《畫(huà)法幾何及土木工程制圖》(第3版)22直線(xiàn)的投影

《畫(huà)法幾何及土木工程制圖》(第3版)22直線(xiàn)的投影第一頁(yè)，共59頁(yè)。HABbaCDcdEFe(f)

直線(xiàn)的投影特性：

一般來(lái)說(shuō)，直線(xiàn)的投影仍然為直線(xiàn)。當(dāng)直線(xiàn)垂直于投影面時(shí)，直線(xiàn)的投影則積聚為一點(diǎn)。直線(xiàn)對(duì)投影面的位置不同，直線(xiàn)可分為三類(lèi)：一般位置直線(xiàn)投影面平行線(xiàn)投影面垂直線(xiàn)——直線(xiàn)與三個(gè)投影面均傾斜?！本€(xiàn)平行于其中的一個(gè)投影面，傾斜于另外兩個(gè)投影面?！本€(xiàn)垂直于某一投影面。1、直線(xiàn)的投影第二頁(yè)，共59頁(yè)。a′b′b″a″baYHYWXZABabαβγa″b″a′b′ZXY

一般線(xiàn)的投影特性：

一般位置線(xiàn)的任何一個(gè)投影，均不反映直線(xiàn)的真長(zhǎng)，也不反映直線(xiàn)與投影面的傾角。一般位置線(xiàn)第三頁(yè)，共59頁(yè)。直線(xiàn)所平行的投影面不同，投影面平行線(xiàn)又可分為：水平線(xiàn)直線(xiàn)平行于H面，傾斜于V、W面。正平線(xiàn)直線(xiàn)平行于V面，傾斜于H、W面。側(cè)平線(xiàn)直線(xiàn)平行于W面，傾斜于H、V面。投影面平行線(xiàn)投影面平行線(xiàn)第四頁(yè)，共59頁(yè)。

水平線(xiàn)的投影特性：1.水平線(xiàn)的H投影反映真長(zhǎng)，真長(zhǎng)投影與OX夾角為β；與OY軸的夾角為γ；α=0°。2.水平線(xiàn)的V投影a’b’∥OX；W投影a”b”∥OY；a’b’b”a’baβγ反映真長(zhǎng)TLYHYWXZaa”a’b’Bb”AβγbZXY水平線(xiàn)第五頁(yè)，共59頁(yè)。

正平線(xiàn)的投影特性：1、正平線(xiàn)的V投影反映真長(zhǎng)，真長(zhǎng)投影與OX夾角為α；與OZ軸的夾角為γ;β=0°。2、正平線(xiàn)的H投影ab∥OX；W投影a″b″∥OZ；a′b′b″a″baγα反映真長(zhǎng)TLYHYWXZa′b′AabαBa″b″γZXY正平線(xiàn)第六頁(yè)，共59頁(yè)。a′b′b″a″baα反映真長(zhǎng)TLβYHYWXZa′b′AabαBa″b″βZXY

側(cè)平線(xiàn)的投影特性：1.側(cè)平線(xiàn)的W投影反映真長(zhǎng)，真長(zhǎng)投影與OY夾角為α；與OZ軸的夾角為β；γ=0°。2.側(cè)平線(xiàn)的V投影a′b′∥OZ；H投影ab∥OY；側(cè)平線(xiàn)第七頁(yè)，共59頁(yè)。按直線(xiàn)所垂直的投影面不同，投影面垂直線(xiàn)又可分為：鉛垂線(xiàn)直線(xiàn)垂直于H面，平行于V、W面。正垂線(xiàn)直線(xiàn)垂直于V面，平行于H、W面。側(cè)垂線(xiàn)直線(xiàn)垂直于W面，平行于H、V面。投影面垂直線(xiàn)投影面垂直線(xiàn)第八頁(yè)，共59頁(yè)。a′b′b″a″b(a)YHYWXZa′b′A(a)bBa″b″ZXY鉛垂線(xiàn)投影特性：1、鉛垂線(xiàn)的H投影積聚為一點(diǎn)；2、鉛垂線(xiàn)的V、W投影反映直線(xiàn)的真長(zhǎng)，且平行于OZ軸。鉛垂線(xiàn)第九頁(yè)，共59頁(yè)。b″a″a(b′)ba′YHYWXZa′(b′)Bb″Aaba″ZXY正垂線(xiàn)投影特性：1、正垂線(xiàn)的V投影積聚為一點(diǎn)；2、正垂線(xiàn)的H、W投影反映直線(xiàn)的真長(zhǎng)，且平行于OY軸。正垂線(xiàn)第十頁(yè)，共59頁(yè)。a′b′（b″）a″baYHYWXZa′b′AabBa″(b″)ZXY側(cè)垂線(xiàn)投影特性：1、側(cè)垂線(xiàn)的W投影積聚為一點(diǎn)；2、側(cè)垂線(xiàn)的V、H投影反映直線(xiàn)的真長(zhǎng)，且平行于OX軸。側(cè)垂線(xiàn)第十一頁(yè)，共59頁(yè)。ABCa(b)EFDedf直線(xiàn)上點(diǎn)的投影特性:1、直線(xiàn)上點(diǎn)的投影必定位于直線(xiàn)的同面投影上。2、直線(xiàn)上的點(diǎn)分割直線(xiàn)為兩段，則線(xiàn)段的空間之比等于它們的投影之比，即：

ED:DF=ed:df=e′d′:d′f′=e″d″:d″f″(c)2、直線(xiàn)上的點(diǎn)第十二頁(yè)，共59頁(yè)。a′b′abk′kk″a″b″X(qián)ZYHYWOK點(diǎn)在直線(xiàn)AB上【例題1】判定下題中，點(diǎn)K是否在直線(xiàn)AB上？第十三頁(yè)，共59頁(yè)。XYHYWZa′b′abk′ka″b″k″K點(diǎn)不在直線(xiàn)AB上O【例題2】判斷點(diǎn)K是否在直線(xiàn)AB上。第十四頁(yè)，共59頁(yè)。bXabaccaccbXOABbbaacCcHV【例題3】已知點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，求點(diǎn)C的正面投影。第十五頁(yè)，共59頁(yè)。aba′b′C

′cXO【例題4】試在直線(xiàn)AB上確定一點(diǎn)C，使AC:CB=2:3，求C點(diǎn)的兩面投影。第十六頁(yè)，共59頁(yè)。直角三角形法AB真長(zhǎng)αAB真長(zhǎng)βaba′b′ABabαβγb″a′b′ZXYa″△ZAB量取△ZAB△YAB量取△YAB3、一般線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)與傾角第十七頁(yè)，共59頁(yè)。

求解一般位置線(xiàn)段的實(shí)長(zhǎng)及其與投影面的夾角，是求解畫(huà)法幾何綜合題時(shí)經(jīng)常遇到的基本問(wèn)題之一。也是工程中經(jīng)常遇到的問(wèn)題。而用直解三角形法求解實(shí)長(zhǎng)、傾角又最為方便、簡(jiǎn)捷。一、直角三角形法的作圖要領(lǐng)：用線(xiàn)段在某一投影面上的投影長(zhǎng)作為一條直角邊，再以線(xiàn)段的兩端點(diǎn)相對(duì)應(yīng)于投影面的坐標(biāo)差作為另一直角邊，所作直角三角形的斜邊即為線(xiàn)段的實(shí)長(zhǎng)，斜邊與投影長(zhǎng)間的夾角即為線(xiàn)段與該投影響面的夾角。二、直角三角形的四個(gè)要素：實(shí)長(zhǎng)、投影長(zhǎng)、坐標(biāo)差及直線(xiàn)對(duì)投影面的傾角。已知四要素中的任意兩個(gè)，便可確定另外兩個(gè)。三、解題時(shí)：直角三角形畫(huà)在任何位置，都不影響解題結(jié)果。但用哪個(gè)長(zhǎng)度來(lái)作直角邊不能搞錯(cuò)。四、作圖1．求直線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)水平投影面的夾角角2．求直線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)正面投影面的夾角角3．求直線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)側(cè)面投影面的夾角角

例題1一般位置線(xiàn)段的實(shí)長(zhǎng)及其與投影面夾角的求解第十八頁(yè)，共59頁(yè)。在直角三角形中，一條直角邊為直線(xiàn)的投影長(zhǎng)，另一條直角邊為直線(xiàn)的坐標(biāo)差，則斜邊即為該直線(xiàn)的真長(zhǎng)；真長(zhǎng)與投影長(zhǎng)之間的夾角為直線(xiàn)與該投影面的傾角。真長(zhǎng)（TL)坐標(biāo)差△Z、△Y、△XH、V、W投影長(zhǎng)α、β、γ

直角三角形法第十九頁(yè)，共59頁(yè)。|zA-zB

|AB1．求直線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)水平投影面的夾角角|zA-zB|ABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab第二十頁(yè)，共59頁(yè)。2．求直線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)正面投影面的夾角

角|yA-yB|aXabbabABABab|yA-yB||yA-yB|AB|yA-yB|第二十一頁(yè)，共59頁(yè)。3．求直線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)側(cè)面投影面的夾角

角ABbbabaa|xA-xB||xA-xB|第二十二頁(yè)，共59頁(yè)。a|zA-zB|abABab|zA-zB|【例題5】已知線(xiàn)段實(shí)長(zhǎng)AB，且A點(diǎn)在B點(diǎn)前方，求它的水平投影。第二十三頁(yè)，共59頁(yè)?！纠}6】試在直線(xiàn)AB上其一點(diǎn)C，使AC=25mm，求點(diǎn)C的投影

aba′b′XOΔZAB=ΔZABC在A(yíng)B上量取AC=25mmcc′BA第二十四頁(yè)，共59頁(yè)?！纠}7】已知直線(xiàn)AB的V投影，且AB=40mm，求AB的H投影量取△YABR=40mm△YABa′b′ab第二十五頁(yè)，共59頁(yè)?！纠}8】已知直線(xiàn)AB的V投影，且β=30°，求AB的H投影。a′b′ab△YAB量取△YABβ第二十六頁(yè)，共59頁(yè)?！纠}9】已知直線(xiàn)AB的V投影，且α=30°,求AB的

H投影。a′b′abαΔzAB直線(xiàn)的H投影長(zhǎng)以直線(xiàn)的H投影長(zhǎng)為半徑，作圓弧直線(xiàn)AB真長(zhǎng)第二十七頁(yè)，共59頁(yè)。兩直線(xiàn)的相對(duì)位置兩直線(xiàn)交叉兩直線(xiàn)相交兩直線(xiàn)平行4、兩直線(xiàn)的相對(duì)位置第二十八頁(yè)，共59頁(yè)。

兩直線(xiàn)平行的投影特性：兩直線(xiàn)平行，則兩直線(xiàn)的同面投影相互平行。即AB∥CD，則：ab∥cd；a′b′∥c′d′；a″b″∥c″d″。xob′aa′d′bbcc′xob′a′abdc′d′cABCD兩直線(xiàn)平行第二十九頁(yè)，共59頁(yè)。abcdcabd對(duì)于一般位置直線(xiàn)，只要有兩個(gè)同名投影互相平行，空間兩直線(xiàn)就平行。AB//CD①【例題10】判斷圖中兩條直線(xiàn)是否平行第三十頁(yè)，共59頁(yè)。bdcacbaddbac對(duì)于特殊位置直線(xiàn)，只有兩個(gè)同名投影互相平行，空間直線(xiàn)不一定平行。求出側(cè)面投影后可知：AB與CD不平行。②求出側(cè)面投影如何判斷？【例題11】判斷圖中兩條直線(xiàn)是否平行第三十一頁(yè)，共59頁(yè)。ob’xa’abk’c’d’dckxoBDACKbb’aa’c’cdd’k’k兩直線(xiàn)相交的投影特性：兩直線(xiàn)相交，則兩直線(xiàn)的同面投影必定相交，且投影的交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律。兩直線(xiàn)相交第三十二頁(yè)，共59頁(yè)。●●cabbacdkkd先作正面投影【例題12】過(guò)C點(diǎn)作水平線(xiàn)CD與AB相交第三十三頁(yè)，共59頁(yè)。Ob’Xa’abc’d’dc11’(2’)2XOBDACbb’aa’c’cdd’211’(2’)21

兩直線(xiàn)交叉的投影特性：

既不滿(mǎn)足兩直線(xiàn)平行的投影特性,也不滿(mǎn)足兩直線(xiàn)相交的投影特性，均屬于兩直線(xiàn)交叉.兩直線(xiàn)交叉第三十四頁(yè)，共59頁(yè)。dbaabcdc’1(2)3(4)投影特性：★同名投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。★“交點(diǎn)”是兩直線(xiàn)上的一對(duì)重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線(xiàn)的空間位置?！瘛瘼?、Ⅱ是Ｖ面的重影點(diǎn)，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點(diǎn)。為什么？12●●3

4●●兩直線(xiàn)相交嗎？交叉兩直線(xiàn)的投影特性：第三十五頁(yè)，共59頁(yè)。交叉兩直線(xiàn)重影點(diǎn)投影的可見(jiàn)性判斷(3)41(2)43341212第三十六頁(yè)，共59頁(yè)?！纠}13】判斷兩直線(xiàn)的相對(duì)位置（方法一）Xa′ac′d′dcbb′od″c″a″b″YWYHZ兩直線(xiàn)交叉第三十七頁(yè)，共59頁(yè)?！纠}14】判斷兩直線(xiàn)的相對(duì)位置(方法二）cboa′ac′d′db′x1′1=1′d′=1′c′兩直線(xiàn)交叉第三十八頁(yè)，共59頁(yè)?！纠}15】作直線(xiàn)KL與AB、CD相交，且平行于EF直線(xiàn)。d′e′

f′fec′a′abcd(b′)(k′)l′lk作kˊlˊ∥eˊfˊ作kl∥ef第三十九頁(yè)，共59頁(yè)。【例題16】已知水平線(xiàn)AB的兩面投影及點(diǎn)C的兩面投影，求作直線(xiàn)CD，使其與直線(xiàn)AB相交且與H面成30o夾角。Cˊaˊbˊcab△ZCDCD水平投影長(zhǎng)CD真長(zhǎng)α以CD水平投影長(zhǎng)為半徑作弧d有兩解dˊ第四十頁(yè)，共59頁(yè)。AHBCacbcOXb′a′c′ba

直角投影規(guī)律：

空間兩直線(xiàn)互相垂直，當(dāng)其中一條直線(xiàn)為投影面的平行線(xiàn)時(shí)，則在該直線(xiàn)所平行的投影面內(nèi)，兩直線(xiàn)的投影反映直角關(guān)系。5、一邊平行于投影面的直角投影第四十一頁(yè)，共59頁(yè)。直角投影定理一、垂直相交的兩直線(xiàn)的投影定理一垂直相交的兩直線(xiàn)，其中有一條直線(xiàn)平行于投影面時(shí)，則兩直線(xiàn)在該投影面上的投影仍反映直角。定理二相交兩直線(xiàn)在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線(xiàn)平行于該投影面，則空間兩直線(xiàn)的夾角必是直角。二、交叉垂直的兩直線(xiàn)的投影定理三相互垂直的兩直線(xiàn)，其中有一條直線(xiàn)平行于投影面時(shí)，則兩直線(xiàn)在該投影面上的投影仍反映直角。定理四兩直線(xiàn)在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線(xiàn)平行于該投影面，則空間兩直線(xiàn)的夾角必是直角。第四十二頁(yè)，共59頁(yè)。兩直線(xiàn)交叉垂直O(jiān)Xb′a′bamnnmBHACcbaMNnm第四十三頁(yè)，共59頁(yè)。距離注意：距離直線(xiàn)只有平行于投影面時(shí)才能反映實(shí)長(zhǎng)。舉例求作點(diǎn)到直線(xiàn)的距離第四十四頁(yè)，共59頁(yè)?！纠}17】求點(diǎn)K到直線(xiàn)AB的距離。kk′aba′b′ll′垂線(xiàn)KL的實(shí)長(zhǎng)△ZKL△ZKL第四十五頁(yè)，共59頁(yè)?！纠}18】已知直角三角形ABC，其一直角邊BC在EF線(xiàn)上，長(zhǎng)30mm，試完成三角形ABC的投影。e′f′efa′abb′cc′量取bc=30mm第四十六頁(yè)，共59頁(yè)。【例題19】求兩直線(xiàn)AB、CD之間的距離。aaˊbbˊcˊdˊc(d)nˊmˊm兩交叉線(xiàn)間距離(n)第四十七頁(yè)，共59頁(yè)。ffee

【例題20】過(guò)點(diǎn)E作線(xiàn)段AB、CD公垂線(xiàn)EF第四十八頁(yè)，共59頁(yè)。

兩平行直線(xiàn)的距離投影面垂直線(xiàn)badca(b)c(d)ef距離efabcda(b)c(d)ef第四十九頁(yè)，共59頁(yè)。投影面平行線(xiàn)

g'f'e'h'k'l'j'i'距離實(shí)距兩平行直線(xiàn)的距離第五十頁(yè)，共59頁(yè)。（e）【例題21】求直線(xiàn)AB和CD間的最短距離。

空間兩直線(xiàn)互相垂直，若其中有一條直線(xiàn)平行于某投影面，則兩直線(xiàn)在該投影面上的投影仍互相垂直。fef分析：ABCDEFabecdf因?yàn)锳BH,EFAB,所以EF//H；又因?yàn)镋FCD,EF//H所以efcd。Xcd（b）baacdo因?yàn)镋F//H,所以e'f'//OX；EFAB,EFCD第五十一頁(yè)，共59頁(yè)。ABab|yA-yB|bc=BCbbcnmaaXmnc【例題22】作三角形ABC，ABC為直角，使BC在MN上，且

BCAB=23。第五十二頁(yè)，共59頁(yè)。dbbXOaccadABCD有abbc分析：

空間兩直線(xiàn)互相垂直，若其中有一條直線(xiàn)平行于某投影面，則兩直線(xiàn)在該投影面上的投影仍互相垂直。因?yàn)锳BBC,且ABH根據(jù)直角投影定理【例題23】已知長(zhǎng)方形ABCD中BC邊的兩投影和AB邊的面

投影（a'b'//OX)，求作長(zhǎng)方形的兩投影。第五十三頁(yè)，共59頁(yè)?！纠}24】已知正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)位于側(cè)平線(xiàn)EF上，試完成該正方形的正面、側(cè)面投影。a′f′e′e″f″a″b″c″d″b′d′c′o″o′=△XAO△XAO半對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)第五十四頁(yè)，共59頁(yè)。f

0【例題25】已知菱形ABCD