個(gè)體索賠次數(shù)改為[25，20，35，15，40，13，45，44，34，45]。4.2.5模擬結(jié)果分析·除多元正態(tài)中的第二種情形外，多次模擬下，由線性預(yù)測方法給出的準(zhǔn)備金誤差平方的平均值總是小于由鏈梯法給出的準(zhǔn)備金誤差平方的平均值。這三者都表明，相對(duì)于鏈梯法而言，線性預(yù)測法給出了更加接近總準(zhǔn)備金真實(shí)值的預(yù)測值。5結(jié)束語針對(duì)傳統(tǒng)的聚合索賠模型的缺點(diǎn)，本文提出了一個(gè)基于個(gè)體數(shù)據(jù)的線性預(yù)測模型。該模型的假定可以說是相當(dāng)?shù)厝?，它不需要?duì)數(shù)據(jù)的矩進(jìn)行假設(shè)，更不需要對(duì)數(shù)據(jù)的分布進(jìn)行假設(shè)，而只需假設(shè)個(gè)體索賠之間獨(dú)立同分布。因而該模型具有適用范圍廣，簡單易操作等特點(diǎn)。由于本文的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和模型假設(shè)可以納入單調(diào)缺失數(shù)據(jù)下的回歸模型框架下，因而本文采用了單調(diào)缺失數(shù)據(jù)回歸模型的EGLS估計(jì)方法對(duì)未知的均值和協(xié)方差進(jìn)行了估計(jì)。并且，在文章的最后，我們通過隨機(jī)模擬把該方法與著名的鏈梯法進(jìn)行了對(duì)比，模擬結(jié)果顯示，本文提出的方法