空間角的求法

空間角的法一異直所角求平法常見三種平移方法：直接平移；中位線平移（尤其是圖中出現(xiàn)了中點(diǎn)形平移法形”立體幾何中一種常見的方法，通過補(bǔ)形，可將問題轉(zhuǎn)化為易于研究的幾何體來處理，利用“補(bǔ)形法”兩異面直線所成的角也是常用的方法之一。（1）直接平移法例1如，PA

矩形ABCD，已知，BC=10，求AD成角的正切值

425

）NC

B例1

例

A

M

例（2）中位線平移法：構(gòu)造

找中位線然后利用中位線的性,異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面問,解

求之。例2設(shè)是三角形ABC所平面外的一點(diǎn)＝SBSC，且ASB＝BSCCSA＝

MN分是和中點(diǎn)，求異面直線SM與BN所的角的弦值

105

）（3）補(bǔ)形平移法：在已知圖形外補(bǔ)作個相同的幾何體，以利于找出平行線。例3在方體

ABCDD

中，

E

是

的中點(diǎn)，求直線AC與ED所成角的余弦值

105

）二線角三求1.直法平面的斜線與斜線在平面內(nèi)的射影所成的角即為直線與平面所成的角。通常是解由斜線段，垂線段斜線在平面內(nèi)的射影所組成的直角三角形，垂線段是其中最重要的元素，它可以起到聯(lián)系各線的作用。例面體ABCS中SASB，兩垂直，∠，SBC=60°，M為的點(diǎn)，求）與平面SAB所的角60°）（2）與平面ABC所的角

77

）C

例1

A

D

3

2B

C

H

S

A

M

B

A

4D1例

1

H

B

1

C

1

O

例

線”是相對的，是的垂線，又是面ABC的線。作的垂線常根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，其思路是：先找出與已知平面垂直的平面，然后一面內(nèi)找出或作出交線的垂線，則得面的垂線2.利公

hl

其中

是斜線與平面所成的角，

h

是垂線段的長，

l

是斜線段的長，其中求出垂線段的長（即斜線上的點(diǎn)到面的距離）既是關(guān)鍵又是難點(diǎn)，為此可用三棱錐的體積自等來求垂線段的。例2長體ABCD-ABCD中，，AA=4，求AB與CD所的角的正弦值1111

45

）3.利公

cos

：圖，若OA平面的一條斜線O為足，OB為OA在面的影為面內(nèi)的一條直中為與所成的角，為OA與OB所成的角，即線面角，為與OC所的角，那么cos

，它揭示了斜線和平面所成的角是這條斜線和這個平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角（常稱為最小角定理）例3已直線OA，兩所成的角為60°求直線OA與OBC所的角的余弦值

）二二角四求1.定法一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面這直線叫做二面角的,這個半平面叫做二面角的面，在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小是二面角的平面角。本定義為解題提供了添輔助線的一種規(guī)律中二面角—AM—B中半平面ABM上一已知B）向棱AM作線垂半平面ASM內(nèi)該垂F作棱AM垂如GF條垂BF、GF便形成該二面角的一個平面角，再在該平面角內(nèi)建立一個可解三角形，然后借助直角三角函數(shù)、正弦定理與余弦定理解題。例1如棱錐中為形SD底M是棱SC中點(diǎn)AD

2

，DCSD

，

ABM

=60，求二面角

S

的大小

）

D

CA

BE例

D

1

C

1例2A

1

B

1

例

三線法三垂定理：在平面內(nèi)的一條直，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．通常當(dāng)點(diǎn)在一個半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小。本定理亦提供了另一種添輔助線的一般規(guī)律。如（例）在證明AD平面PAB，容易發(fā)現(xiàn)平面PAB⊥面ABCD點(diǎn)P就是面角P-BD-A半平面上的一個點(diǎn)于是可過點(diǎn)P作棱BD的線再平面ABCD的垂線，于是可形成三垂線定理中的斜線與射影內(nèi)容，從而可得本解法。例如，棱錐ABCD中底面是矩形．且AB，AD，，PD22

，

（Ⅰ）求異面直線

PC

與

AD

所成的角的大小；（Ⅱ）求二面角

BDA

的正切值

）補(bǔ)法：本是針對在解構(gòu)成二面角的兩個半平面沒有明確交線的求二面角題目時，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整使之有明確的交稱補(bǔ)棱借前述的定義法與三垂線法解題當(dāng)平面沒有明的交線時，一般用補(bǔ)棱法解決例3如圖E正方體ABCDABD的棱CC的點(diǎn)求平面E和底面ABCD所銳角的余弦（111111

23

）4.射面（

cos

SS

射影斜面

面的圖形中含有可求原形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式

SS

射斜

）求出二面角的大小。練習(xí)：如，在三棱錐

P

中，

AC

，

90

，

AB

，

PCAC

．（Ⅰ）求證：PC）二面角P

BAP

的余弦值的大?。?/p>

P

OA

BC

B

C

A

C2空四邊形

中

題BC

,

C平面

,

ACBC

,

M

B(1)求PB與平面PAC所成的角；求和面所成的角

3三錐,

PAPBPC,AC

求

PA

和底面

所成的角如圖，二面角－l－大小是60°，線段ABBl與l成的角為，

則AB與面成的角的正弦值是

5三錐中OA,OB,OC兩兩垂直,M是AB邊的求和平ABC成角的大小五錐中，面//CD/ED/BC,4502,BCAE

，三角形ＰＡＢ是等腰三角形①求證：平面ＰＣＤ

平面ＰＡＣ②求直線ＰＢ和平面ＰＣＤ所成的角大小P(第7題)A

E

B

題

C

D

A

F

B7如，四面體的棱長都相等，如果、分別為SC、中點(diǎn)，求異面直線EF與所的角．如，四凌錐pABCD，底面ABCD矩形上ABCD為PD的。（I）證明：PB//平面(II設(shè)置1，AD=3,三棱錐P-ABD的積V=

，求A到面PBC的離。如，四棱錐

PABCD

的底面是平行