兩個重要極限無窮小的比較

第一頁，共三十二頁，2022年，8月28日11.夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則?

：準(zhǔn)則Ⅱ

：單調(diào)有界數(shù)列必有極限.2.單調(diào)有界準(zhǔn)則一、極限存在準(zhǔn)則第二頁，共三十二頁，2022年，8月28日例1解由兩邊夾法則得第三頁，共三十二頁，2022年，8月28日證明略準(zhǔn)則Ⅱ單調(diào)有界數(shù)列必有極限.2、單調(diào)有界準(zhǔn)則第四頁，共三十二頁，2022年，8月28日證(舍去).)的極限存在式n例2(重根證明數(shù)列第五頁，共三十二頁，2022年，8月28日二、兩個重要極限設(shè)單位圓O，圓心角作單位圓的切線第六頁，共三十二頁，2022年，8月28日注意：（令）2)作用：第七頁，共三十二頁，2022年，8月28日解：解：1.=1例1.求例2.例3.解：第八頁，共三十二頁，2022年，8月28日例4.解：思考：第九頁，共三十二頁，2022年，8月28日我們從三方面來認(rèn)識這個極限：2)第二項(xiàng)與指數(shù)互為倒數(shù).極限形式是3)不管自變量如何變，滿足前兩個條件，極限值=e(e=括號內(nèi)第一項(xiàng)是1，中間是“+”號，證明略如:1)第十頁，共三十二頁，2022年，8月28日例5.解:第十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日補(bǔ)例.解:解:經(jīng)驗(yàn)：含冪指函數(shù)型極限常用第二個重要極限第十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日解例8計算第十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日解例10第十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日思考與練習(xí)第十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日兩個重要極限:第十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日第一章都是無窮小,第六節(jié)引例.但無窮小的比較可見無窮小趨于0的速度是多樣的.極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同，兩個無窮小商的極限用來比較兩個窮小無趨向于零的速度“快慢”第十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日1.定義:注：判斷無窮小的階,實(shí)際上就是求兩個無窮小商的極限.第十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日注意：1.無窮小的比較是無窮小與無窮小比較的；2.零是階最高的,一般是比較非零無窮小的;3.無窮小的階的高低是相對的;并依賴于極限過程的;4.無窮小的比較是型極限的另外一種說法；5.有兩個重要的符號例如第十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日證:例1.則第二十頁，共三十二頁，2022年，8月28日證:即有等價關(guān)系:1)上述證明過程也給出了關(guān)系:例2.

證明:2)常用等價無窮小:說明:把所有換成也成立第二十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日證:必要性充分性意義:由等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式．2.等價無窮小的性質(zhì)第二十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日例如,（自反性）（對稱性）（傳遞性）第二十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日定理2(等價無窮小代換定理)證：說明：即定理?xiàng)l件滿足時,可以只代換無窮小的分子或分母.即定理?xiàng)l件滿足時,可以代換積中因式的無窮小.第二十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日3.無窮小的商或乘積的極限可分別用無窮小代替，對于代數(shù)和中各無窮小不能分別等價代換.這是求極限的又一種好方法,注意適用條件.例3.求解:第二十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日只可對函數(shù)的乘積因子作等價無窮小代換,對于代數(shù)和中各無窮小不能分別等價代換.切記:補(bǔ)例4.解:錯解:第二十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日內(nèi)容小結(jié)1.兩個重要極限：代表相同的表達(dá)式2.無窮小的比較：設(shè)

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對同一自變量的變化過程為無窮小,且是的高階無窮小是的低階無窮小是的同階無窮小是的等價無窮小是的k階無窮小第二十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日3.等價無窮小代換定理：5.常用的等價無窮小：4.注意事項(xiàng)：1)并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較.不可比.2)只可對函數(shù)的乘積因子或商作等價無窮小代換,對于代數(shù)和中各無窮小不能隨意等價代換.第二十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日最記得注意的是：當(dāng)時第二十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日新增求極限的方法：8.重要極限法9.等價無窮小代換法注意各種求極限方法的理論依據(jù)、使用條件與范圍.作業(yè):P54

1(1)(3)(5)(6)(7)(8);2;3(2)P661（2,4）;2；3