立體幾何垂直證明題常見模型及方法

立體幾垂證明題見型及方證明空間線面垂直需注意以下幾點：①由已知想性質(zhì)，由求證想判,即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。②立體幾何論證題的解答中，利用題設條件的性質(zhì)適當添加輔助(或面）是解題的常用方法之一。③明確何時應用判定定理，何時應用性質(zhì)定,用定理時要先申明條件再由定理得出相應結(jié)論。垂轉(zhuǎn)：線直

線垂

面垂;直○

等（等三角形中的中線錯

錯錯錯ABCD1111

中O為面ABCD的中心E為

CC1

，求證：

AOE1（2異面垂直（利用線面垂直來證明，高考中的意圖）例1

在正四面體ABCD中，求證BD變式如，在四棱錐

P

中，底面

是矩形,已知PAPD2,PAB

．證明：

ADPB

;

'錯111'錯111111變式如，在邊長為的正方形中點E是AB的點，點是BC的點，eq\o\ac(△,)AED,分沿DEDF折，使,兩重合于AA求證

A'

EF

；E

DB

變式如，在三錐

PABC

中，⊿

PAB

是等邊三角形，∠=∠o明⊥利用線面例2

ABCD1111

中，O為面ABCD中心E為

CC1

，求證：A面BDE1變式：

ABCD1111

中,，求證：

AC平面11變式：如圖：直三棱柱ABC－ABC中=AA，∠ACB為的中點D點上且DE=錯。求證：CD⊥平面A;

變式3：如圖，在四面體ABCD中,O、分別是BD、BC的點

CACDBD2,

A求證：面BCD;DOBEP,AD∥,ABCDADAB3

C

PAC

PA

DE錯

B

例在三棱錐—ABC中底面ABC,面面PBC求：BC面PAC

。方法點撥：此種情形,條件中含有面面垂直。變式，在四錐面PAB底面BCD

求：

BC面AB變式：

B，B，類型：面面垂直的證.(本質(zhì)上是證明線面垂直）例1如，已知面ACD，DEADDE，為的中點。

平面

ACD

eq\o\ac(△,,)

ACD

為等邊三角形，

E）求：AF//平BCE;（2求證：平面面CDE;

AC

F

D例2

如圖，在四棱錐中，底面，AB，ACCDPAABBC（1證明CDAE（）證明面ABE；

，是PC中點．PEAD變式1已直四棱柱ABCD—A′B′C′D的底面是菱形,

B60

E分是棱CC與′上的且EC=BC．（求證:平面⊥平面′C′；

舉一反三設M表平面，a、b表直線，給出下列四個命:①

aba

②

abM

//

③

aMa

∥

④

a//ba其中正確的命題是(）A①②B①②③。②③④D。①②④。下列命題中正確的是（)若條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條直,這條直線垂直于這個平面若條線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這條直線垂直于這個平面C。一條直線平行于一個平面，則垂直于這個平面的直線必定垂直于這條直線若條直線垂直于一個平面，垂直于這條直線的另一條直線必垂直于這個平面如圖所，在正方形ABCD中EF分是AB、的點現(xiàn)在沿、及把△ADE△CDF和△BEF折起，使、BC三點重合重合后的點記為P。那么，在四面體PDEF中必（)A.DP平面PEFB.⊥面PEFC.PM⊥平面DEFD。PF⊥平面DEF設a是異面直線，下列命題正確的（)A過不在、上的一點一可以作一條直線和a、b都交B過不在a、b上一點一可以作一個平面和、b都垂直C。a一定可以作一個平面與垂D。a定可以作一個平面與b平

第圖如果直線lm與面α,,γ足:l=βγ，lα，αm⊥γ，那必有(）αγ且l⊥Bα⊥γ且m∥βmβ且l⊥αβ且α⊥γ。AB是圓的直徑是圓周上一點PC垂直于圓所在平若，，則P到AB的離為（）A1B。C.

235(

有三個題：①垂直于同一個平面的兩條直線平行；②過平面α的一條斜線l有且僅有一個平面與α垂直；③異面直線a、b不直那么過任一個平面與b都垂直其中正確命題的個數(shù)為(）A.0B。1C。2是面直線ab的垂線，平面α、β滿足aα，bβ，則下面正確的結(jié)論是）Aα與β必相交且交線∥d或m與重αβ相交且交線mdm與不重合C。與β必相交且交線m與定不平行αβ不一定相交。設l、為直線，α為平面，且l⊥α，給出下列命題

．．．1．．．11①若mα，則∥；②若⊥l，m∥α；③若∥α，則ml；④若ml則m⊥α，其中真命題的序號是（)A①②③①④C②③④D①③④。已知直線l⊥平面α，線平面β給出下列四個命:①若α∥β，則l；②若α⊥β，則lm;若l∥m則α⊥;若l，則α∥β其中正確的命題是(

）③④B.①與③二思激

②④

D。①②11。如圖所示，ABC是角三角形是邊，三個頂點在平面的同,它們在α內(nèi)的射影分別為′，B′，′，如果eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)′B′′是正三角形，且AA′＝3cmBB′＝5cmCC＝4cm，則eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)′′′的面積是。第11題

第題圖第題圖所,在直四棱柱D-ABCD中當?shù)酌嫠倪呅蜛BCD足條件有ACD（:上你認為正確的一種條件即可,必考慮所有可能的情形）圖示棱錐V三條側(cè)棱VBVC之滿足條件有VCAB.(注填上你認為正確的一種條件即可）三能提

時，時，如所三棱錐—中,AH側(cè)面VBC且H是△VBC的心是邊的高。）求證⊥AB；（若二面角——的小為30,求VC與面所成角的大.第14題15.如圖所示，PA矩形所平面、分是、的點

1111111111111（1求證:∥面。(2)求證：⊥.(3)若∠PDA＝45，求證:MN平面.。如圖所示，在四棱錐P—中底面是平行四邊形，∠BAD＝°AB＝4，＝2側(cè)棱PB15

PD＝

(1)求證：BD⊥平面PAD）若PD與面成60的角試求二面角—BC-A的小。

第15題圖第16題知直三棱柱ABC-A中∠ACB=90°∠BAC°=1AA的中點，求證：⊥A．

M是CC如圖所示方體—′′′′的棱長為aM是AD的點是BD上一點且D′N∶＝∶與BD于P.）求證⊥面。）求平面與面′DD所的角。（求點C到面D′的離第18題圖

=11111=11111第4課線垂習解。A兩行中有一條與平面垂直，則另一條也與該平面垂直垂于同一平面的兩直線平行。由線面垂直的性質(zhì)定理可.3.A折⊥，⊥，PE。4.D過a上一點作直線′∥b，則ab確定的平面與直線b平5.A依題,⊥且α則必有α⊥γ為l=∩γ則有l(wèi)γ⊥γl⊥m，故選A。。D過P作PD⊥于D，連，則CD⊥AB，=AC

AC，AB5∴PD

PC

5

。由定理及性質(zhì)知三個命題均正確。8.A顯α與β不平行。。垂于同一平面的兩直線平行，兩條平行線中一條與平面垂直，則另一條也與該平面垂直。10B∵∥βlα，∴⊥m。

cm2

設正三角A′B′′的邊長為a.∴AC2

=a，=a22+4,又AC2

BC2=

，∴a2．

eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)C

32

cm212直棱柱ABCD—中底面四邊形滿條件AC（或任何能推導出這個條件的其它條例如ABCD是方形，形等）時，有C⊥D(：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情。點：13⊥VA，VCAB.由⊥，⊥AB知⊥平面。14(1)明：H為△的垂心，∴VC⊥，又AH⊥面VBC∴為線AB在面上射,∴⊥.（2)解由（知⊥AB⊥，∴VC平面在平面上作ED，又AB⊥VC∴⊥面。

22∴⊥CD∴∠為二面角—-C的面角，∴∠°，∵⊥平面,∴在面上的射影為?！唷蠟榕c面所成角，又VCAB⊥∴VC面，∴VCDE∴∠°，故∠ECD=60°，∴VC與所成角為60。15證明：(1）如圖所示取中點，連結(jié),EN1則有EN∥AB∥AM，EN＝CD＝AB＝AM故AMNE為行四邊.2∴∥AE.∵平PADMN平面，∴MN∥平面PAD.）∵⊥平面ABCD，∴⊥AB.又AD⊥，∴AB⊥平面∴⊥AE，即⊥。又CD，∴⊥.（3PA平面ABCD，∴⊥.又∠PDA°E為PD的中點?！唷?，即MNPD又MN⊥，∴⊥面。如圖（1)證由已知AB，AD２∠BAD＝60°，

第題圖解故BD

＝

AB-2ADcos60＝×××

12

＝。又AB

＝2，∴△是直角三角形，∠ADB＝°，即AD⊥BD在△中＝3

，PB15

BD＝12,∴＝2，故得⊥.又PD∩ADD∴BD平面PAD。（2由⊥平面PADBD平。∴平面⊥面ABCD作PE⊥AD于,又PE平PAD，∴⊥平面ABCD∴∠是PD與面ABCD成的角。

第題圖解∴∠PDE°，∴＝PD°3作EF⊥BC于F連PF則⊥BF∴∠PFE二面角—BCA的面角。又EF＝＝12，eq\o\ac(△,Rt)中3∠＝3

3。2

111111111111111111111111111111111111111111111121故二面角P——的大小為arctan

AC連結(jié)，MC1

36

2

CC1CA1

2∴eq\o\ac(△,Rt)∽eq\o\ac(△,Rt)，∴∠=∠MA，∴∠A+AC=∠MC+∠MA=90.∴M⊥AC，又ABC為直三棱柱，∴⊥BC，CC，∴B⊥平面AC。由三垂線定理知AB⊥M。點1111111A118）明：在正方形中∵△MPD∽△CPB，且MD＝

12

，∴DPPB＝MD∶＝∶又已知DN∶＝∶，由平行截割定理的逆定理得NP∥DD，又DD⊥平面ABCD,∴NP平面ABCD.∵∥DD′∥′，∴NP、CC′在同一平面內(nèi)，CC′為平面與面CC′D′D成二面角的棱。又由CC′⊥平面，得′，CC⊥CM，∴∠為二面角的平面角.在eq\o\ac(△,Rt)MCD中知1∠＝，為所求二面角的大2由已知棱長為a可得等△面＝,腰′面積S＝離為h,即為三棱錐CDMB的。1Sh，∵三棱錐D′—體為23

設所求距∴h

12

63

a

空間中的計算基礎技能篇類型一:點到面的距離方法1：直接法把點在面上的射影查出來，然后在直角三角形中計算例1：在正四面體，邊長為a，求點A到面BCD的距離。變式在正四棱錐中，底面ABCD邊長為側(cè)棱長為b。求頂點V到底面ABCD的距離.變式2正四棱錐，底面ABCD長為側(cè)棱長為b.求頂點A到底面VCD的距離。方法2：等體積法求距離—--在一個三棱錐中利用體積不變原理，通過轉(zhuǎn)換不同的底和高來達到目的.例2

已知在三棱錐VABC中，VA,VB,VC兩兩垂直，VA=VB=3，求點V到面ABC的距離。變式：

如圖所示的多面體是由底面為

ABCD

的長方體被截面

1

所截而得到的，其中

ABBCBE1

．（1)

BF

的長;(2）求點

C

到平面

1

的距離．

．．．．變式如，在四錐OABCD中底ABCD是四邊長為的菱形，

4

OA

面

，

OA2

．求點B到面OCD的距離．

變式3正四面體ABCD，邊長為，求它的內(nèi)切求的半徑。類型二：其它種類的距離的計算(點到線,點到點）

例3如棱

OABCD

中ABCD四邊長為1的形ABC

4

，

OA面ABCD,OA2

，M為中點,AM和A到直線距離．

舉一反三1．正三棱錐P—ABC高側(cè)與底面所成角為，則點到面PBC的距離是A．

B．

C．6D．

62．如圖，已知正三棱柱

ABC1

的底面邊長為1,高為8，一質(zhì)點自點出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩到達

1

點的最短路線的長為A．10．20C．30．40二、填空題：3．太陽光照射高為3m的竿,它在水平地面上的射影為1m，同時，照射地面上一圓時，如圖所示，其影子的長度AB等于3cm，則該球的積為_________．4．若一個正三棱柱的三視圖如圖所,則這個正三棱柱的高和底面邊長分別_．2主視圖三、解答題：

左視圖

俯視圖

CC5．已知正三棱柱ABC—ABC的棱長和底面邊長均為，M底面BC邊上的中點N是側(cè)