與圓有關的最值問題優(yōu)秀教案

與圓有關的最值問題——生涯規(guī)劃在數(shù)學學習中的滲透吳興國高中數(shù)學【教材分析】圓的教學在平面解析幾何乃至整個數(shù)學中都占有重要的地位，而直線和圓的位置關系的應用又比較廣泛，其中的最值問題在生活實際中更為廣泛應用。與圓有關的最值問題，又為圓錐曲線中的最值問題的學習奠定了根底，為線性規(guī)劃的復習加深穩(wěn)固。其思想方法也為以后解決高考重點問題直線與圓錐曲線的位置關系問題提供思想、方法上的鋪墊，近年高考試題也?？??？季V考情：1、掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程與一般方程2、判斷點、直線、圓間的位置關系3、初步了解代數(shù)法處理幾何問題的思想命題方向：考查角度：〔1〕求圓的方程；〔2〕與圓有關的軌跡問題；〔3〕與圓有關的最值問題核心素養(yǎng)：素養(yǎng)數(shù)學抽象邏輯推理數(shù)學建模直觀想象數(shù)學運算數(shù)據(jù)分析達成?全國卷5年3考，命題指數(shù)：★★★★☆20xx年全國III卷，北京卷，天津卷均有考題【學情分析】學生在高一時已經(jīng)學習了有關直線與圓的知識，掌握了判斷直線與圓的位置關系的方法；高二時還學習了線性規(guī)劃問題中的三種典型最值模型；還學習了有關圓錐曲線的知識，能夠解決一些基此題型，并且掌握了解析幾何的一些常用的數(shù)學思想方法，比方數(shù)形結合的思想；高三初期，還學習了極坐標與參數(shù)方程。但是因間斷學習和間隔時間比較長，所以有些知識有些淡忘且不能融會貫穿。所以這節(jié)課主要是通過典型題目起到復習根本知識總結規(guī)律的作用?！緷B透生涯內容】數(shù)學來源于生活，學習了數(shù)學要用于指導生活。我們高生要指導自己的善思，嚴謹，多變、分析與綜合的思維活動。通過本節(jié)課的學習，解題的思想方法指導生活，了解選擇大學專業(yè)的方法和與數(shù)學密切相關的專業(yè)。更好規(guī)劃生涯【教學目標】通過本課的學習，理解與圓有關的三種最值問題的轉化方法；培養(yǎng)數(shù)形結合、

劃歸轉化的數(shù)學思想；體會它與生涯規(guī)劃的關系?！窘虒W重難點】重點：三種模型求解方法、轉化方法。難點：題型升華、解題時的轉化思想，蘊含的生涯規(guī)劃內容的挖掘?！臼谡n年級】高三年級【教學策略】講練結合【教學準備】教師準備：組織本課題例習題的篩選或編制，挖掘教學內容或解題方法蘊含的生涯規(guī)劃內容；課件〔含教學案〕的制作。學生準備：直線與圓、線性規(guī)劃、極坐標與參數(shù)方程的知識準備。【教學過程】【知識梳理】圓：X2+y2+Qx+￡y+尸=0的圓心半徑,圓(x—a"+(y-b)2二/2的圓心半徑圓的參數(shù)方程為： 圓。的極坐標方程p=2cos0,圓心。半徑為點(x,y)到直線Ax+By+C=0的距離d= ，斜率k= =0o 【例1】實數(shù)X、y滿足方程X2+V2—4X+1=0.求：(1)上的最大值和最小值； (2)x2+y2的最大值和最小值.(3)y-x的最小值；x+1解(1)〔法一：幾何法1〕如圖，方程X2+V2-4X+1=0表示以點(2,0)為圓心，以、/3為半徑的圓.設y=k,即kx-y+k=0x+1則圓心(2,0)到直線kx-y+k=0的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值.由12k逑=?3解得k2=1,TOC\o"1-5"\h\zqk2+1 2,k=旦或k=-走.即f-[=當上]=-立2 2 Ix+1) 2Ix+1) 2max min〔法二：幾何法2〕也可由平面幾何知識，k=tanNPAC=-^-?-,k=—tanNP'AC=— ),max 2min 2〔法三：代數(shù)法〕圓的參數(shù)方程為：Jx=2+6cos0(0為參數(shù)),y=V3sin0

于是。一=ko-'吵。一=k,BPsin0-cos0=Wkx+1 3+V3cos0sin(0一3)=二次其中tan①=k*2+1,.,|sin(0-9)l<1,，9k1<1,解得一立<k<叵，即］上［=當上］=-3kk+Ti 2 2 Ix+1) 2Ix+1) 2max min【生涯規(guī)劃的啟示】三種解法——表達不方法解答同一問題。對我們選擇上大學的途徑有何啟示？多種渠道上大學，選擇自己的快捷途徑〔文考、藝術、體育、留學、自主招生等〕。生活中辦事也如此。【提升1.1】實數(shù)X、>滿足方程X2+尸一4X+1=0,求2的取值范圍x-2解：設k=竺2,圓心［2,0)到直線kx-y-2k-2=0的距離d= 2 =&nk=±立，TOC\o"1-5"\h\zx-2 ' <1+k2 3k<-豈或k>m，即y+2的取值范圍是(-*-且］U［且,+8)3 3x-2 3 3【提升】實數(shù)X、>滿足方程X2+尸一4x+1=0,求2x+3y+2的取值范圍x-2【解答】k=2x+3y+2=2+生+6=2+3x匕2,故k<2-、；3或k>2+<3x—2 x—2 x—2即2x+3y+2的取值范圍是(-8,2-遮］U［2+V3,+8)x-2【提升1.3］求函數(shù)y=sin。-2的值域cosa+3解：y=讓二可看成是點M(cosa,sina)與點P(-3,2)連線的斜率，cosa+1點M是圓x2+y2=1上的動點。問題轉化成過點P的直線與圓有公共點時，直線的斜率的取值范圍。圓心［0,0)到直線kx-y+3k+2=0的距離d=13k+21=1nk=-3±'"+k2 4結合圖形有土豆<k<三3，即-3--<y<-3+<34 4 4 4【生涯規(guī)劃的啟示】三個提升問題在縱向和橫向變式，但還是圓中最值的斜率模型。由此你認為對我們的生涯規(guī)劃有何啟示？

思考問題，不但要從縱深發(fā)散，還要從橫向思考，全方位思考問題，才不會出漏洞，才更加嚴密，更加合理。在選擇大學專業(yè)時，是不是要根據(jù)自己的思維情況，選擇適合自己的專業(yè)學習呢？如有嚴密的邏輯思維能力，分類討論問題做得好，考慮學法律、編程等專業(yè)；排列組合學得好,考慮管理類專業(yè)等。就大學專業(yè)而言，很多專業(yè)都與數(shù)學有關，比方經(jīng)濟學、統(tǒng)計學、運籌學等專業(yè)，剝掉外衣，就是學數(shù)學?！纠?】(2)〔幾何法〕爐+產(chǎn)是圓上點與原點的距離的平方，故連接OC,與圓交于5點，并延長交圓于C',則a2+y2)max=QC'|2=(2+/)2=7+4小，。2+尸)1nm=|OB|2=(2一,)2=7—4班.〔代數(shù)法〕x2+y2=(2+v13cos0)2+3sin20=7+4<3cos0,(x2+y2) =7+4<3;(x2+y2)=7一4<3max min在解答問題時，需要選擇快捷的方法，很多時候，更重要的是需要將問題進行轉化?？醋兪健咎嵘慷c4T,O),B(1,0)和圓C:(x—3)2+(y—4)2=4上的動點P,求S=1PA|2+|PB|2的最大值和最小值，并求相應的P點坐標【解析】(幾何法)設P(x, y)，|PA|2 +|PB |2= (x+1)2+ y2+(x-1)2+ y2 =2(x2+ y2 +1)值。上式中x2+y2相當于在(x—3)2+(y-4)2=4上的點到原點O的距離的平方。值。4當O(0,0),P(x,y),C(3,4)共線時，即y=個x時，x2+y2取最S=2(|OC-2|2+1)=20minS=2(1OC+2|2+1)=1009x9x=一5或12y=—521x= 528y=—54y=—x3 得(x-3)2+(y-4)2=4??.S的最大值是100,這時點P的坐標是(21，28)OS的最小值是20,這時點P的坐標是］|,(〕〔代數(shù)法〕設P(x,y)，S=|PA|2+|PB|2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=2(x2+y2+1)

???點Rx,y)在圓上,/.%2+)2=6x+8y-21...S=2(6元+8y-21+l)=4(3元+4y-10)“A：+；C°S：' (0為參數(shù))[y=4+2sm。，/.5=4[3(3+2cos0)+4(4+2sin0)-10]=4(6cos0+8sin0+15)TOC\o"1-5"\h\z一一八 一j, 3 . 兀=40sm(。+(p)+60,其中tan(p=—(0<(p<一)???一1<sin(0+9)<1,...20<S<100由tan9=4可求得cos9=5,sin9=5兀 兀當S二100時，sin(0+9)—1，0+9=一,0——一9，2 2.八 4八.3「.sin0—cos9—5,cos0—sin9—5621 828二.x=3+2cos0—3+———,y—4+2sin0—4+———0 5 5 0 5 53九八 3九當S=2。時，sin(0+①)=-1,0+中=—,0=——中2> 2>.八 4 八^ 3八 8=4+2sin0=4-—12sin0=—cos9=—八 8=4+2sin0=4-—1269「.x=3+2cos0=3-=—,yo 5 5。S的最大值是100,這時點P的坐標是(2，28)°S的最小值是20,這時點P的坐標是〔|,152〕。【提升】點P為函數(shù)f(x)=ex的圖象上任意一點，點Q為圓(x—e2-1)2+y2=4上任意一點〔e為自然對數(shù)的底數(shù)〕，則線段PQ的長度的最小值為【解析】圓心。(e2+1,0)，先求IPCI的最小值，設P(t,et),ff(x)=ex，故以P點為切點的切線方程為l:y-et=et(x-))et當PC±l時， ?et=-1ne21+1=e2+1t-(e2+1)「.t=1，此時P(1,e)函數(shù)圖象上任意一點P到圓心C的距離大于等于點C到切點的距離\；e4+e2。所以IPQI的最小值是eve2+1-2?！旧囊?guī)劃啟示】這兩個提升問題有點難度，但是將問題轉化，也不難哈。你覺得它給我們

帶來的啟示是啥?在生活中，處理問題要善于將較復雜的問題轉化為簡單明了的問題。比方在報考大學專業(yè)時，都難選，其實有兩個問題解決了就簡單了?！?〕找到高考分數(shù)的適合區(qū)；〔2〕問問自己的心向哪里？【例1】(3)〔幾何法〕設y—x=6,則y=x+6,僅當直線y=x+6與圓切于第四象限時，截距6取最小值，由點到直線的距離公式，|2—0+臼 j- 「6,6, =、口,即b=一2±^6,故3-x焉=-2-'瓜〔代數(shù)法〕y-x=<3sin0一J3cos0一2=<6sin(0一；)一2「.(y—x)=一2+<6,(y—x)=-2一<6max min【提升】關于x的方程x+b=3—q4=2有解，則b的取值范圍是.【解析】方程X+b=3—\,；'『X2有解，等價于直線尸X+b與曲線>=3—\/4X=X2有公共點。由y—3—44Xx—x2,得(x-2)2+(y—3)2=4(1WyW3).當直線y=x+b與圓相切時，|2—3當直線y=x+b與圓相切時，|2—3+b|??b=1±2q2.由圖可知b=1—2也?.b的取值范圍是[1—2靠，3]【生涯規(guī)劃啟示】提升問題看似與例題無關，但轉化后，借用圓的最值問題的求解方法得解。由此，對你的高習生涯中，尋找學習方法有何啟示？A問題看起來與B問題無關，善于轉化，其實就是一樣的。比方：學習好數(shù)學的方法與學習語文的方法，很大程度上講是不一樣的，其實可以將其學習語文分析課文的方法〔明線、暗線，作者寓意分析等〕轉移到今天的數(shù)學學習上來，今天的這節(jié)課，你會有很大收獲。復制成功者的思維和行為二復制成功者的結果?！纠?】〔20xx全國II改〕在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建冗立極坐標系，曲線C的極坐標方程為p=4cos0，設點A的極坐標為(2,y)，點B在曲線C上，求AOAB面積的最大值【解析】C的直角坐標方程為(X-2)2+y2=4.設點B的極坐標為(p,a)(p>0).BB由題設知IOA1=2,p=4cosa,于是NOAB面積BS=21OAI-pB-sin/AOB=4cosaIsin(a—g)I=2Isin(2a—?)—gIW2+下.當a=—A時，S取得最大值2+<3.所以AOAB面積的最大值為2+<3.｛尤=tcosa.一. .,〔t為參數(shù)，tH0〕y=tsina,其中0Wa<兀，在以。為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C:p=2sin6,2C:p=2v13cos6.假設C與C相交于點A,C與C相交于點B,求IABI的最大值3 1 2 1 3【解析】曲線C的極坐標方程為6=a(pwR,pw0),其中0<a<K.1因此A得到極坐標為(2sina,a),B的極坐標為(2<3cosa,a).所以|AB|=2sina—2褥cosa=4sin(a—：3),5兀當a=?時，AB|取得最大值，最大值為4.【小結】把有關式子進行轉化或利用所給式子的幾何意義解題,充分表達了數(shù)形結合以及轉化的數(shù)學思想,其中以下幾類轉化為常見,要注意熟記:(1)形如m=-的最值問題，斜率模型；x－a(2)形如t=ax+by的最值問題，截距模型；(3)形如m=(x—a)2+(y—b)2的最值問題，距離模型解題思路：〔1〕幾何法：數(shù)形結合轉化為直線與圓的位置關系求解。〔2〕代數(shù)法：引入變量構建函數(shù)，轉化為函數(shù)的最值求解?！旧囊?guī)劃啟示】數(shù)學來源于生活，學習了數(shù)學要用于指導生活。我們高生要指導自己的善思，嚴謹，多變、分析與綜合的思維活動。通過數(shù)學學習了解以下專業(yè)與數(shù)學密切相關。更好規(guī)劃生涯。數(shù)學與信息、經(jīng)管

國際經(jīng)濟與貿(mào)易網(wǎng)絡工程數(shù)學與應用數(shù)學財政學經(jīng)濟管理類心理學信息科學計算機科學與技術金融學財務管理會計學物聯(lián)網(wǎng)工程銀行與國際金融經(jīng)濟學類管理科學投資學農(nóng)林經(jīng)濟管理工商管理場營銷工業(yè)工程電子信息金融工程應用統(tǒng)計學農(nóng)產(chǎn)品加工及儲藏工程法學。數(shù)理與科學、技術測控技術與儀器飛行器動力工程材料科學與工程自動化工業(yè)設計城鄉(xiāng)規(guī)劃材料學類數(shù)理經(jīng)濟交通工程生物醫(yī)學工程物理學海洋工程類電子信息科學與技術紡織類地理科學集成電路設計車輛工程建筑學通信工程專業(yè)機械工程系生物技術生物科學生物工程裝甲車輛工程飛行器設計與工程儀器科學與技術信息工程化學工程與工藝生命科學材料化學土木工程專業(yè)理科試驗班交通運輸〔智能運輸〕自然地理學應用物理機械設計制造及其自動化土木工程等等【練習】1、兩點/(—1,0),6(0,2),點尸是圓(X—1)2+y=1上任意一點，則△以6面積的最大值與最小值分別是()答案BA.2, -事) B.1(4+V5),^(4-^5) Cg解析如圖，圓心(1,0)到直線AB：2x—y+2=0的距離為d=有5, 一，一,八一4故圓上的點P到直線AB的距離的最大值是忑+1又|AB1=-..；5, 故^PAB面積的最大值和最小值分別是2+#，2一字.2、〔重慶〕圓q：Q-2?+G-3＞二1，圓C2:Q-3)+(y-4?二9,M,N分別是圓qq上的動點，p為1軸上的動點，則pM|+PN的最小值為〔 〕A.5<2A.5<2-4 B.v17-1C.6-2” D.<17【解析】如圖：圓C關于1軸的對稱圓的圓心A(2,-3),半徑為1,圓C1 2的圓心〔3,4〕，半徑為3,IPMI+IPNI的最小值為圓A與圓C的圓心2距離減去兩圓的半徑和，即\；(3-2)2+(4+3)2-1-3=5\n-4,選A3、(20xx全國卷III)直線1+y+2=0分別與1軸，y軸交于A,B兩點，

點P在圓(x-2)2+W=2上，則AABP面積的取值范圍是A．[2,6]B.[4,8]C.[<2,3V2]D.[2A．[2,6]【解析】圓心(2,0)到直線的距離d=12+0+2I―2<2,<2所以點P到直線的距離d￡葭2,3、9].根據(jù)直線的方程可知A,B兩點的坐標分別為1A(-2,0),B(0,-2),所以IABI=2<2,1所以AABP的面積S=-IABId=u2d.2 1 1因為de[<2,3<2],所以Sg[2,6],即AABP面積的取值范圍是[2,6].應選A.14、(20xx北京)在平面直角坐標系中，記d為點P(cos仇sin6)到直線x-my-2=0的距離，當6,m變化時，d的最大值為A．1B.2C.3D.4Icos6-mA．1B.2C.3D.4Icos6-msin6-2IImsin6-cos6+2I【解析】由題意可得d= : — I%'m2+1(；msin6- 〔cos6)+2Imn2+1 mn2+1mn2+1I\：m2+1sin(0-p)+21v'm2+1m1〔其中cos①二；一,sin①二.一〕，?-1<sin(6-p)<1,Jm2+1 mn2+1.12—mn2+11 2+v'm2+1 2+mn2+1 2?? --—^^d^^— —~-,— ———1+— —-,v'm2+1ym2+1.??當m=0時，d取得最大值3,應選C.5、P為直線y=x+1上任一點，Q為圓C：(x-3)2+y2=1上任一點，則|PQ|的最小值為解：如圖1,圓心C到直線y=x+1的距離d=2V2，圓半徑r=1,故|PQ\>|PC|-r=2Q-16、A(0,1),B(2,3),Q為圓C(x-3)2+y2=1上任一點，則S 的最小值為 ^△QAB 【分析】此題要求S1鋤的最大值，因為線段AB為定長，由三角形面積公式可知，只需求“Q到l的最小值〃，因此問題轉化為“圓上一動點到直線的最小距離〃，AB1解：如圖2,設h為Q至Ul的距離，則34=-AB\-h—gh=J2(2J2-1)=4-J2Q AB 2QAB2QQ4圖1 圖27、由直線y二x+1上一點向圓C：(x—3)2+w=l引切線，則切線長的最小值為【分析】一般地，當直線和圓相切時，應連接圓心和切點，構造直銷三角形進行求解.因為PA2=PC2—r2,故即求PC的最小值，解：如圖3,PA2=PC2-r2=PC2-1，：PC=2j2,，PA=用min min8、P為直線y=x+1上一動點，過P作圓C：(x-3"+y2=1的切線PA,PB,A、B為切點，則當PC=時，/APB最大.【分析】ZAPB=ZAPC,故即求角ZAPC的最大值，利用其正弦值即可轉化為求PC的最小值，1解：如圖4,：NCPB=ZCPA,sin/APC= ，：PC=272,，PC=272時，^APC最PCmin大，即/