高等數(shù)學(xué)有理式的不定積分方法

高等數(shù)學(xué)有理式的不定積分方法第一頁，共三十頁，2022年，8月28日部分分式:第二頁，共三十頁，2022年，8月28日

有理函數(shù)積分法第三頁，共三十頁，2022年，8月28日第四頁，共三十頁，2022年，8月28日如果有一個(gè)重實(shí)根,則的部分分式中一定包含下列形式的項(xiàng)部分分式之和:如果中包含因子時(shí),則的部分分式中一定包含下列形式的項(xiàng)部分分式之和:第五頁，共三十頁，2022年，8月28日

例如將真分式分解成部分分式.

第六頁，共三十頁，2022年，8月28日四種典型部分分式的積分:

變分子為再分項(xiàng)積分第七頁，共三十頁，2022年，8月28日第八頁，共三十頁，2022年，8月28日而最后一個(gè)積分可以用上上一節(jié)例6中的遞推公式.第九頁，共三十頁，2022年，8月28日說明:遞推公式已知利用遞推公式可求得例如,第十頁，共三十頁，2022年，8月28日例1求解第一種方法:待定系數(shù)法，可以用如下的方法求出待定系數(shù).上式通分后得比較恒等式兩端同次冪的系數(shù)，得一方程組：第十一頁，共三十頁，2022年，8月28日

從而解得故有

于是第十二頁，共三十頁，2022年，8月28日

化簡(jiǎn)并約去兩端的公因子后為得例2

求第二種方法(賦值法)第十三頁，共三十頁，2022年，8月28日兩端去分母,得或比較兩端的各同次冪的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)，有解之得解第十四頁，共三十頁，2022年，8月28日第十五頁，共三十頁，2022年，8月28日補(bǔ)例解第十六頁，共三十頁，2022年，8月28日例3

求解即有即第十七頁，共三十頁，2022年，8月28日用遞推公式求或第十八頁，共三十頁，2022年，8月28日第十九頁，共三十頁，2022年，8月28日

總之,有理函數(shù)分解為多項(xiàng)式及部分分式之和以后,各個(gè)部分都能積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).此外,由代數(shù)學(xué)知道,從理論上說,多項(xiàng)式Q(x)總可以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解成為一次因式及二次因式的乘積,從而把有理函數(shù)分解為多項(xiàng)式與部分分式之和.因此,有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).

但是,用部分分式法求有理函數(shù)的積分,一般說來計(jì)算比較繁,只是在沒有其它方法的情況下,才用此方法.例4

求解第二十頁，共三十頁，2022年，8月28日補(bǔ)例求解原式注意本題技巧按常規(guī)方法較繁第二十一頁，共三十頁，2022年，8月28日(1)三角有理式：

——由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)．三角函數(shù)有理式可記為2.三角函數(shù)有理式的不定積分(2)三角有理式的積分法：第二十二頁，共三十頁，2022年，8月28日令萬能替換公式：第二十三頁，共三十頁，2022年，8月28日例4求解令，則第二十四頁，共三十頁，2022年，8月28日注（1）用萬能代換一定能將三角函數(shù)有理式的積分化為有理函數(shù)的積分；（2）萬能代換不一定是最好的；（3）常用的將三角函數(shù)有理式的積分化為有理函數(shù)的積分的代換方法（非“萬能的”）：1）若R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx)，可取u=cosx

為積分變量；2）若R(sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx)，可取u=sinx

為積分變量；3）若R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx)，可取u=tanx

為積分變量.第二十五頁，共三十頁，2022年，8月28日例5求解第二十六頁，共三十頁，2022年，8月28日例6求解第二十七頁，共三十頁，2022年，8月28日例7求解注第二十八頁，共三十頁，2022年，8月28日3.某些根式的不定積分令令被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有