DSP技術(shù)與DSP芯片第2章2

《數(shù)字信號處理》2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析本節(jié)討論離散信號與離散系統(tǒng)的頻域分析和頻域處理的理論與方法。其主要內(nèi)容是Z變換和傅里葉變換，Z變換在離散信號與離散系統(tǒng)中所起的作用相當(dāng)于拉氏變換在連續(xù)信號與連續(xù)系統(tǒng)中所起的作用。它可以使分析過程大為簡化，特別是在離散信號的處理和離散系統(tǒng)的設(shè)計與實現(xiàn)中，Z變換的作用更為突出。而離散信號通過傅里葉變換得到頻域分布，也就是信號的頻譜，它反映了構(gòu)成信號的頻率成分和大小，離散系統(tǒng)的頻率特性分析與實現(xiàn)也可通過傅里葉變換完成。2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析2.2.1序列的Z變換及Z反變換1.Z變換的定義序列的Z變換定義為記為其中z為復(fù)變量，寫成復(fù)數(shù)的形式為，為數(shù)字域頻率若n的取值范圍為時，這樣的Z變換稱為雙邊Z變換若n的取值范圍為，這樣的變換稱為單邊Z變換2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析單邊Z變換

序列Z變換是復(fù)變量z的冪級數(shù)，序列是冪級數(shù)的系數(shù)。對于因果序列，雙邊Z變換等于單邊Z變換。

Z變換的正變換（ZT）2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析Z變換的反變換是已知Z變換的表達(dá)式和收斂域，求序列的過程，其定義為曲線積分路徑是在收斂域范圍內(nèi)一條包含坐標(biāo)圓點的逆時針閉合曲線Z變換的反變換（IZT）2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析2.Z變換的收斂域由序列Z變換的定義可以看出Z變換是復(fù)變量的冪級數(shù)，要使Z變換有意義，需要使復(fù)變量z的取值保證冪級數(shù)收斂。在復(fù)平面上使冪級數(shù)收斂的所有z的取值，稱為Z變換的收斂域，而級數(shù)收斂的判斷方法一般有根值法和比值法，可以用這些方法求出Z變換的收斂域。

2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析根值法：對于一正項級數(shù)，若的n次根的極限為R，則對該級數(shù)收斂的判斷為2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析比值法：對于一正項級數(shù)，若與之比，當(dāng)時極限為R，則對該級數(shù)收斂的判斷為2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析由級數(shù)收斂的理論可知，任意序列Z變換存在的充分條件是級數(shù)滿足絕對可和，即由此條件求解得到的z變量的取值范圍也為Z變換的收斂域，在復(fù)平面上一般收斂域用環(huán)狀表示。即2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析例2-14

求序列的Z變換及收斂域解：由級數(shù)收斂判斷的比值法知，當(dāng)，即時，級數(shù)收斂，則該序列的Z變換和收斂域為2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析例2-15

求序列的Z變換及收斂域解：當(dāng)，即時，級數(shù)收斂，則該序列的Z變換和收斂域為2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析以上兩例題說明：兩個序列不同，Z變換的表達(dá)式可能相同，但收斂域不同，因此求一個序列的Z變換，需要求出Z變換的表達(dá)式及收斂域，缺一不可。序列的特性對其Z變換的收斂域是有影響的，下面討論序列的n取值與其Z變換的收斂域關(guān)系的四種情況。2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析（1）為有限長序列

若序列滿足序列僅在有限的區(qū)間內(nèi)有非零值，這種序列稱為有限長序列。

該類序列的Z變換為也為有限項。對于的冪級數(shù)，為系數(shù)，冪級數(shù)的收斂域與、的取值有關(guān)。、的取值有三種可能性。2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析1）若Z變換包括z的正冪項和負(fù)冪項級數(shù)前項中，n取負(fù)數(shù)，相當(dāng)于，要滿足收斂，z不能取無窮大。后項中，n取正數(shù)，相當(dāng)于，要滿足收斂，z不能取0，取其它的z值都能保證冪級數(shù)收斂，所以該情況下收斂域為。2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析2）若

Z變換是關(guān)于z的負(fù)冪項級數(shù)，其相當(dāng)于，要滿足收斂，z不能取0，取其它的z值都能保證冪級數(shù)收斂，所以該情況下收斂域為。2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析3）若

Z變換是關(guān)于z的正冪項級數(shù)，相當(dāng)于，要滿足收斂，z不能取無窮大，取其它的z值都能保證冪級數(shù)收斂，所以該情況下收斂域為。2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析例2-16

求序列的Z變換及收斂域解：因為、的取值范圍為：，因此收斂域為。需要說明的是式中似乎存在使分母為零的點，但經(jīng)化簡可以得到分子與分母的項能夠抵消，即零點與極點可以抵消，所以極點只有，收斂不能包含。

2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析（2）為右邊序列若序列滿足即序列在范圍內(nèi)有非零值，稱為右邊序列。該類序列的Z變換為右邊序列Z變換收斂域的求取，根據(jù)的位置，可分如下兩種情況：2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析1）若其中第一項為有限長序列，收斂域為，第二項為因果序列，是關(guān)于z的負(fù)冪項級數(shù)2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析利用式根值法，級數(shù)收斂需滿足的條件為即可解得其收斂域為，為收斂半徑。將兩項的收斂域求交集，可求得右邊序列Z變換的收斂域為，是復(fù)平面半徑為圓的外側(cè)，但不包含無窮大點，如圖所示。2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析2）若由前面所述，其收斂域為即收斂域包含無窮大點2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析例2-17

求序列的Z變換及收斂域解：由根值法可求收斂域滿足即，是以為半徑的圓外。2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析（3）為左邊序列

若序列滿足即序列在范圍內(nèi)有非零值，稱為左邊序列。

該類序列的Z變換為左邊序列Z變換收斂域的求取，根據(jù)的位置，可分如下兩種情況求解：2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析1）若第一項是關(guān)于z的正冪項級數(shù)，即利用根值法，級數(shù)收斂需滿足的條件為可解得2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析則收斂域為，為收斂半徑式中第二項為有限長序列，其收斂域為。將兩項的收斂域求交集，可得到左邊序列Z變換的收斂域為，為復(fù)平面半徑為圓的內(nèi)側(cè)，但不包含零點，如圖所示。2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析2）若Z變換僅包括上式第一項z的正冪項級數(shù)，其收斂域為，即收斂域包含零點。如圖所示2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析例2-18

求序列的Z變換及收斂域解：收斂域滿足即，是以為半徑的圓內(nèi)。極點為，收斂域以極點為界，根據(jù)序列特性，可直接求出收斂域為。2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析（4）為雙邊序列如果序列滿足n在～范圍內(nèi)都有數(shù)值，稱為雙邊序列。該類序列的Z變換為以為界，將上式分為兩個單邊序列的和第一項是左邊序列，收斂域為，為收斂半徑第二項為右邊序列，其收斂域為2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析將兩項的收斂域求交集，得到雙邊序列Z變換的收斂域為，是復(fù)平面半徑為圓的外側(cè)，半徑為圓的內(nèi)側(cè)，如圖

所示。如，兩項的收斂域無交集，則雙邊序列的Z變換不收斂。2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析例2-19

求序列的Z變換及收斂域，。解：收斂域滿足和，即

2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析3.典型序列的Z變換（1）單位采樣序列

收斂域為Z全平面（2）單位階躍序列收斂域為（3）斜變序列2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析該式的求解，可以對單位階躍序列的Z變換兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得到等式兩邊同乘，得到上式第一項即為斜變序列Z變換的定義，所以收斂域為上述方法是求解序列Z變換的常用方法，同樣還可以計算、……的Z變換。2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析（4）指數(shù)序列1）右邊指數(shù)序列收斂域為2）左邊指數(shù)序列

收斂域為3）雙邊指數(shù)序列收斂域為2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析（5）正、余弦序列、因為單邊指數(shù)序列的Z變換為令代入上式得令代入右邊指數(shù)序列并求Z變換，得到2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析根據(jù)歐拉公式可得到單邊正、余弦序列的Z變換為

收斂域為2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析4.Z反變換Z反變換就是已知Z變換的表達(dá)式和收斂域，求序列的過程曲線積分路徑是在收斂域范圍內(nèi)一條包含坐標(biāo)圓點的逆時針閉合曲線

2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析被積函數(shù)為，通常求Z反變換不直接計算閉合曲線積分，而采用留數(shù)法、冪級數(shù)展開法、部分分式展開法。（1）留數(shù)法根據(jù)復(fù)變函數(shù)的留數(shù)定理，求的曲線積分，可改求閉合曲線內(nèi)部極點的留數(shù)，即式中有理函數(shù),表示在閉合積分曲線c包圍內(nèi)的極點，表示極點的留數(shù)。2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析1）若為在閉合曲線c內(nèi)的一階極點，留數(shù)的計算方法為：2）若為在閉合曲線c內(nèi)的S階重極點，留數(shù)的計算方法為：上式計算比較麻煩。如果分母的階次比分子階次高二階以上，且在復(fù)平面內(nèi)只有有限個孤立極點，可由留數(shù)輔助定理完成閉合曲線積分。2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析根據(jù)留數(shù)輔助定理，函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所有各極點(包括無窮大點)的留數(shù)的總和等于零，即其中為閉合積分曲線c內(nèi)的全部極點數(shù)，為閉合積分曲線c外的全部極點數(shù)。這樣就可用閉合曲線外所有點的留數(shù)來求出閉合曲線內(nèi)的留數(shù)之和，得到Z的反變換,即式中表示函數(shù)在閉合積分曲線c外的極點，表示極點的留數(shù)。2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析例2-20

已知，求解：n的取值不同，函數(shù)的極點也不同

單極點

n重極點

單極點綜合兩種情況2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析（2）冪級數(shù)展開法由Z變換的定義式可以看出，是關(guān)于Z的冪級數(shù)，冪級數(shù)的系數(shù)即為，可以用長除法的方式將展開成冪級數(shù)的形式，就相當(dāng)于求出了Z反變換值。注意：要根據(jù)收斂域的不同，先判斷出所求序列為左邊序列或者右邊序列，然后計算出變量的升冪或者降冪級數(shù)，從而整理出。2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析例2-23

已知，，求解:由于的收斂域是,為右邊序列,需求Z的降冪級數(shù)。2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析（3）部分分式展開法計算左邊序列和右邊序列Z變換的計算式為左邊序列右邊序列可以看出序列Z變換最基本的形式是，所以求Z反變換時，只要將的表達(dá)式展開為項相加的形式，直接就可以寫出對應(yīng)序列的表達(dá)式。若展開式包括的S階極點，則要用留數(shù)定理法計算該極點的反變換值。2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析例2-25

已知，，求解：

由收斂域可知，待求序列為雙邊序列，的兩個極點為3和5，這樣可以判斷第一項為右邊序列的Z變換值，第二項為左邊序列的Z變換值，從而得到2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析5.常用序列Z變換表2-1是常用序列的Z變換，在求它們的Z變換或反Z變換時可直接查表。

表略2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析6.Z變換的基本性質(zhì)（1）線性性若則其中兩個序列和的變換等于兩個序列變換的和，收斂域是原來兩個序列收斂域的公共部分，若兩個序列的收斂域沒有公共部分，則和的變換不存在。

2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析（2）Z變換的時域移位特性Z變換的時域移位特性要分為雙邊Z變換和單邊Z變換討論。1）雙邊Z變換的時域移位特性若序列移位后，的Z變換為2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析2）單邊Z變換的時域移位特性若，序列移位后，的Z變換為序列移位后，收斂區(qū)域不改變2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析(3)線性加權(quán)若則

2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析(4)指數(shù)加權(quán)若則序列指數(shù)加權(quán)后收斂區(qū)間發(fā)生變化2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析(5)初值定理若因果序列的Z變換，則2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析(6)時域卷積定理若

則其中序列時域卷積后，收斂區(qū)域變?yōu)樵瓋尚蛄惺諗繀^(qū)域的公共部分。2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析(7)Z域卷積定理若則2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析例2-27

已知，，，求解：2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析7.利用Z變換解差分方程差分方程在時域中可用遞推法求解，在復(fù)頻域中可利用Z變換來求解。系統(tǒng)差分方程的一般形式若2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)解，零狀態(tài)解與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān)，僅由輸入決定

反變換

2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析若稱為系統(tǒng)的零輸入解，零輸入解與系統(tǒng)的輸入無關(guān)，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)決定單邊Z變換

2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析例2-28

已知某離散線性時不變系統(tǒng)的差分方程為且，初始條件為當(dāng)時，求輸出序列。解：對差分方程兩邊進行Z變換由因為，則，又由因果序列得到收斂域為求反變換此解為零狀態(tài)解，系統(tǒng)的零輸入解為0。2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析若將上述系統(tǒng)的初始條件改為，當(dāng)時解：對差分方程兩邊進行Z變換由代入為n從-1開始的右邊序列收斂域2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析2.2.2序列的傅里葉變換(DTFT)1.序列的傅里葉變換（DTFT）定義傅里葉變換存在的必要充分條件為序列絕對可和

傅里葉正變換（DTFT）

傅里葉反變換（IDTFT）

2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析例2-29

設(shè)，求的DTFT解：

重要結(jié)論？

2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析2.Z變換與DTFT的關(guān)系即Z平面單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換

同樣得到序列Z變換的反變換與傅里葉反變換的關(guān)系2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析3．序列傅里葉變換的性質(zhì)（1）周期性由

得到

M為整數(shù)，由上式可以看出序列的傅里葉變換是頻率的周期函數(shù)，周期為

2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析（2）線性性若序列的DTFT為

序列的DTFT為則序列的DTFT為

2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析（3）時移特性若

則時移特性為2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析（4）頻移特性若

則頻移特性為2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析（5）對稱性1）時域?qū)ΨQ性若滿足則

共軛對稱序列共軛反對稱序列即實部偶對稱，虛部奇對稱實部奇對稱，虛部偶對稱

2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析任意序列都可以用共軛對稱序列和共軛反對稱序列的和來表示，即2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析2）頻域?qū)ΨQ性2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析由上述推導(dǎo)可得出如下結(jié)果：對應(yīng)關(guān)系序列的共軛對稱部分傅里葉變換結(jié)果的實部序列共軛反對稱部分序列傅里葉變換的虛部序列的實部序列傅里葉變換的共軛對稱部分序列的虛部序列傅里葉變換的共軛反對稱部分2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析（6）時域卷積定理若則（7）頻域卷積定理若則（8）帕斯維爾定理2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析2.2.3離散系統(tǒng)的傳輸函數(shù)及系統(tǒng)函數(shù)1、離散系統(tǒng)的傳輸函數(shù)及系統(tǒng)函數(shù)的定義定義為系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，它表示了系統(tǒng)的頻率特性定義為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它表示了系統(tǒng)的復(fù)頻率特性2.2離散信號（序列）與離散系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)函數(shù)也可用系統(tǒng)的