兩個平面平行的性質(zhì)定理的教學(xué)實錄與反思

“兩個平面平行的性質(zhì)定理”的教學(xué)實錄與反思

一、基本情況1.學(xué)情分析2005年的姜堰市第二中學(xué)高二(9)班，是學(xué)校理科素質(zhì)較好的班級。該班學(xué)生上課思維活躍，敢于質(zhì)疑，相互研究、交流的氛圍濃，并勇于表達(dá)自己的思想。由于我在教學(xué)過程中重視學(xué)生的探索活動的展開和思維過程的暴露，學(xué)生已習(xí)慣于開放性地學(xué)習(xí)新知識：不看教材中的現(xiàn)成答案，只看研究的內(nèi)容或教材中的問題情境，再開始探究性的思維活動。在前面學(xué)習(xí)“直線與平面平行的性質(zhì)定理”內(nèi)容時，我就讓學(xué)生先研究問題“如果直線α∥平面α，你能得到哪些結(jié)論？（即直線與平面平行的性質(zhì)）”，而學(xué)生已經(jīng)得到了不少的結(jié)果。因為證明這些命題需要一些當(dāng)時還沒有學(xué)習(xí)過的知識（如線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理），我就讓學(xué)生記下這些命題，留待學(xué)習(xí)了后面的相關(guān)內(nèi)容后加以證明。最后從逆命題的角度審視“線面平行的判定定理”（多數(shù)性質(zhì)下，性質(zhì)定理與判定定理是成對出現(xiàn)的），進(jìn)而研究了“線面平行的性質(zhì)定理”。2.教材分析(1)面面關(guān)系的基礎(chǔ)是公理2。從兩個平面的位置關(guān)系看，公理2是兩種位置關(guān)系的分類標(biāo)準(zhǔn)；從研究兩個平面的位置關(guān)系的理論依據(jù)看，公理2為判斷兩個平面平行提供了最初的根據(jù)：沒有公共點，也為兩個平面相交關(guān)系的研究與應(yīng)用提供了方法基礎(chǔ)（判定面面相交，只要確定它們有公共點即可；證明空間點共線、線共面都可轉(zhuǎn)化為運用公理2，而作線面交點、面面交線的依據(jù)也都是公理2）。事實上，兩個平面平行的判定定理和性質(zhì)定理成立的基礎(chǔ)都是公理2。(2)“兩個平面平行的性質(zhì)定理”是在學(xué)習(xí)了空間直線的位置關(guān)系（包括公理4）、直線與平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，對平行關(guān)系而言是對線線平行、線面平行以及面面平行三種位置關(guān)系的知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行系統(tǒng)建構(gòu)的時機。(3)面面平行的位置關(guān)系所具有的性質(zhì)是研究平面與平面之間的度量關(guān)系的轉(zhuǎn)化依據(jù)（兩個平行平面之間的距離可以轉(zhuǎn)化為線線距、點線距；面面角可以通過面面平行的性質(zhì)進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化）。教學(xué)目標(biāo)：(1)通過對兩個平行平面的性質(zhì)的探求，掌握兩個平行平面之間的基本性質(zhì)，建構(gòu)這些性質(zhì)之間的邏輯關(guān)系；(2)掌握兩個平面平行的性質(zhì)定理及其證明方法；(3)能初步運用兩個平面平行的性質(zhì)定理證明一些簡單問題。教學(xué)重點：(1)兩個平面平行的性質(zhì)定理及其證明；(2)兩個平行平面的性質(zhì)及其之間的關(guān)系的探究；(3)兩個平面平行的性質(zhì)定理的建構(gòu)過程；(4)初步運用兩個平面平行的性質(zhì)定理證明一些簡單問題。教學(xué)難點：(1)兩個平行平面的性質(zhì)及其之間的關(guān)系的探究；(2)兩個平面平行的性質(zhì)定理的建構(gòu)過程。二、教學(xué)過程師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩個平面的位置關(guān)系及兩個平面平行的判定定理。請大家回憶一下，空間中兩個平面有哪些位置關(guān)系？如何判定？生1：空間兩個平面有兩種位置關(guān)系：相交和平行。當(dāng)兩個平面有公共點時，它們就相交，并且所有的公共點都在同一條直線上，這條直線就稱為這兩個相交平面的交線；如果兩個平面沒有公共點，那么就說這兩個平面平行。判定兩個平面相交只要證明它們有公共點就可以了；判定兩個平面平行通常用兩個平面平行的判定定理。師：是否還有其他想法？生2：可以用教材上的例1的結(jié)論證明面面平行：垂直于同一直線的兩個平面互相平行。師：很好！你們能將上面的平面與平面的位置關(guān)系、判定兩個平面平行的判定定理用適當(dāng)?shù)膱D形表示出來嗎？能根據(jù)圖形用符號語言加以表述嗎？（學(xué)生紛紛思考、動手作圖。最后我請了兩個學(xué)生分別作出表示面面相交、面面平行的圖形，另請2個學(xué)生分別作出兩個平面平行的判定定理和教材例1的示意圖，并請他們用符號語言表述相應(yīng)的內(nèi)容。）師：以上是我們上節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容。根據(jù)我們的經(jīng)驗，接下來我們應(yīng)該研究怎樣的問題呢？生3：兩個平面平行的性質(zhì)定理。師：為什么要研究這個問題呢？生3：我們以前學(xué)習(xí)幾何時，在學(xué)習(xí)過判定定理后都是接著學(xué)習(xí)性質(zhì)定理的。師：經(jīng)驗倒挺豐富呢！其實，我們構(gòu)造任何數(shù)學(xué)模型，都是為了解決相應(yīng)的實際或數(shù)學(xué)問題，為此，就必須了解數(shù)學(xué)模型所具有的性質(zhì)、特征。幾何如此，代數(shù)、三角也是如此。現(xiàn)在請思考：平行平面有哪些性質(zhì)呢？（學(xué)生開始思考，大約五、六分鐘后有些學(xué)生開始相互討論，大約經(jīng)過了八分鐘的時間，我請學(xué)生匯報研究“成果”。）生4：當(dāng)兩個平面平行時，其中一個平面內(nèi)的直線都平行于另一個平面。（接著請他畫出了相應(yīng)的示意圖，即圖1。）圖1師：你是怎么想到的？生4：我是由兩個平面平行的定義得到的：如果平面α∥平面β，直線a平面α，那么由平面α與β沒有公共點可知直線a與平面β也沒有公共點。師：非常好！這就是這個命題的證明。我們不妨將其記作“性質(zhì)1”。（讓這個學(xué)生寫出相應(yīng)的證明過程。）生2：分別位于兩個平行平面內(nèi)的兩條直線，或互相平行，或相互異面。師：為什么？生2：因為這兩個平面互相平行，所以它們沒有公共點，故而，分別位于這兩個平面內(nèi)的直線就一定沒有公共點了。師：很好！這兩條直線只有兩種可能的位置關(guān)系：平行或異面。換句話說，就是：如果這兩條直線共面，那么，它們就一定平行。于是這兩條直線可以看成第三個平面與這兩個平面的交線，從而可以將這個命題表述為：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線互相平行。（我將這性質(zhì)記為“性質(zhì)2”，并寫在黑板上。）師：好，下面請大家將所有的“發(fā)現(xiàn)”都展示出來。生5：當(dāng)兩個平面平行時，一個平面內(nèi)的所有點到另一個平面的距離都相等。（性質(zhì)3）生1：兩條平行直線被兩個平行平面截得的線段長相等。（性質(zhì)4）生6：如果兩個平面互相平行，那么當(dāng)?shù)谌齻€平面平行于其中一個平面時，也平行于另一個平面。（性質(zhì)5）生7：一條直線若垂直于兩平行平面中的一個平面，一定也垂直于另一個平面。（該生還敘述了下面一個性質(zhì)：一個平面若垂直于兩平行平面中的一個平面，一定也垂直于另一個平面。我說明：面面垂直是后面要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，本節(jié)課上暫不研究）。（性質(zhì)6）生8：如果一條直線和兩個平行平面中的一個平面相交，那么也一定和另一個平面相交（性質(zhì)7(1)）；如果一個平面和兩個平行平面中的一個平面相交，那么也一定和另一個平面相交（性質(zhì)7(2)）……（學(xué)生邊敘述，我邊板書，并從生5的發(fā)現(xiàn)起分別記為“性質(zhì)3”、“性質(zhì)4”、“性質(zhì)5”、……）師：好的，我們發(fā)現(xiàn)了這么多的“性質(zhì)”，現(xiàn)在的問題是：你準(zhǔn)備選擇哪個或哪些作為兩個平面平行的性質(zhì)定理呢？部分學(xué)生：最重要的！另有學(xué)生：最基本的！師：究竟哪個是最“重要”的呢？“重要”的標(biāo)準(zhǔn)是什么？哪個最“基本”？“基本”的標(biāo)準(zhǔn)又是什么呢？不妨請大家將這些“性質(zhì)”證明一下。其中學(xué)生8提出的事實上是兩個命題，這兩個命題的證明相對復(fù)雜一些，暫不作要求。（分組證明，并請各組派代表到黑板上寫出本組負(fù)責(zé)的命題的證明過程。在獨立思考、小組合作及老師的適當(dāng)點撥下，各組基本上完成了本組命題的證明）師：請大家認(rèn)真分析每個組的證明過程，首先，證明是否正確？其次，你能從這些證明過程中看出這些“性質(zhì)”中哪個最重要、最基本？（學(xué)生經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)：從“性質(zhì)3”到“性質(zhì)7”，每個證明過程都需要經(jīng)歷性質(zhì)2的證明過程，于是大家會心地笑了起來：用性質(zhì)2作為兩個平面平行的性質(zhì)定理最合理?。煟汉玫模∥易鹬卮蠹业囊庖?，我們的教材也尊重了你們的意見，就用性質(zhì)2作為兩個平面平行的性質(zhì)定理?。ò鍟n題，再作出圖示，板書定理，分別用自然語言、符號語言進(jìn)行表述，再讓學(xué)生寫出規(guī)范的證明過程。）師：請大家再類比直線與平面的位置關(guān)系中的相關(guān)研究，從性質(zhì)3引出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念。生5：兩個平行平面的距離的概念：我們將一個平面內(nèi)的點到另一個平面的距離稱為這兩個平行平面的距離。（在學(xué)生5的基礎(chǔ)上，我讓學(xué)生看教材第32頁：兩個平行平面的公垂線、公垂線段及兩個平行平面的距離等概念，并寫到黑板上。）師：好了，現(xiàn)在我們完成本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)：兩個平面平行的性質(zhì)定理。下面我們再回顧一下學(xué)習(xí)過程。（回顧過程略）下面請大家再來研究學(xué)生8提出的性質(zhì)7。（我引導(dǎo)學(xué)生：如果不相交會出現(xiàn)什么情況呢？學(xué)生思考、討論后，通過反證法加以解決。證明過程中均用到了兩個平行平面的性質(zhì)定理，再次強化了性質(zhì)定理的基礎(chǔ)性、重要性。過程略。）師：下面我們布置課后作業(yè)：作業(yè)1。現(xiàn)在我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了線線平行、線面平行和面面平行的所有內(nèi)容，空間平行的三種位置關(guān)系之間有怎樣的內(nèi)在聯(lián)系？如果可能，可以用一個圖表表示這種聯(lián)系。作業(yè)2。教材第32頁習(xí)題9.5第6、第9題。三、回顧與反思1.設(shè)計思路在設(shè)計本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)過程時，我決定運用以探究為主的發(fā)現(xiàn)法教學(xué)方法，讓學(xué)生經(jīng)歷探究與發(fā)現(xiàn)的過程。主要依據(jù)有以下幾個方面：一是基于我對學(xué)生的了解。這個班級的學(xué)生是我從高一帶上來的，我知道他們的已有經(jīng)驗、能力完全能夠勝任發(fā)現(xiàn)法學(xué)習(xí)所需要的條件。二是基于我對數(shù)學(xué)教學(xué)的基本認(rèn)識：數(shù)學(xué)教學(xué)既要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，又要培養(yǎng)學(xué)生主動探究的思維習(xí)慣，還要感受數(shù)學(xué)的基本思想，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)。本節(jié)課的實踐表明：發(fā)現(xiàn)法的學(xué)習(xí)過程不僅讓學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)與建構(gòu)過程，而且充分體會了數(shù)學(xué)知識體系的建構(gòu)原則（一種在公理化思想指導(dǎo)下的，努力追求理論結(jié)構(gòu)中基礎(chǔ)原理的“經(jīng)濟性原則”）：兩個平面平行時可以有很多性質(zhì)，為什么要選取“這一個”作為“性質(zhì)定理”呢？這個性質(zhì)定理與其他性質(zhì)之間必然存在內(nèi)在聯(lián)系，而正是這種內(nèi)在聯(lián)系決定了它們在知識結(jié)構(gòu)上的邏輯關(guān)系，這種知識結(jié)構(gòu)上的邏輯關(guān)系也就決定了學(xué)生學(xué)習(xí)時完全可以實現(xiàn)思維結(jié)構(gòu)上的邏輯關(guān)聯(lián)，于是就能夠?qū)崿F(xiàn)知識結(jié)構(gòu)與思維結(jié)構(gòu)的有機統(tǒng)一。三是經(jīng)歷性質(zhì)定理的“選擇”過程不僅是一個發(fā)現(xiàn)的過程，不僅有助于學(xué)生從整體上建構(gòu)數(shù)學(xué)知識體系，也不僅是對學(xué)生思維的有益訓(xùn)練，更是讓學(xué)生在經(jīng)歷了“數(shù)學(xué)”的建構(gòu)的過程中感受數(shù)學(xué)的“理性”精神。四是將教學(xué)過程設(shè)計成數(shù)學(xué)研究方法的學(xué)習(xí)過程。事實上，大量的已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗已能夠讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)研究的一種重要的程序（圖2）。圖2五是將知識體系的建構(gòu)貫穿學(xué)習(xí)過程的始終。首先是對已經(jīng)學(xué)習(xí)過的相關(guān)知識的回顧，這不僅是為學(xué)習(xí)新知識做準(zhǔn)備，也是讓學(xué)生將這些內(nèi)容作為一個完整的知識體系來認(rèn)識（概念—判定—性質(zhì)）；其次，參與建構(gòu)兩個平面平行的性質(zhì)的邏輯結(jié)構(gòu)體系（思維過程：大量性質(zhì)—最基本的性質(zhì)；邏輯結(jié)構(gòu)：最基本的性質(zhì)—大量性質(zhì)）；最后，讓學(xué)生對所有學(xué)習(xí)過的平行關(guān)系（線線、線面、面面平行）之間的相互關(guān)系進(jìn)行梳理、整理，建立更大系統(tǒng)內(nèi)的結(jié)構(gòu)體系。2.反思從教學(xué)的過程與結(jié)果看，這節(jié)課基本實現(xiàn)了我的設(shè)計意圖。課堂進(jìn)展順利，學(xué)生都能夠通過自身的努力和合作、交流有所收獲，幾乎每個學(xué)生都得到了自己“發(fā)現(xiàn)”的兩個平面平行的性質(zhì)，也都經(jīng)歷了從很多的性質(zhì)到合理“選擇”出“性質(zhì)定理”的過程。這節(jié)課的收獲不僅是知識的增加，思維的訓(xùn)練和素養(yǎng)的提升（這些當(dāng)然都很重要），更重要的是學(xué)生都有成就感：自己不僅“發(fā)現(xiàn)”了很多的知識，而且通過自己的努力建立了數(shù)學(xué)的知識體系。由于時間有限，未能讓學(xué)生都經(jīng)歷各個已探知的“性質(zhì)”的證明過程，從而降低了對“共同需求”或“共同起點”的強烈“沖擊”的感受。如果這種感受足夠強烈，