全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初三2023年

2023年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題第一試(3月20日上午8:30-9:30)一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）(本題共有6個小題，每題均給出了代號為A,B,C,D的四個答案，其中有且僅有一個是正確的.將你所選擇的答案的代號填在題后的括號內(nèi).每小題選對得7分；不選、選錯或選出的代號字母超過一個（不論是否寫在括號內(nèi)），一律得0分.)1.用表示不超過的最大整數(shù)，把稱為的小數(shù)部分.已知，是的小數(shù)部分，是的小數(shù)部分，則（）2.三種圖書的單價(jià)分別為10元、15元和20元，某學(xué)校計(jì)劃恰好用500元購買上述圖書30本，那么不同的購書方案有（）種種種種3(A).如果一個正整數(shù)可以表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的立方差，則稱這個正整數(shù)為“和諧數(shù)”.如：和均為“和諧數(shù)”.那么，不超過的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為（）3(B）.已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在第二象限，且過點(diǎn).當(dāng)為整數(shù)時(shí)，（）4.已知的半徑垂直于弦,交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn),若,則的面積為（）5.如圖，在四邊形中，，,,對角線的交點(diǎn)為，則()6.設(shè)實(shí)數(shù)滿足則的最大值為()二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）(本題共有4個小題，要求直接將答案寫在橫線上.)1.【1(A)、2（B）】已知的頂點(diǎn)、在反比例函數(shù)（）的圖象上，,,軸，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，且則點(diǎn)的坐標(biāo)為.1(B).已知的最大邊上的高線和中線恰好把三等分，,則.2(A).在四邊形中，∥,平分,為對角線的交點(diǎn)，則.3.【3(A)、4(B)】有位學(xué)生忘記寫兩個三位數(shù)間的乘號，得到一個六位數(shù)，這個六位數(shù)恰好為原來兩個三位數(shù)的乘積的3倍，這個六位數(shù)是.3(B).若質(zhì)數(shù)、滿足：則的最大值為.4(A).將5個1、5個2、5個3、5個4、5個5共25個數(shù)填入一個5行5列的表格內(nèi)（每格填入一個數(shù)），使得同一列中任何兩數(shù)之差的絕對值不超過2.考慮每列中各數(shù)之和，設(shè)這5個和的最小值為,則的最大值為.第二試(3月20日上午9:50—11:20)一、（本題滿分20分）已知為正整數(shù)，求能取到的最小正整數(shù)值.二、（本題滿分25分）(A).如圖，點(diǎn)在以為直徑的上，于點(diǎn),點(diǎn)在上，四邊形是正方形，的延長線與交于點(diǎn).證明:.(B).已知：求的值.三、（本題滿分25分）(A).已知正實(shí)數(shù)滿足：,且.求的值.證明:.(B).如圖，在等腰中,為邊上異于中點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn),的延長線與的延長線交于點(diǎn)求的值.2023年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題及詳解第一試(3月20日上午8:30-9:30)一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）(本題共有6個小題，每題均給出了代號為A,B,C,D的四個答案，其中有且僅有一個是正確的.將你所選擇的答案的代號填在題后的括號內(nèi).每小題選對得7分；不選、選錯或選出的代號字母超過一個（不論是否寫在括號內(nèi)），一律得0分.)1.用表示不超過的最大整數(shù)，把稱為的小數(shù)部分.已知，是的小數(shù)部分，是的小數(shù)部分，則（）【答案】.【解析】即又故選A.2.三種圖書的單價(jià)分別為10元、15元和20元，某學(xué)校計(jì)劃恰好用500元購買上述圖書30本，那么不同的購書方案有（）種種種種【答案】C.【解析】設(shè)購買三種圖書的數(shù)量分別為則，即，解得依題意得，為自然數(shù)（非負(fù)整數(shù)），故有種可能的取值（分別為，對于每一個值，和都有唯一的值（自然數(shù)）相對應(yīng).即不同的購書方案共有11種，故選C.3(A).如果一個正整數(shù)可以表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的立方差，則稱這個正整數(shù)為“和諧數(shù)”.如：和均為“和諧數(shù)”.那么，不超過的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為（）【答案】B.【解析】（其中為非負(fù)整數(shù)），由得，，即得所有不超過2023的“和諧數(shù)”，它們的和為故選B.3(B）.已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在第二象限，且過點(diǎn).當(dāng)為整數(shù)時(shí)，（）【答案】B.【解析】依題意知故且，，于是又為整數(shù)，故，故選B.4.已知的半徑垂直于弦,交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn),若,則的面積為（）【解析】設(shè)則于在中，即解得，即（第4題答案圖）為的中位線，是的直徑，故選A.5.如圖，在四邊形中，，,,對角線的交點(diǎn)為，則()（第5題答案圖）【答案】D.【解析】過點(diǎn)作于點(diǎn)則～設(shè)則在中，則顯然，化簡整理得解得（不符合題意，舍去），故在中，,故選D.6.設(shè)實(shí)數(shù)滿足則的最大值為()【答案】C.【解析】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號，故，故選C.二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）(本題共有4個小題，要求直接將答案寫在橫線上.)1.【1(A)、2（B）】已知的頂點(diǎn)、在反比例函數(shù)（）的圖象上，,,軸，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，且則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】.【解析】如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn).在中，在中，（第1題答案圖）,設(shè)，依題意知故，于是解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.1(B).已知的最大邊上的高線和中線恰好把三等分，,則.【答案】.【解析】（第1題答案圖1）（第1題答案圖2）依題意得,故.(1)若時(shí)，如答案圖1所示，≌又平分在中，即從而.在中，在中，.(2)若時(shí)，如答案圖2所示.同理可得.綜上所述，.2(A).在四邊形中，∥,平分,為對角線的交點(diǎn)，則.【答案】.【解析】設(shè),平分,,∥,,(第2題答案圖),,,,,解得，,故.3.【3(A)、4(B)】有位學(xué)生忘記寫兩個三位數(shù)間的乘號，得到一個六位數(shù)，這個六位數(shù)恰好為原來兩個三位數(shù)的乘積的3倍，這個六位數(shù)是.【答案】.【解析】設(shè)兩個三位數(shù)分別為，則，①故是的正整數(shù)倍，不妨設(shè)（為正整數(shù)），代入①得是三位數(shù)，，解得為正整數(shù)，的可能取值為驗(yàn)證可知，只有符合，此時(shí)故所求的六位數(shù)為.3(B).若質(zhì)數(shù)、滿足：則的最大值為.【答案】.【解析】由得，因?yàn)橘|(zhì)數(shù)，故的值隨著質(zhì)數(shù)的增大而增大，當(dāng)且僅當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值.又，，因?yàn)橘|(zhì)數(shù)，故的可能取值為，但時(shí)，不是質(zhì)數(shù)，舍去.當(dāng)時(shí),恰為質(zhì)數(shù).故.4(A).將5個1、5個2、5個3、5個4、5個5共25個數(shù)填入一個5行5列的表格內(nèi)（每格填入一個數(shù)），使得同一列中任何兩數(shù)之差的絕對值不超過2.考慮每列中各數(shù)之和，設(shè)這5個和的最小值為,則的最大值為.【答案】【解析】(依據(jù)5個1分布的列數(shù)的不同情形進(jìn)行討論,確定的最大值.(1)若5個1分布在同一列，則；(2)若5個1分布在兩列中，則由題意知這兩列中出現(xiàn)的最大數(shù)至多為3，故,故;(3)若5個1分布在三列中，則由題意知這三列中出現(xiàn)的最大數(shù)至多為3，故,故;(4)若5個1分布在至少四列中，則其中某一列至少有一個數(shù)大于3，這與已知矛盾.綜上所述，另一方面，如下表的例子說明可以取到10.故的最大值為1114511245222453324533345第二試(3月20日上午9:50—11:20)一、（本題滿分20分）已知為正整數(shù)，求能取到的最小正整數(shù)值.【解析】解：因?yàn)檎麛?shù)，要使得的值為正整數(shù)，則有.當(dāng)時(shí)，只能為1，此時(shí)故能取到的最小正整數(shù)值不超過4.當(dāng)時(shí)，只能為1或2.若;若，則.當(dāng)時(shí)，只能為1或2或3.若;若;若則.(下面考慮：的值能否為1？)（反證法）假設(shè)，則，即，①因?yàn)檎麛?shù)，故為奇數(shù)，從而為奇數(shù)，為偶數(shù)，不妨設(shè)，其中均為正整數(shù)，則即被除所得余數(shù)為3，而被4除所得余數(shù)為1，故①式不可能成立，故.因此，能取到的最小正整數(shù)值為2.二、（本題滿分25分）(A).如圖，點(diǎn)在以為直徑的上，于點(diǎn),點(diǎn)在上，四邊形是正方形，的延長線與交于點(diǎn).證明:.(第2(A)題答案圖)【證明】：連接、為的直徑，于點(diǎn)由四邊形是正方形及于點(diǎn)可知:點(diǎn)在上，以點(diǎn)為圓心、為半徑作與直線交于另一點(diǎn),則與切于點(diǎn),即是的切線，直線是的割線，故由切割線定理得,即點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)在上，.(注：上述最后一段得證明用了“同一法”)(B).已知：求的值.【解析】由已知得由恒等式得，又同理可得∴原式=【注：恒等式】三、（本題滿分25分）(A).已知正實(shí)數(shù)滿足：,且.求的值.證明:.【解析】（1）解