二次型與極值

二次型與極值摘要"元函數(shù)極值的判別法很多，在本文中我們將利用二次型來判別〃元函數(shù)的普通極值與條件極值并應用到二元函數(shù)上。首先，再討論二次型與普通極值的關系時我們先討論極值存在的必要條件，再討論極值存在的充分條件（第一充分條件和第二充分條件），在討論第一充分條件是利用函數(shù)的連續(xù)性，而在討論極值存在的第二充分條件中以二階偏導數(shù)和泰勒展開式的知識為基礎，利用二次型的性質(zhì)得出極值的存在性和為何種極值就取決于二次型的正定性和負定性，當二次型為正定時多元函數(shù)此時取極小值；當二次型為負定時多元函數(shù)此時取極大值；當二次型為不定時，此時多元函數(shù)無極值。再從多元函數(shù)的情形中得到二元函數(shù)和一元函數(shù)的極值判別法。在討論□元函數(shù)的條件極值問題時，利用的是拉格朗日乘數(shù)法先得出條件極值的必要條件，再根據(jù)必要條件討論11元函數(shù)極值存在的充分條件再舉一在實際問題中的條件極值的例子加以說明。關鍵詞：二次型，〃元函數(shù)，極值，穩(wěn)定點，正定性，負定性。QUADRATICFORMANDEXTREMEVALUEPROBLEMEOFMULTI-VARIABLEFUNCTIONABSTRCTThecirculai-functionextremevaluedistmctionlawareveiymany,wewilluseinthisarticletwotimedistinguishedtheciiculaifiinctiontheorduiaiyextremevalueandtheconditionextremevalueandwillapplyinthedualfunction.First,thendiscussestwotimewithwhentheordinaiyextremevaluerelationswefirstdiscusstlieextremevalueexistencetheessentialcondition,thendiscussestheextremevalueexistencethemdiscussesthefirstsufficiencyisusesthefxinctiontliecontinuity,butmthediscussionextiemevalueexistencesecondsufficiencytaketwostepspartialderivativeandtheTaylor'sexpansionknowledgeasthefoundationtObtamsusingtwonatuiewhytheextiemevaluetheexistenceandakindofextremevalueisdecidedbytwoqualitativeandnegativequalitative,whentwothistimeaietakingthenunmiumforfixedtimethefunctionofmanyvariables;Whentwothistimetaketliemaximumvalueforthenegativefixedtimefiinctionofmanyvariables;Whentwoaretheindefinitetenses,thistimethefiinctionofmanyvariablesdoesnothavetheextiemevalue?Againobtamsthedualfunctionandacirculai-functionextremevaluedistmctionlawfromthefiinctionofmanyvaluablessituation.Whendiscussesthencirculai-fiinctiontlieconditionnmimiumproblem,usesistheLagrangemultiplicatorlawfiistobtamstheconditionextiemevaluetheessentialcondition,thendiscussestliencircularfunctionextiemevalueexistenceaccordmgtotheessentialconditionthesufficiencytoliftagamoneperformsmtheactualproblemconditionextiemevalueexampletoexplamKEYWORDS:QuadraticForm,ExtremeValue,Multi-VaiiableFunction,ExtiemeValue,StablePoint,PositiveDefiiutePiopeity,NegativeDefiniteProperty目錄TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"第一章緒論 1\o"CurrentDocument"1.1課題研究背景 11.2二次型與極值的發(fā)展及研究現(xiàn)狀 1\o"CurrentDocument"第二章定義及相關定理 22.1定義 2\o"CurrentDocument"2.2二次型與矩陣的關系及相關定理 2第三章普通極值與二次型 43.1定義 4\o"CurrentDocument"3.2極值存在的必要條件 4\o"CurrentDocument"3.3n元函數(shù)極值存在的充分條件 5第四章條件極值與二次型 94.1定義 9\o"CurrentDocument"4.2條件極值存在的必要條件 94.3條件極值存在的充分條件 11\o"CurrentDocument"第五章總結(jié)和展望 14\o"CurrentDocument"5.1本文總結(jié) 145.2展望 14參考文獻 15\o"CurrentDocument"致謝 16第一章緒論1?1課題研究背景怎樣去求一個〃元函數(shù)的極值，很多論文和教材都有不同的方法，其中最常見的是用二次型來判別極值。由泰勒展式和二階偏導得出的〃元函數(shù)的極值與二次型的正定，負定性有關，當二次型不定時〃元函數(shù)不取得極值，以及教材中所涉及的判斷一元函數(shù)極值存在的求導法，在討論“元函數(shù)的條件極值存在的必要條件和充分條件時利用泰勒展式和二階偏導得出條件極值存在的必要條件和充分條件，這些論文或教材的討論比較零亂，形式不一，內(nèi)容不全面。本文將在其他論文和教材的論述基礎上進行整理，修正和提出自己的觀點。，1?2發(fā)展及研究現(xiàn)狀目前縱多著作中所討論的極值問題尤以二次型最多，有些著作討論一元函數(shù)的情形，或〃元函數(shù)的情形并應用到二元函數(shù)上。在討論〃元函數(shù)的普通極值時得出判別〃元函數(shù)極值存在的必要條件（極值點是穩(wěn)定點但穩(wěn)定點不一定是極值點），再討論函數(shù)存在的充分條件（第一充分條件和第二充分條件），利用泰勒展式和二階偏導得岀〃元函數(shù)極值存在與二次型的正定，負定有關。泰勒展式的形式不同（利用梯度知識或模長知識），并將〃元函數(shù)的情形運用到二元函數(shù)上。在討論元函數(shù)的條件極值時利用的是拉格朗日乘數(shù)法，也是利用泰勒展式得出條件極值存在的必要和充分條件，最后利用二次型的正定性和負定性來判別條件極的存在和極值的類型。第二章定義及相關定理§2-1定義定義1設〃元函數(shù)/(%)= )在點x°=(x°,---xw°)鄰近有定義，如果存在>0,使得f(x)>/(x°)(或者/(x)</(x0))yxeU(x°,￡)那么我們就說函數(shù)/在點取得極小值(極人值)；如果存在§〉0,使得f(x)>f(x°),Vxwt/(x°,￡)(或者那么我們就說函數(shù)/在點取得嚴格極小值(嚴格極大值)極小值與極大值都稱極值，嚴格極人值與嚴格極小值都稱嚴格極值。定義2設為R為一個數(shù)域，為,丕,…,X”的一個系數(shù)在數(shù)域R中二次多項式f3，呂，???￡)=q內(nèi)‘+2cl2xtx2+…+2clnx,xn+c22x^+..?+2。任￡+...+陰?！?， (1)稱為數(shù)域尺上的一個"元二次型或簡稱二次型。如：+3xlx2+4兀兀+需+x2x3+ 叫做有理數(shù)域Q上的三元二次型?！?-2二次型與矩陣的關系及相關定理令Cij=C令Cij=Ccji又由于xtj=Xji所以二次型(1)可以寫成:+C”d內(nèi)+—2兀內(nèi)+…5需=工工r=iy=i(2)Gc12…其中它的系數(shù)可以用一個nxn矩陣來表示：C=CziC"…5” 它稱為二次型(2)????????????5—2…5扁的矩陣，因為C嚴ji,i,j=\,2,???,H所以c=c我們把這樣的矩陣稱為對稱矩陣，因此二次型的矩陣都是對稱的。則二次型可以用矩陣的乘枳來表示*cx=(人x*cx=(人x2…兀)5=(q內(nèi)+注+…即兀,q站+c22x2+…+c曲，…心0+…+Cnnxn)z=l7=1故f(x故f(xl9x29--,xn)=xTcx,C=,（5=勺）如果二次型是正定的C'l/>（負定的），那么我們就說它的系數(shù)方陣C是正定的（負定的）Sylverister定理：/（心兀，…兀）=*煦=工工唧叭，（c?=J）為正定的充分必要條件是：它的系數(shù)方陣C的所有順序主子是都人于0即:c>0;>0;…;>0；c>0;>0;…;>0；推論：/u）=工c/Xj,c嚴肝QJ=1,2,…仍為負定的充要條件是sCl2sCl2>o,...(-iyC2ic22>0o第三章〃元函數(shù)的普通極值與二次型的關系§3-1定義定義1偏導數(shù)：對于函數(shù)/（x）=幾兀,兀，…兀+）給變量兀以增量必則函數(shù)/的增\xf量為△兀/= …忑+△兀?，…，兀）一/（x“???,Xi，兀?，…，兀J假若hill 存在則Aa;此極限值為函數(shù)/（X）在點雙兀/■??￡）對兀的偏導數(shù)極為乞或人。? 6xi若函數(shù)/U）=/（x1,x2,...xJ在某一個開區(qū)域R上有對于其中一個變量的偏導數(shù)，則該偏導數(shù)仍是西,￡,???&的函數(shù)，因此它可能在某一點仍有對相同變量或不同變量的偏導數(shù)，這樣的偏導數(shù)稱為/（切的二階偏導數(shù)。已知/（切對兀的一階偏導數(shù)上=生~則它對坨和廠（其中/,7=1,2,???/?,/>J）的定義2：生定義2：生dx:（/=12…仍成立，則稱“°為/（X）的穩(wěn)定點o導數(shù)記為亡，加器同樣心推出咼階偏導數(shù)：（兒???J=l，???s）§3-2極值存在的必要條件定理1（判別極值存在的必要條件）設f可微,若/（x）在屮=（斗\兀0,???￡0）取得極值且偏導數(shù)=/）存在，則/（X）在X。處的微分為零。8x.t證明（反證法）假設/（X）在才處取得極人值，不妨設/（X）在才處的微分不為0,則至少

存在一個量兀使的也（x=x°）h0再設ZU°）>0則

3xtlull紅=Hillf'…'?！悖┮?（X,，…,…）由極限的性MT0心a.itO+O Ax質(zhì)知存在Ax>h>0使得/（護，…,心「,?！?九…,兀,）一/（為°,…，兀「,?！?…,￡°）〉0h即/（才,…，?！赣?九…，兀°）>/（玳…,心「,?！?…,?！悖┻@與/（x°）為極大值相矛盾則定理1成立。同理可以證得/（X）若在x°取得極小值則得竺（x=x°）=o此時的X0稱為/（X）的穩(wěn)oxi定點，由定理1知偏導數(shù)存在的函數(shù)的極值點必為穩(wěn)定點，但穩(wěn)定點不一定是極值點。如函數(shù)w=A>z其中（0,0,0）是它的穩(wěn)定點，但不是的極值點。因在點（0,0,0）處函數(shù)的值為0,在此點的任一鄰域內(nèi)，函數(shù)既可以取得正直也可以取得負值。因此（0,0,0）不是函數(shù)W=A>Z的極值點。§3-3"元函數(shù)極值存在的充分條件3-3-1海賽矩陣設"元函數(shù)f（x）=f（xl,x2,--xn）在x°=（x1°,x2°,---xw°）點具有二階連續(xù)偏導數(shù)并記人（*）人七（?！悖虂V3）、

f（x°）f（XQ） ?…f（x°）為H代門=xz w w 此矩陣稱為/在點的Hessian矩陣。????????????厶衛(wèi)。）fvsxQ）...由二階偏導數(shù)的連續(xù)性知比曲是實對稱矩陣。3-3-2定理2（第一充分條件）若函數(shù)/*（"）=于（不,“2,…兀）在=（坷°，無°，…兀,）處連續(xù)且在t/°（x°）內(nèi)可微，如果f厶（心兀,…,兀）（?！！悖?lt;0,（或土厶3,七,…，兀）（忑一?！悖?gt;0）且/=!/=!(x1,x2,---xn)Gt/0(x0),則函數(shù)f(xl,x2,---xn)在x°=(x10,x20,---x/j°)處有極大值(或極小值)。證明：設n元函數(shù)/U)=/(x1,x2,...xn),x°=(x1°,x2°,...x/j0)Gt/°(x°)令/(，)=/(X,+心一?！?,???,x”°+心一兀,)’te［o,l］由條件知/⑴在處連續(xù)且在U°(x°)內(nèi)可微，所以/(/)在［0,1］上連續(xù)且在(0,1)內(nèi)可微，于是存在se(O,l)使得/(1)-/(0)=/(5)即/w-/a°)=4(V+s(x-聲)，…,x°+s(x一x°))(x-聲)+???+￡”(X1°+S(X一?！?，…,xn+S(x~Xn))(X~Xn)1r=-/^?，…，?。(厲-兀門+…+厶/久…‘卽何-兀：)］〉?；?<0)則/(x)<f(x°)或/(x)>f(x°)即f(x)在處取得極人值(或極小值)3-3-3定理3(第二充分條件)設函數(shù)/(%)=f(Xl9X29---Xn)在點X。=(才,耳°,…?！?鄰近至少是二階連續(xù)可微的,X。是f的一個穩(wěn)定點(/(X0)=0,z=1,???/?;f..(X0)=0,i,J=1,???/?)如果函數(shù)/■在點x°的Hessian方陣(門是正定的，那么/(x)在點x°取得極小值。如果函數(shù)/在x°的Hessian方陣日/曲是負定的，那么/(%)在點x°取得極大值。如果函數(shù)/在點%0的Hessian方陣H,?！遣欢ǖ?，那么/(%)在點x°不取得極值。證明:考察函數(shù)f(x)=/(xpx2,...x?)在屮=(好,席,?7”°)點處的Taylor展開式：/W=/U°)+SA(〃)(兀-家)+￡￡￡厶的(兀--?。)/=1 乙?r,7=l+0(卜-一牙。~)

=/(*)+[人(F),人(小,…人(X。)]+￡(兀一X]°, x2-x2°,…X”一?！?+0(卜-x°「)=/(X°)+[厶(V5),人(/),???￡”(-v°)]Ar\兀一￡°丿因此f在點x°能否取得極值取決于二次型Av77/Ar0Ax的符號Ax>0,Ar<0，當二次型心7力/曲心是正定二次型(即日心。丿是正定矩陣)即HH則在|Ax|足夠小時f(x)-/(x°)>0,則f(x)在Ax>0,Ar<0，當二次型心7耳曲心是負定二次型(即(鬥是負定矩陣)即2H則在|綱足夠小時/(x)-/(x°)<0,則/⑴在處取得極人值。當日幾門不定時，則f(x)-f(xQ)的符號是不定的，則無極值。例1三元函數(shù)f(x,y,z)=x2+2y2+3z2+2x+4y-6z求它的極值。x=-l￡=2x+2=0解由</v=4y+4=0=><[y=-1,x=-l￡=6z-6=0[Z=-i二> 穩(wěn)定點=(―1廠1、—1)人(X。)=2,人(X。)=0,人X)=0，人(X。)=0,4(x°)=4心匕°)二0,尢(小=0,人(X。)=0,尢(士)=6,

200=8>0,0400060\200\20又宀％可得04(00所以，Ht^Q）是正定的則/（兀?、圃邳cx°=（—1,-1廠1）處取得極小值即/(-L-l,-1)=(-1)2+2x(-l)2+3xl2+2x(-1)+4x(-1)-6xl=-63-3-4當f為二元函數(shù)對二元函數(shù)Z=f（x.y）在穩(wěn)定點（X0,/）處￡（兀°“°）=0/v（x°O,0）=0，令"=yQ）^=人（/，y°）=人CAy°）,w=人￡才），（1）當％正定時，即（1）當％正定時，即u>0.uw-v2>0,則函數(shù)z=在點（X%/）處取得極小值。⑵當%（3）在二次矩陣H負定時，即u<0,wvv-v⑵當%（3）在二次矩陣H負定時，即u<0,wvv-v2>0,則函數(shù)2=/（兀刃在點IIf(x°) \)中因為MVV-V2>0,比W中至少有一個不為H-u=w=0時函數(shù)Z=/（?5y）在點（x\yQ）處不取得極值。3-3-5當/（X）為一元函數(shù)若/（Q在點*處有二階連續(xù)的偏導數(shù)且/（x°）=0（1） 當f'\x°）>0時即巧曲=[f'（x°）]>0時/（X）在點x°處取得極小值。（2） 當f'\x°）<0時即色曲=[/”（/）]<0時/⑴在點兀。處取得極大值。第四章〃元函數(shù)的條件極值與拉格朗日乘數(shù)法§4-1定義定義1目標函數(shù)：在實際問題中我們要求某個函數(shù)使得其總能取得的值盡可能的人或小，來得到最好的效益，我們稱這種能反映我們所期望的效益的函數(shù)為目標函數(shù)。定義2條件極值：在實際問題中，有時要考察這樣的目標函數(shù)/（兀）=餉,兀,…兀田），（1）它的變元必須滿足一定的約束條件了?）=人（兀,…,￡+,）=0< ,（2）丿⑴=/（兀，…,￡+,）=0我們有時需要求目標函數(shù)（1）在條件（2）的約束卞的極值這樣的極值稱為條件極值。§4-2條件極值存在的必要條件4-2-1在討論之前先假定（1）和（2）中的函數(shù)均連續(xù)口I微且（2）中的各函數(shù)滿足以下正則條件rank￡L即表示矩陣的秩，條件（3）在一定的情況卞要變換形式，假定在所涉及的點鄰近有°（人…丿）工0（4）于是在這些點附近由（2）可以解出兀+】，…，兀+J乂+產(chǎn)&（為，???，￡）? ,（5）…，兀）把（5）代入（1）可以得到這樣一個函數(shù)兀,???￡,￡（心￡（兀，…,X”））（6）

于是條件極值問題就轉(zhuǎn)化為求目標函數(shù)（6）的無條件極值問題，然而在實際運用中困難很大，因為從方程組（2）中解出（5）不容易。4.2.2我們可以采用一種簡易的處理方法即拉格朗口提出的待定系數(shù)法：首先要定義一個含有/個待定乘數(shù)人…人的輔助函數(shù)（7）其次證明目標函數(shù)（1）在條件（2）的約束卜?的極值點都是這輔助函數(shù)的穩(wěn)定點。定理4目標函數(shù)（1）在條件（2）的約束下在點b=（切,?，…化+J達到極值，那么存在兄=（人凡,…人）wR'使得@,刃是輔助函數(shù)（7）FQ）=/（%）+ 的穩(wěn)定點r=l即b和兄應滿足方程組：輕+立I,沁（b）=（U=l,.r+f<dxk$dxk （8）/；@）=0,廠=1,.../證明：如前所述，所討論的條件極值問題等價于函數(shù)（6）的無條件極值問題，因而在點b=（b少，…也）處應有$=OJ=1,...〃即生+土衛(wèi)一處=OJ=1,…,〃（9）- dX> 迦j=L&卄j而笑和衛(wèi)—均在少少，…,b出）處取值，但邑在&,b、,…如處取值，i=1,???/,）=1,…,/假定以后遇到類似的情形，同樣去理解，由于計算隱函數(shù)偏導數(shù)的麻煩，有必要消去（9）中的d,我們可以用下面一些恒等式：dxi匕（心…（人，…oj,…，￡（心…,￡））=o,gi,…r）對這些恒等式兩邊對X.（/=!,..-7?）求偏導得到QufQuQs丄+工—一d= h…,/J=l…〃（10）將（10）中的各式分別乘以待定乘去，;=1兀+/乞數(shù)然后加到（9）上去，可以得到：6（坷,…乞）6（坷,…乞）°（￡+1昇??,兀出）（b）H0、（b=（幾…嘰）我們可選擇備心…兒使得理+ix如）=（）對于這樣選擇的人,人,…人從（11）式又可以得到由（12）和（13）我們得到約束極值的必要條件：存在久=（人,心??乂疋尺使得@説）適合方程組-—(Z?,2)=(7r(Z?)=0?r=為了討論條件極值的充分條件的方便，我們將滿足條件（2）的點X的集合記為P,設點b滿足定理4中所述的必要條件，對于P上鄰近于b的點X,i^h=x-b貝ij有f（b+h）-J（b）= 人+牙工c[（b）h[hk+ ||~）?（15）A=1 上*,/=lGX/OXk由于展式中的一階導不一定為0,所以不能利用二階導來判別極值是否存在，為了便于討論，我們設法從（15）式中消去一階項bwP,b+hwP,應有0=U@+h）_U「（b）,r=l,?rf用泰勒公式展開即得將（16）式中的各項分別乘以人説空…人，然后加到（15）式上（其中b和兄滿足條定理5設（1）和（2）中的各函數(shù)至少是二階連續(xù)且可微的，又設b和；I滿足必要條件

（8）并記F（x,/l）=/（x）+工久“⑴如果方陣r=l是正定的（負定的）,A（8）并記F（x,/l）=/（x）+工久“⑴如果方陣r=l是正定的（負定的）,A7=1那么目標函數(shù)（1）在條件（2）的約束卞在b點取得嚴格極小值（嚴格極大值）。19例2曲線y2-x3=0（X>0,）Y0）與直線X—y-—=0之間距離最短的兩點位置。解：設曲線上的點為（x,y）,直線上的點為@?。﹦t這兩點間的距離為即廠=(x-a)2+(y-b)2,(/>0)下面將采用拉格朗口乘數(shù)法求/的最小值。r r IQ令F(x9y,a,b)=l2+Al(y2-xi)+A2(a-b-—)r 194

r8

r，13"回

b=丄，54人=——,1 54入=-丄4

r8

r，13"回

b=丄，54人=——,1 54入=-丄? 9Fx=2(x-a)-3人亍=0,Fy=2(y-b)-2Aly=09

化=-2(x-a)+A2=0,/r=_2(y_^)_22=0,解得<y2-x3=0(x>0、y>0)，ci-b-—=0.2713 1二丄）又因為A13 1二丄）又因為得到穩(wěn)定點=(兀兒。上)=(懇,不 丿?1八9271854J=2-6肚g=0,Fxa=一2,Fxb=0,Fyx=0,F>y=2+2備J=0,Fyb=-2Fax=-2凡=0代=2,珞=o,Fbx=0.Fhy=-2九=0屁=2,□1宀@°)=2-6人x ^.=2+2^=-所以Hessian矩陣為'90-2、02H =010-2皿8-2020<0-202丿

99 2H嚴一＞0#=99 2H嚴一＞0#=上2 ■門0（〉°耳=9-2OO1-80O<75_4--

冋O>8-3此時的矩陣既不正定也不負定，由于只有一個穩(wěn)定點且問題本身決定它一定能夠取得最小值,即在穩(wěn)定點處能取得最小值,則曲線上的點（需）和直線上的點（篇心）即為所求。第五章總結(jié)和展望§5-1本文總結(jié)本文正文部分共分三章：第一章介紹極值和二次型的定義及相關的定理推論，第二章簡介二次型與普通極值的關系主要系統(tǒng)介紹極值存在的必要條件和第一，第二充分件，并應用到二元和一元函數(shù)的情