2019考研數(shù)學23個沖刺必會考點精講

本課程是張宇老師根據(jù)以及2019考試大綱欽概念、題型、一般解題套路，高效提分，直擊考研！請根

44448套路：類型轉(zhuǎn)化代 ：；換成“狗0”也成立. sinxx o(x tanxxo(x e1xo(x arcsinxx o(x arctanxx o(x ln(1x)xo(x

cosx1 o(x (1x)1x xo(x 0或型極限 x,lnmxxnaxxx100x101(xu(x)vx)evxlnux)（冪指函數(shù)求極限常用此變形注：對于1型極限，常變形為limu(x)v(x)elimv(x)[v(x)1]，此可直接套用1limxx1,limxx1,limxlnx0（結(jié)論直接記住用 nn1sinx tan

1tanx1sin

sin3 x0ln(1x2 sin2sin2(31x31)sin4x4x2x1x x2sin1

11x2)x(1x 值猜出界與單調(diào)性 xxn1）兩邊取極限，求出極限x xn：xn1f(xn，當f'(x)1時，數(shù)列{xn必收斂。特別的，當0fx1}(xn1xnf(xnf(xn1f'()(xnxn1f'(x0時，{xn非單調(diào)，

1

a1a2nababa當 時，sinxxtanx2當x0，ln(1x)xex ln(11)1 nanan max{aa,aananan (v)海 f(x)U0(x,)內(nèi)有定義，則limfx)=A對任意以x為極限的數(shù)列 {xn}(xnx0，極限limfxn)=A存在設x1, (n1,2,)，求limn 1n

n設x1, 21(n1,2,)，求lim

nxnx設a0,x0, 1(3xa)(n1,2,)，求limx4 x4n

n

n

ln(11) (ii)a111lnn(n1,2,，證明數(shù)列{a收斂 值4444

c(c

PKlim

x

無窮大比階非多項式：對數(shù)函數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)

c(c

PKlim

u(x)比v(x趨于 x 趨于速度：x0,f(x)axmg(x)bxn且f(xg(xa,b均不為0，則f(g(x))abmxmn(m1)n階無窮?。?

g(x xpdxp1,發(fā)散常和11dxp1,收斂或 0x

p1,發(fā)散

a(xa)

p1,發(fā)散 p1,收

aq,q常和

p

或

發(fā)散，q

31 31 arcsinx1cost(C) sin213x4x21 2 0ln 2n23n 3n7n2 3tan 4488448488448f'(xlimf(xf(x0或limf(x0xf(x00 x0

x f(xx處可導limf(xf(x0)存在（f(xyf(x0

xf(xx處可導limf(x0f(x0) xf(x

x

xx

x0處一階導函數(shù)連續(xù)；3f(xx0f(x可導,則f(x)xx0f(x00且f'(x0則

f(x)xx0g(xxx0f(x)g(xxx0處可導g(x00f(x)g(xxx0f(x00，f'(x00g(x00可導連續(xù)，可導

f(x)

5 x3

xf(xx

x

設f(0)0，則f(x)在點x0處可導的充要條件為

f(1ehh(C)limf(hsinh)存 (D)limf(2h)f(h)存 2f(xxx2sin2x

13 (,)區(qū)間上不可導點的個數(shù)是 2 ：(eaxb)(n)[sin(axb)](n)ansin(axbn2[cos(axb)](n)ancos(axbn21

(1)nann(1)n1an(n nn萊布尼 ：[u(x)v(x)](n)Cku(k)(x)v(n-k)nnkf 展開成冪級 f(x) a(xx ，展開成泰勒級 f(n)(xf(x) 0(xxnf(n(x)n!a

設函數(shù)f(x)有任意階導數(shù)且f'(x)f2(x)，則f(n)(x) .(n21y1

)f(x)x2ln(1xf(n(0)(n3) 4 沒有求導 看所證式子

f(a)ff'(0f(xf''(0f(x相等或者兩個點使f'(x)相等.b使得af(x)dxf()(ba),只是閉區(qū)間，開區(qū)間使用要證明.bf(x)在(ab)上可導且g'(x0,x(ab)存在abf(b)f得 g(b)

fg

)拉格朗日中值定理找中間點；柯西中值定理找函數(shù)g(xh(xf(xx0的某領域U(x0n1x0U(x0f''(x f(n)(xf(x)f(x)f'(x)(xx) 0(xx)2 0(xx)nf(n1)

(n1)!(xx0 f(x在abg(x0，證明：存在一點ab af(x)g(x)dxf()ag(x)dxf(x在閉區(qū)間0，1上連續(xù)，在（0,1） f(1)33e10

f(x)dx設函數(shù)f(x)在ab(a,b上可導且f(af(b)

f.b.),f(x在0，1上二階可導f(0f(0)f(1)0f(11)常數(shù)不等式：a2 a22

(a,b0)ababab當0x時sinxxtanxx0sinxx;當0x1arctanxxarcsin 對xex 當x0時，x1ln ln(1) 1 (ababab)2(a2a2a2)(b2b2b1 2 n bf(x)g(x)dx)2bf2(x)dxbg 1x證明:不等式1xln(x1x2) ，x1xx0時，不等式(1xln2(1x設baeabbaf(x在a

f(x0f(ab) bf(t)dt1f(a)f(b) ba 設kf(x2x3)ln(2xxknf(x11cosx)nn(x)1

x(0f(x)1，則limx 4484484844判別

fx)

f(x)klimf(x,blimf(xkx和klimf(x),blimf(x x1t3t

y

1t3t 在數(shù) ，33，···，nn，···中求出最大值 1yxex2 44444f(xIF'(xf(x)，xIF(xf(xnf(x在區(qū)間[ab上可積（即：定積分存在）limf(k)x

k：函數(shù)在[ab上連續(xù)，則必存在原函數(shù)；含有第一類間斷點、無窮間斷點的函數(shù)一定不函數(shù)在[ab上連續(xù)，則必可積；函數(shù)在[ab 變上限積分函數(shù)af(t)dtf(x連續(xù)時，af(t)dt一定可導，且導函數(shù)為f(x).f(x是奇函數(shù)F(xf(x是偶函數(shù)F(xFTf(x以T為周期T

0f(xf(x在[ab上有界F(x在[abf(x)

xx2xsin12cos1,xf(x) x1,x

f(x)=0,x

12xf(x)

,

x f(x)

，F(xiàn)(x)

xf(t)dt2,x (A)x為F(x)的跳躍間斷點 (B)x為F(x)的可去間斷點 (D)F(x)在x可導函數(shù)f(x)連續(xù)，則下列函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是 xf(t2)dt xf2(t)dt (C)0t[f(t)f(t)]dt (D)0t[f(t)f(t)]dtffxftdt的圖形為 f10f10 3x A - B -C

ffff 44444444444：熟記20(aaaxax

1dxlnx adxlna edxecosxdxsinxsec2xdxtanxsecxtanxdxsecx

sinxdxcosxcsc2xdxcotxcscxcotxdxcscx dxarcsinx dxarctanx1 11tanxdxlncosxsecxdxlnsecxtanx

cotxdxlnsinxcscxdxlncscxcotxb2ab2a2aax2x2a

1arcsinaxC; 1arctanaxC; b2a2x2 a2x2

1ln

lnx

t;ex;倒代換）x a aa2a2xa2x xasin xatanx2x2xa

atanu:易求導 Pn(x) bQm(x)含一次因式(axbaxb Q(x)含二重一次因式(axb)2,產(chǎn)生 分解原則

AxQ(x)含二次單因式pxqxr,產(chǎn)生 px2qxQ(x)含二重二次因式(px

qxr)2

Ax

Ax

px2qx (px2qxr求1求不定積分

111ln1ln1ln

dx a求不定積分

dxa sinxcosx dx xcos arctan(cos2x)2

arctan(cos2x)2sin2xsinsin2xsin2xarctan(cos2x)1積分1x3 1 6

2x2x

1

2x1

lnx13

2x x2x

2

2x1

ln f(x)f(aaf(x)dx

f( f(x)f( f(xT)f(x) f(x)dx0f

,(n1)!!,

2 ：2sinnxdx2cosnxdx (n,

2f(sinx)dx2f(cos

xf(sinx)dx2

f(sin ：af(x)dxaf(ab

2x2x3sin2xcos22nsinnnnsinnn sinxcos

dx I

f1

xet2f(x)lnxx

ef1x1

dx，則f(x) xlnx x

lnx xx

lnx 444444套路：找微分寫計算積分：r S(x)f(x)dx(直角坐標下);S(x)1 r 2 x軸：Vbf2(x)dx(圓柱法)yV=b2xf(x)dx (dx)2 L(dx)2

1(f'(x))2b b2f(x)1+(f'(x))b S表=a 計算雙紐線(x2+y2)2x2y2xa(tsintya(1cost)0t2y0所圍成的圖形分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積.xacos3tyasin3tx x 488(1)zf(xy)在(x0y0處連續(xù)y

f(x,y)f(x0,y0

f(x,y)f(x,y

lim zf(x,y)在(x,y)處關于(x,y)偏導數(shù)存在 x f(x,y)f(x,y

y zf(xy在(xy處可微zAxByo((x)2y)2AB 與(x0y0

limf'(x,y)f'(x,yf'(xy),

y'(xy)在(xy處連續(xù)

limf'(x,y)f'(x,y：

00

f'(x,y)f'(x,y ;f'(x,y)f'(x, 0x y求出fxy),fxy

f(x,y)f(x,y)Ax判別可微看 x y

(x)2 設 x2f(x,y)(x2y2)32 (x,y)(0, (x,y)(0,(x2y2)sin ,(x,y)(0,0),g(x,y)

x2 (x,y)(0,(2f(xy)1(2f(xy) xy

如果函數(shù)f(x,y)在點(0,0)處連續(xù)，那么下列命題正確的是 f(x,若極限lim 存在，則f(x,y)在點(0,0)處可若極限

xf(xy)f(xy在點(0,0)x

f(x,若f(x,y)在點(0,0)處可微，則極限lim x0x(Df(xy在點(0,0)處可微，則極限limf(xy)x ：

xf(u,v),uu(x,y),vv(x,y)

f'u'f1 2 f'u'1 2 1 22z ' ''' ' ' '

f11(ux)2f12uxvxf22(vx)f1uxx f''u'v'f''(u'v'v'u')f''v'v'f'u''f 11x x x

22x 1 2F(x,y,z) zf(x, Fzz

F'

z Fz Fz

d(uv)du d(uv)vdudv

)vdu

d[u(v)] 設函數(shù)uu(x,yx2y2及u(x2x)xu1(x2x)

u （A） （C） ux2z(uv)uv

vx

2 2 2 26 0簡化為 0，求a 求偏導函數(shù)找駐點寫拉格朗日函數(shù)求偏導數(shù)，找駐點：f(xx,yy)f(x,y)f'(x,y)xf'(x,y)y1{f''(x,y)(x)22f''(x,y)(xxf''(y)2}o{(x)2

B2AC0時,函數(shù)取得極值A0,

'' Afxx,Bfxy,C

B2AC0目標函數(shù)uu(xyz在約束條件F(xyz)0u'F'u'u'F'求偏導函數(shù)，找駐點 u'F' F(x,y,z)zz(xyx26xy10y22yzz2320z(x（i）設x0，y0，z0f(xyz)xyz3x2y2z25R2(R0為常數(shù)（ii）由（1）a0b0c0abc327(abc)55zf(xyx2y(4xyxy6，xy軸所圍成的閉區(qū)域D上的極值、最大值與最小值. 4444Df(xy)dxdyD2f(x,y)dxdy,f(x,y)f(x,Dy軸對稱，則f(xy)dxdy f(x,y)f(x,x或y0.D關于yxf(x,y)dxdyf(y,x)dxdy1(f(x,y)f(y, 22f(x,y)f(y,x)f(x,y)dxdyf(y,x)dxdy1f(x,2 D DDDDxy1，則xy)dxdyD1 3

3

D(xyxy1

D

af(xbfy)d，其中f(t為定義在()f(x)f(a0，b0I2exeyd，常數(shù)0f(xg(x在ab af(x)dxag(x)dx(ba)af

計算0dx0 dy，其中a,bDIr2D

(r,)0r ,0

x2計算二重積分

4a2x2

，其中 是由曲 x ya a2x2a x 2 (x,y)

22

D

y 444448

f(x）g( f(

f()或 )令u或u y'P(xyQ(x)通解為：yePx)dx(Q(x)ePx)dxdx伯努利方程（僅數(shù)一）：y'P(xyQ(xynyynP(xy1ny1nzdz1n)P(x)z1P(xy)dxQ(xy)dy0,其中

Pyf(xy')直接令yPdP

f(x,yfyy')令yP，ydPP,則dPPfy 非齊次：y''py'qyf(x，先求齊次通解，再求非齊次通解y1是y''p(xy'q(xyy2是y''p(xy'q(xy

k1y1k2y2是y''p(xy'q(xyk1f1xk2f2x)x2y''p(xy'q(xyf(x)(x0)令xet

d2y(p1)dyqyf(et 齊次：yt1ayt0等比數(shù)列ytcat，cnn求微分方程(xdyyarctanyx 1,x設方程yp(xyx2，其中p(x)1,x

試求在(內(nèi)的連續(xù)函數(shù)yy(x，使之在(,1)和(1,y(0)2求微分方程(3x22xyy2dx(x22xy)dy0xyylnyylnx0y(1)2y(1)e2的特解.（數(shù)一、數(shù)二y4y4yx28e2x的一個特解應具有形式（abcd ax2bxce2（C）ax2bx

ax2bxcdx2e2（D）ax2(bx2y2y2y2excos2x2yt13yt3t1(2t1 44444444nn

0否limun1或者

n

n nn

0否un(正項級數(shù)斂)un發(fā)散 un收斂limSn存在(Snui 收斂收斂un收斂limun

un絕對收斂un

aqn11q,q;;發(fā)散，q

n 發(fā)散，p

(1)nn

絕對收斂，p條件收斂0p發(fā)散，p 收斂，p 發(fā)散，p(1)n絕對收斂，pnlnp

p

（i）設un為正項級數(shù)，證明un收斂Sn n n（ii）設xn為單增的有界正數(shù)數(shù)列，證明(1 若un與vn都收斂，則(unvn) 若unvn發(fā)散，則(unvn 若un與vn都發(fā)散，則(unvn) 若(unvn)收斂，則若un與vn 已知級數(shù)①1234... 和級數(shù)②12...n，n1 n1 對于級數(shù)(1)n1un,其中un0(n1,2,3,（A）

若

若

若(1)n1un收斂，則

設正項級數(shù)an收斂，正項級數(shù)bn

①anbn必收 ②anbn必發(fā)

③a2必收 ④b2必發(fā) 求

（a0ae (1)n判別級數(shù)ln1 (8)設數(shù)列a，b滿足 (8)設數(shù)列a，b滿足 an0，則bn0 若an0（n1,2,3,）an收斂，則 n1 u(x)

u nbn2解不等式(x)1,求出un(x)的收斂區(qū)間(a,b),收斂半徑 2 xa和xb代入判別un(a)或un(b)的斂散性，得其收斂域 :(1)

a(xx)nxxRxxR

(xx)n0xx0RR可能為0或者naxnnnnnaxnRS(x在(RRn xnxn設a ，求冪級數(shù)

axn (5n2n

n設冪級數(shù)a(xb)nx0x2b處發(fā)散，求冪級數(shù)axnn

n1

R與收斂域，并分別求冪級數(shù)(n

和nn

x：a1

aaqaq2aqn1,q e ,xsinx cosx

(2n1)!,xln(1x)

xn1,x(1,1];n1 (1x)1

x,xf(x

1 將ysinxx4 冪級數(shù) 在收斂區(qū)（-a,a)內(nèi)的和函數(shù)S(x) (1)n 求冪級數(shù)3n+1 的收斂域與和函數(shù)，并求3n 求(2n 44F(x,y,z) )G(x,y,z)z 曲線:

G(x,y,z)

x2y2X2Yz即(xyzX,YZF(x,y,z)

消去x,yz即得旋轉(zhuǎn)曲面x空間曲線:yy(t)在點(x(t),y(t), z

xx(t0yy(t0zz(t0 x'(t0xx(t0y'(t0yy(t0z'(t0zz(t00；F(x,y,z)0在點(x0y0z0處的切平面為：F'(xx)F'(yy)F'(zz) xx0yy0z 在曲線xt,yt2,zt3的所有切線中，與平面x2yz4平行的切線 1

x220y224x116x220y224x116z

（B）4y24z212z74y24z212z7x

x3

y

z1L

x

1yLx6y32z1Sx22y23z221 444

畫圖考慮對稱性選擇坐標系 球 f(x,y,z)f(x,y,關于xoy平面對稱，則f(xyz)dV

f(x,y,

f(x,y,z)dV，f(x,y,z)關于xyz對稱，則f(xyz)dVfyxz)dVf(zy f(x,z,y)dVf(y,z,x)dVf(z,x, 形心坐標：已知的形心為(x,yz)x

,y ,z x2y22xx2y2z24設xyzz

x2

3z,0z4}，計算三重積分zdv設1x2y2z2R2z0;x2y2z2R2，且x0,y0,z0.則有（2（A）xdv4 （B）ydv4 （C）zdv4 （D）xyzdv4 f(xyzx2y2z2x2y2z2xyz 454化簡，代入投影dl (dx)2(dy)2(dz)2,dS 1(z')2(z')2

f(x,y,z)f(x,y,L關于xoy平面對稱f(xyz)dl

f(x,y,

f(x,y,z)f(x,y,關于xoy平面對稱

Lf(x,y,z)dS

f(x,y,z)f(x,y, 2f(x,y,z)dS,f(x,y,z)f(x,y,

L關于xyz對稱 f(x,y,z)dl f(x,z,y)dl f(y,x,z)dl f(y, f(z,y,x)dl f(z,x, 關于xyz對稱f(xyz)dSf(xzy)dSfyx f(y,z,x)dSf(z,y,x)dSf(z,x, 已知L的形心坐標為(x,y,z),則x ,y ,z

曲線積分(x2y2)ds，其中C是圓心在原點，半徑為a的圓周，則積分值為 C （C） S為橢球面

x2 2

z21S的面積為A，則第一型曲面積分S[(2x3y)2(6z1)2]dS S設z

x2y2z1割下的有限部分，則曲面積分yzdS 2

2設為球面(x1)2y2(z1)21，則(2x3yz)dS 4444 P(xyz)dxQ(xyz)dyR(xyz)dz的物理意義：變力沿著空間曲線LL,,

積分與路徑無關定義：LP(x,y)dxQ(x, LD LQPPdxQdy在D內(nèi)是某一函數(shù)u(xy) 若P(xyzQ(xyzR(xyz)在 PdxQdyRdz

空間區(qū)域是由分段光滑閉曲面PdydzQdzdxRdxdy(PQR Lx2y24IL

y3dx3yx2dyydx 2y22計算曲線積分 2，其中L:(xL

yxtsint

(xy)dx(x設L是擺線y1cos x2

x2y2z2計算ILydxzdyxdz，其中L為曲線xyz 設為xyz1在第一卦限部分的下側(cè)，則(x2z)dxdy等于 （A）1dx1x(x21x （B）1dx1x(x21x

（C）0dy0(x （D）0dx0(xSxyz1zf(xyzSI[f(x,y,z)x]dydz[2f(x,y,z)y]dzdx[f(x,y,z)SI(x3az2dydzy3ax2dzdyz3ay2dxdy，其中半球面z a2x2y2的上側(cè)

xdydzydzdxzdxdy，其中2x22y2z243 (x2y2z2314行列式的計算 44444444444444444低階行列式的計算拉斯；范德蒙行列高階行列式的計算"對角線行列式 "爪" ：EijAA;AEijA;Ei(k)AkA;AEi(k)kA；Eij(k)AA

A,j拉斯

j, ,則 C B, A A(1)mnA

(aa

1i 0 a00 a0a0 00

2

a

a12 0 a220

0 a2n0

(1)2a

an,n1

an1

1n 1 f0

11 xx00x(3Dn0000000xabbabbbabbbb 計算行列式

A,kAknA,AB

AB,

An1,A1 kkk(,,,k2

k1 1 2 n n) kn若A的特征值，則f(是fA的特征值； B=a13a22a3,a22a3,2a2a3則B 設A為奇數(shù)矩陣，且AATATAE，A0,則AE 44444484448444ABBAABACA0BCAB0A0或者B 換律的情況 換律的情況fA)與gAB

B （A）（A+A1)2A22AA1(A1 （B）（A+AT)2A22AAT(AT（C）（A+A)2A22AA(A （D（A+EA是n階方陣，x是任意的n維列向量，B是任意的n AB0A（C）Ax0A

BTAB0A（D）xTAx0A(2)AkEB,則AnkEB)nC0kE)nC1kEn1BCn

AP,則AnPn1 (1)設=1,2,3，= ,，A，則A 2 3設A 4，求An(n3) 1 0 已知APPB,其中B 0,P 0,求A, (1)A*定義：A* n2其中A為a的代 式 A

nn*

(2)：AAAA

AE；當A可逆時，AAA,

r(A)(3)秩：rA1,rAn 0,r(A)n：A*An1;A*TAT*;(cA)*cn1A*;(AB)*B*A*;(Ak)*(A*)k;(A*)*An2ATA*ATAEA1;ATA*ATAEA設A是n階可逆方陣（n2），A是A的伴隨矩陣，則A=

（B）An+1 （C）An2 （D）An+2 判別：方陣A可逆ABEr(A)

A0Ax0 b

b(I)二階方陣A d

adbc a

0

分塊矩陣

A

B1(III

B

B1 0

0

1

a

a n11 11

1 (IV

an

1 a n ：(A1)1A,(kA)11A1,(AB)1B1A1,(AT)1(A1)T;(A*)1(k ③若B可逆，則AB可逆； 0設四階方陣A

0則 1設矩陣A

0求A030 030 0 0 設可逆矩陣則B

，則B 0

)1E1,

)1

i(k

i(k

ij(k 列和第2列對換得到B，又AB 2,則AB 1 2 2

4 0 1，則 0 1 3 (1)先化簡，將給定式子變?yōu)锳XB或者XAB或者AXC(2)左乘或者右乘可逆矩陣得：XA1B或者XBA1或者XA1BC設(2EC1BATC1E4AT4A的轉(zhuǎn)置矩陣，已12 ,C12012 ,C120012012B 1 1A

B

0

0

0 DT B Bn B B1

0

B AB* 0 0 0 B AmnBns a' c' 1n1 1 c' 2n 2 2C的行向量能夠被B c' m

mn

n

nb1sb2s c1c2csC的列向量能夠被A b

c'

n

ns1 1 c' 2B

2 c'm s設A,B,C均為n階矩陣，若ABC，且B可逆，則 44444444444n1個n維向量必相關；

矩陣A與B等價rA )) 為0 20

00 0 定義：r(A)k: rAA的行向量的秩A的列向量的秩

數(shù)乘：r(kArAk加法：rABrA(iv)r(AB)min{r(A),r(B)}(v)當A列滿秩時，rABr(B)；當B行滿秩時，rABrr(A)r(B)AmnBns0B的列向量是Ax0(vi)r(A*)

r(A)nr(A)n10,r(A)n對任意矩陣ArArATrAATrATmax{r(A),r(B)}r(AB)r(A) 已知r(A)r1，且方程組AX有解，r(B) ，且BY無解， rr1（C）rr1r2

rr1已知Q t，P為3階非零矩陣，且滿足PQ0，則 9 （A）t6，P的秩必為 （B）t6，P的秩必為t6，P的秩必為 （D）t6，P的秩必為設A為4階矩陣，其秩rA3，那么rA** 0已知A 0，則r(AE)r(2EA)

k1k2knAmnX為nAX0 444444rAnmnA

r(A)

A 無解rA1r

x

有解rArAb)n 特別的,當mn時A0Axb （A）ATx0只有零 （B）ATAx0必有無窮多對任意的b，ATxb有唯一 （D）對任意的b，Axb有無窮多 x+ 的系數(shù)矩陣為A，若存在3階矩陣B0，使得AB0，則 （A）2且B （B）2且B（C）1且B （D）1且Bx1，x2是Ax0的解，則k1x1k2x2是Ax0的解

snr( 若B x sn B ,

x1x2 x1x2x3（Ⅰ）xx xx x13x23x4已知方程組（Ⅰ）7x3x

.. An階矩陣，對于齊次線性方程組（Ⅰ）AnX0和（Ⅱ）An1x0 44444444 iaii,A Af(P1APf1A?的個數(shù)nrAE)k C

若AT的特征向量，那么A的特征向量 可逆矩陣P，s.t.P1APBA~

A~B

若A~BfA~f(BAT~BTA1~B1A*~ （D）對任意常數(shù)t，tEA與tEB相(1)AB~ (2)A2~ (3)AT~ (4)A1~）套路12:A是否實對稱是A的特征值是根重根重數(shù)是否等于無關特征向量的個數(shù)是 設A 2，B 0，C 0,D 0,其中與對0001 0P1AP0

套路13:

n (1)證明A∽B,其中A ,B

n

0 2 1 B20000套路14:T10,1,1T 3階實對稱矩陣A的各行元和均為3,向量1,2,1T,0,1,1T是線Ax=0(Ⅰ)求A)Q和對角矩陣A,使得QTAQA 444444544444 fx1x2xnaijxixjni1j注：若記X=x,x,...,xT,A=a ，則f可表述成矩陣形式：fXT ijAAfXTAX的矩陣。

A2形如z2z2...z2 ...z2的二次型為規(guī)范 二次型f(x,x,x)x24x24x24xx4xx8xx的規(guī)范型是 1 1 2 （A）z2z2 （B）z2 （C）z2 )①fx,x,xx22x22xx2xx2x 1 1 2②fx1,x2,x3x1x2x1x3x2f(x,x,x)4x23x24xx4xx8x 1 1 2①定義（證明題）x0,有xTAx正定矩陣的充分必要條件是B的秩r(B)nf(xxx2x2x2x22txxtxxt 1 2.設AE2XXT，其中Xx,x,...,xT，且XXT1，則A不是 AA~A?PAQP1APCTACrArB無同 已知A 0，B 6，C 5，D 0 t 3 0 0 444444444844AUBAIBAIBAUPB|A

PA

AB獨立AB獨立AB獨立AB獨立概率為0或1的與任何獨立

A，B滿足條件ABUAB，則 A，B兩為對立（D）A，B兩不相互獨（2）設A與B是兩隨機，P(B)0.6且P(AB)0.5，則P(AB) 若0P(B1PAB)+PAB)1ABABP(BA1PAB設A，B，C是三個，則(AB)UBAU A，B同時發(fā)生時，C必發(fā)生，則P(C)P(A)P(B) PA0或P(B

nnkPXkCkpk1pnk,k0,1,nPXkp1pk,k0,1,2ax隨機地向半圓0y 2axx軸夾角4 n ：PBi|A

PA|BjPBjn

j1,2,...n求先抽到的一份是的概率p；從甲袋中取出的球是11黑的概率q. 84448444F(x)P{Xx},xP{Xxk}Pkk1,2,xF(x)fPkPkkf(x)f(x)dxP{Xa}不一定為0P{Xa}0,a設X1,X2為獨立的連續(xù)型隨 量，分布函數(shù)分別為F1(x),F2(x),則一定是某一隨 （C）F1(x)F2(x)（D）F1(x)/F2 量X的分布函數(shù)為F(x)，概率密度為f(x)af1(x)bf2(x)，其中f1(x)1

（A）a1，b0（B）a ，b （C）a ，b （D） (x設 量X的分布函數(shù)F(x)1/

(0x1),則P{X1} (x1)

12

設隨量X與Y相互獨立，且XN(0,1),Y(n,p)（0p1），則X+（ ） （B）恰有n1個間斷 7

，則 8p1PX4,pPY5,則

對任意實數(shù)p1對任意實數(shù)p1X的取值范圍對x分類討論，寫出分布函數(shù)定義X的取值法：YgX),已知X的概率密度為fX(xg(x)單調(diào)可導則fYy)fX(g1yg1y)]'向半徑為r的圓內(nèi)隨機拋一點，求此點到圓心的距離X的分布函數(shù)F(x3PX2r3 求相繼兩次故障之間的時間間隔TFT(t1

5服務而離開窗口的次數(shù)，求