計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第6章時(shí)間序列分析

計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第6章時(shí)間序列分析第一頁(yè)，共62頁(yè)。6.1時(shí)間序列分析的基本概念6.2平穩(wěn)性檢驗(yàn)6.3ARIMA模型6.4協(xié)整與誤差修正模型6.5*向量自回歸（VAR）模型第二頁(yè)，共62頁(yè)。第一節(jié)時(shí)間序列分析的基本概念

一、時(shí)間序列與隨機(jī)過(guò)程

隨機(jī)變量組成的一個(gè)有序序列稱為隨機(jī)過(guò)程，記為簡(jiǎn)記為或。隨機(jī)過(guò)程中的每一個(gè)元素都是隨機(jī)變量。隨機(jī)過(guò)程的一次觀測(cè)結(jié)果稱為時(shí)間序列，用表示，并簡(jiǎn)記為或時(shí)間序列中的元素稱為觀測(cè)值。第三頁(yè)，共62頁(yè)。時(shí)間序列

隨機(jī)過(guò)程的一次實(shí)現(xiàn)稱為時(shí)間序列，可用{xt}或xt表示。隨機(jī)過(guò)程與時(shí)間序列的關(guān)系圖示如下：樣本空間第四頁(yè)，共62頁(yè)。比如某河流一年的水位值，{x1,x2,…,xT-1,xT,}，可以看做一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，每一年的水位記錄則是一個(gè)時(shí)間序列，如{x11,x21,…,xT-11,xT1}。而在每年中同一時(shí)刻（如t=2時(shí)）的水位記錄是不同的，{x21,x22,…,x2n,}構(gòu)成了x2取值的樣本空間。第五頁(yè)，共62頁(yè)。二、平穩(wěn)性（Stationarity）

1.嚴(yán)平穩(wěn)如果一個(gè)時(shí)間序列xt的聯(lián)合概率分布不隨時(shí)間而變，即對(duì)于任何n和k，

x1,x2,…，xn的聯(lián)合概率分布與x1+k,x2+k,…

xn+k的聯(lián)合分布相同，則稱該時(shí)間序列是嚴(yán)格平穩(wěn)的。第六頁(yè)，共62頁(yè)。2、弱平穩(wěn)

由于在實(shí)踐中上述聯(lián)合概率分布很難確定，我們用隨機(jī)變量xt（t=1,2,…）的均值、方差和協(xié)方差代替之。如果滿足：則一個(gè)時(shí)間序列是“弱平穩(wěn)的”，通常情況下，我們所說(shuō)的平穩(wěn)性指的就是弱平穩(wěn)。第七頁(yè)，共62頁(yè)。三、五種經(jīng)典的時(shí)間序列類型

1.白噪聲（Whitenoise）

白噪聲通常用εt表示，是一個(gè)純粹的隨機(jī)過(guò)程，滿足：（1）E(εt)=0,對(duì)所有t成立；（2）Var(εt)=σ2，對(duì)所有t成立；（3）Cov(εt,εt+k)=0，對(duì)所有t和k≠0成立。白噪聲可用符號(hào)表示為：εt～I(xiàn)ID(0,σ2)（）

這里IID為IndependentlyIdenticallyDistributed（獨(dú)立同分布)的縮寫。第八頁(yè)，共62頁(yè)。第九頁(yè)，共62頁(yè)。2.隨機(jī)漫步（Randomwalk）如果一個(gè)序列由如下隨機(jī)過(guò)程生成：

xt=xt-1+ut

，其中ut是一個(gè)白噪聲，則該列序被稱為隨機(jī)漫步。容易證得E(xt)=E(xt-1)，Var(xt)=t2，xt的方差與時(shí)間t有關(guān)而非常數(shù)，因此隨機(jī)漫步序列是非平穩(wěn)序列。隨機(jī)游走序列可以通過(guò)差分變換后：

Δxt=ut

。由于ut是白噪聲，所以Δxt是平穩(wěn)序列，說(shuō)明隨機(jī)漫步可以通過(guò)差分變換為平穩(wěn)序列。第十頁(yè)，共62頁(yè)。

隨機(jī)游走過(guò)程是最簡(jiǎn)單的非平穩(wěn)過(guò)程，它是xt=xt-1+εt的特例，此式通常被稱為一階自回歸過(guò)程（簡(jiǎn)記為AR(1)），可以證明該過(guò)程在－1＜＜1時(shí)是平穩(wěn)的，其他情況下，則不平穩(wěn)。

xt=xt-1+εt又是xt=1xt-1+2xt-2+……+qxt-q+εt的特例，即q階自回歸過(guò)程（簡(jiǎn)記為AR(q)），如果其特征方程的所有根的絕對(duì)值均大于1，則序列是平穩(wěn)的，否則為非平穩(wěn)過(guò)程。第十一頁(yè)，共62頁(yè)。3.帶漂移項(xiàng)的隨機(jī)漫步(Randomwalkwithdrift)

首先考慮如下隨機(jī)過(guò)程：

xt=+t+

xt-1+ut其中：ut是白噪聲，t為時(shí)間趨勢(shì)。如果=1，=0，則上式為一帶漂移項(xiàng)的隨機(jī)游走過(guò)程：

xt=+xt-1+ut（1）根據(jù)的正負(fù)，xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢(shì)，這種趨勢(shì)稱為隨機(jī)性趨勢(shì)（stochastictrend）。對(duì)于（1）式我們同樣可通過(guò)差分的方法使其變?yōu)槠椒€(wěn)的序列，因此（1）式也被稱為差分平穩(wěn)過(guò)程（differencestationaryprocess），或稱隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)過(guò)程。第十二頁(yè)，共62頁(yè)。4.趨勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程（trendstationaryprocess）

xt=+t+εt

根據(jù)的正負(fù)，xt會(huì)表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢(shì)，這種趨勢(shì)稱為確定性趨勢(shì)（deterministictrend）。對(duì)于確定性趨勢(shì)，我們無(wú)法通過(guò)差分的方法消除，而只能通過(guò)除去趨勢(shì)項(xiàng)來(lái)消除，使該序列變?yōu)槠椒€(wěn)，這樣的序列我們稱為趨勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程，或稱退勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程。其規(guī)范表述如下：

xt=0

+1t+εt,εt

=εt-1+vt

,(

<1,vt

IID(0,2))

第十三頁(yè)，共62頁(yè)。

四、單整

如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過(guò)一次差分后能夠變成平穩(wěn)序列，就稱原序列是一階單整（integratedof1）序列，記為I(1)。如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過(guò)d次差分后能夠變成平穩(wěn)序列，則相應(yīng)的稱原序列是d階單整（integratedofd）序列，記為I(d)。如果一個(gè)序列不管差分多少次，也不能變?yōu)槠椒€(wěn)序列，則該序列為“非單整”（non-integrated）序列。顯然，I(0)代表平穩(wěn)時(shí)間序列。第十四頁(yè)，共62頁(yè)。

第二節(jié)平穩(wěn)性檢驗(yàn)平穩(wěn)性檢驗(yàn)的方法可分為兩類：一類是根據(jù)時(shí)間序列圖和自相關(guān)圖顯示的特征作出判斷的圖形檢驗(yàn)法；另一類是通過(guò)構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行定量檢驗(yàn)的單位根檢驗(yàn)法(unitroottest)。第十五頁(yè)，共62頁(yè)。1.時(shí)間序列圖檢驗(yàn)

根據(jù)平穩(wěn)時(shí)間序列均值、方差為常數(shù)的特點(diǎn)，可知平穩(wěn)序列的時(shí)間序列圖應(yīng)該圍繞其均值隨機(jī)波動(dòng)，且波動(dòng)的范圍有界。如果所考察的時(shí)間序列的時(shí)間序列圖具有明顯的趨勢(shì)性或者周期性，那么通常認(rèn)為該序列是不平穩(wěn)的。一、圖形檢驗(yàn)法第十六頁(yè)，共62頁(yè)。第十七頁(yè)，共62頁(yè)。2.序列自相關(guān)函數(shù)的圖形檢驗(yàn)對(duì)于一個(gè)時(shí)間序列來(lái)講，其樣本自相關(guān)函數(shù)（autocorrelationfunction,ACF）可表示為：

理論上，對(duì)于平穩(wěn)序列來(lái)說(shuō)，其自相關(guān)函數(shù)值一般會(huì)隨著滯后期k的增加而快速趨向于0；相反，非平穩(wěn)序列的自相關(guān)函數(shù)值通常隨著k的增加趨向于0的速度會(huì)比較慢，這就是我們利用自相關(guān)函數(shù)圖進(jìn)行平穩(wěn)性判斷的標(biāo)準(zhǔn)。第十八頁(yè)，共62頁(yè)。第十九頁(yè)，共62頁(yè)。二、單位根檢驗(yàn)法

在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于平穩(wěn)性的判斷，更常用的還是定量的檢驗(yàn)方法——單位根檢驗(yàn)法。

1.Dickey-Fuller檢驗(yàn)（DF檢驗(yàn)）第一步：首先對(duì)Δxt=δxt－1+εt進(jìn)行回歸，得到tδ的值第二步：檢驗(yàn)假設(shè)

用第一步得到的tδ值與臨界值τ相比較，如果tδ>τ，則接受原假設(shè)H0，即Xt非平穩(wěn)，若tδ＜τ，則拒絕原假設(shè)H0，Xt為平穩(wěn)序列。第二十頁(yè)，共62頁(yè)。Dickey和Fuller注意到τ臨界值依賴于回歸方程的類型。因此他們同時(shí)還編制了與另外兩種類型方程中相對(duì)應(yīng)的τ統(tǒng)計(jì)表，這兩類方程是：

△xt=α+δxt-1+εt

和

△xt=α+βt+δxt-1+εt

二者的τ臨界值分別記為τμ和τT。盡管三種方程的τ臨界值有所不同，但有關(guān)時(shí)間序列平穩(wěn)性的檢驗(yàn)依賴的是Xt-1的系數(shù)δ，而與α、β無(wú)關(guān)。第二十一頁(yè)，共62頁(yè)。2.ADF檢驗(yàn)

在DF檢驗(yàn)中，實(shí)際上是假定了時(shí)間序列是由具有白噪聲隨機(jī)誤差項(xiàng)的一階自回歸過(guò)程AR(1)（見教材式）生成的。但在實(shí)際檢驗(yàn)中，時(shí)間序列可能由更高階的自回歸過(guò)程生成的，或者隨機(jī)誤差項(xiàng)并非是白噪聲的，為了保證DF檢驗(yàn)中隨機(jī)誤差項(xiàng)的白噪聲特性，Dicky和Fuller對(duì)DF檢驗(yàn)進(jìn)行了擴(kuò)充，形成了ADF（Augment

Dickey-Fuller

）檢驗(yàn)。第二十二頁(yè)，共62頁(yè)。

ADF檢驗(yàn)的模型1：ADF檢驗(yàn)的模型2：ADF檢驗(yàn)的模型3：第二十三頁(yè)，共62頁(yè)。三個(gè)模型檢驗(yàn)的原假設(shè)和備擇假設(shè)都是：H0：

=0;H1：

<0。只要上述三個(gè)模型中有一個(gè)能拒絕原假設(shè)，則說(shuō)明原序列是平穩(wěn)的；若三個(gè)模型都接受了原假設(shè)，則說(shuō)明原序列是非平穩(wěn)的，進(jìn)而需要對(duì)其一階差分序列再進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。ADF檢驗(yàn)的原理與DF檢驗(yàn)相同，只是對(duì)模型1，2，3進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，各自的臨界值由ADF分布表給出，比較計(jì)算得到的統(tǒng)計(jì)量與臨界值的大小即可對(duì)H0進(jìn)行判斷。第二十四頁(yè)，共62頁(yè)。我們使用1995-2014年全社會(huì)固定資產(chǎn)投資與GDP數(shù)據(jù)為例來(lái)對(duì)其進(jìn)行如對(duì)GDP進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，結(jié)果如下：NullHypothesis:GDPhasaunitroot

Exogenous:None

LagLength:3(Automatic-basedonSIC,maxlag=4)

t-Statistic

Prob.*

AugmentedDickey-Fullerteststatistic-0.264131

0.5749Testcriticalvalues:1%level

-2.717511

5%level

-1.964418

10%level

-1.605603

*MacKinnon(1996)one-sidedp-values.

Warning:Probabilitiesandcriticalvaluescalculatedfor20observations

andmaynotbeaccurateforasamplesizeof16

第二十五頁(yè)，共62頁(yè)。表6-3顯示ADF檢驗(yàn)值為-0.264131，大于軟件給出的1%、5%和10%三個(gè)水平的臨界值，檢驗(yàn)伴隨概率為0.5749，我們可以得到結(jié)論GDP是非平穩(wěn)序列。當(dāng)然大家可以對(duì)包括截距項(xiàng)的和既包括截距項(xiàng)又包括趨勢(shì)項(xiàng)的的兩個(gè)模型分別進(jìn)行檢驗(yàn)，可以得到同樣的結(jié)論。第二十六頁(yè)，共62頁(yè)。第三節(jié)ARIMA模型ARIMA模型（autoregressiveintegratedmovingaveragemodel），又稱為Box-Jenkins模型，簡(jiǎn)稱為BJ模型。它是單變量時(shí)間序列在同方差情況下進(jìn)行線性建模的最常用的方法。ARIMA模型實(shí)質(zhì)上是差分運(yùn)算與ARMA模型的組合，它不同于經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型的兩個(gè)主要特點(diǎn)是：第一，這種建模方法不以經(jīng)濟(jì)理論為依據(jù)，而是依據(jù)變量自身的變化規(guī)律，利用外推機(jī)制描述時(shí)間序列的變化；第二，明確考慮時(shí)間序列的非平穩(wěn)性，如果時(shí)間序列非平穩(wěn)，建立模型之前應(yīng)先通過(guò)差分把它變換成平穩(wěn)的時(shí)間序列，再考慮建模問(wèn)題。第二十七頁(yè)，共62頁(yè)。一、ARMA模型1.ARMA模型的種類ARMA模型全稱為自回歸移動(dòng)平均模型，是目前最常用的擬合平穩(wěn)序列的模型，包括AR模型、MA模型和ARMA模型。（1）AR(p)模型

AR(p)模型可以表述為：(6.3.1)第二十八頁(yè)，共62頁(yè)。當(dāng)p＝1時(shí),稱為一階自回歸模型，簡(jiǎn)記為AR(1)。

（6.3.2）

（）中0，1，…p為模型的待估參數(shù)；p為自回歸模型的階數(shù)；εt為白噪聲。第二十九頁(yè)，共62頁(yè)。（2）MA(q)模型

MA(q)模型可以表述為：其中q是移動(dòng)平均模型的階數(shù)；1，2，…q是移動(dòng)平均模型的待估參數(shù)；εt是白噪聲。（）第三十頁(yè)，共62頁(yè)。（3）ARMA(p，q)模型ARMA(p，q)模型可以表述為：顯然ARMA(p，q)是AR(p)和MA(q)的組合形式，當(dāng)p=0時(shí)，ARMA(p，q)＝MA(q)；當(dāng)q=0時(shí)，ARMA(p，q)＝AR(p)。

（6.3.5）第三十一頁(yè)，共62頁(yè)。2.ARMA模型的識(shí)別

所謂ARMA(p,q)模型的識(shí)別，就是對(duì)一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)間序列，找出生成它的合適的隨機(jī)過(guò)程或模型，進(jìn)而判斷模型的滯后階數(shù)p和q。樣本自相關(guān)函數(shù)（autocorrelationfunction，ACF）及樣本偏自相關(guān)函數(shù)（partialautocorrelationfunction，PACF）是識(shí)別模型類型的有力工具。第三十二頁(yè)，共62頁(yè)。（1）ACF時(shí)間序列xt滯后k階的樣本自相關(guān)系數(shù)（ACF)為:

（6.3.7）第三十三頁(yè)，共62頁(yè)。（2）PACF滯后k期的情況下樣本偏自相關(guān)系數(shù)(PACF)的計(jì)算公式為:

第三十四頁(yè)，共62頁(yè)。（3）AR(p)和MA(q)模型的ACF和PACF通過(guò)計(jì)算證明可知：AR(p)的ACF為拖尾序列，即無(wú)論滯后期k取多大，ACF的計(jì)算值均與其1到p階滯后的自相關(guān)函數(shù)有關(guān)（拖尾）。AR(p)的PACF為截尾序列，即當(dāng)滯后期k>p時(shí)PACF＝0的現(xiàn)象。所以，若隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，而其偏自相關(guān)函數(shù)是以p階截尾，則此序列為AR（p）序列。第三十五頁(yè)，共62頁(yè)。

而MA(q)的ACF為截尾序列，即當(dāng)滯后期k>q時(shí)，ACF＝0。

MA(p)的PACF為拖尾序列，即無(wú)論滯后期k取多大，PACF的計(jì)算值均與其1到p階滯后的自相關(guān)函數(shù)有關(guān)。所以，若隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)以q階截尾，而偏自相關(guān)函數(shù)拖尾，則此序列為移動(dòng)平均MA(q)序列。

（3）AR(p)和MA(q)模型的ACF和PACF第三十六頁(yè)，共62頁(yè)。（4）ARMA(p,q)模型的ACF和PACFARMA(p,q)模型的自相關(guān)函數(shù)，可以看成是MA(q)的自相關(guān)函數(shù)和AR(p)的自相關(guān)函數(shù)的混合物。當(dāng)p=0時(shí)，它具有截尾性；當(dāng)q=0時(shí)，它具有拖尾性；當(dāng)p和q都不為0時(shí)，它具有拖尾性質(zhì)。ARMA(p,q)模型的偏自相關(guān)函數(shù)也可以看成是MA(q)和AR(p)的偏自相關(guān)函數(shù)的混合。當(dāng)p=0時(shí)，它具有拖尾性；當(dāng)q=0時(shí)，它具有截尾性；當(dāng)p,q都不為0時(shí)，它具有拖尾性質(zhì)。第三十七頁(yè)，共62頁(yè)。第三十八頁(yè)，共62頁(yè)。二、ARIMA模型1.ARIMA模型的形式

對(duì)于非平穩(wěn)序列xt

，如果經(jīng)過(guò)d次差分能夠變?yōu)槠椒€(wěn)序列，即xt是d階單整的，xt～I(xiàn)(d)，則有如下變換：

顯然，為的階差分后序列，，于是對(duì)建立ARMA(p,q)模型：

（6.3.10）第三十九頁(yè)，共62頁(yè)。

掌握了ARIMA(p,d,q)模型的形式之后，對(duì)于ARIMA(p,d，q)的識(shí)別和估計(jì)將變得非常簡(jiǎn)單，對(duì)于非平穩(wěn)的序列xt先通過(guò)單位根檢驗(yàn)確定d值，然后對(duì)差分后平穩(wěn)的序列zt進(jìn)行ACF和PACF的計(jì)算，進(jìn)而判斷p和q的值，然后對(duì)相應(yīng)的ARMA(p,q)進(jìn)行估計(jì)，求得ARMA(p,q)的參數(shù)之后，利用上式將關(guān)于zt的ARMA(p,q)還原為關(guān)于xt的ARIMA(p,d,q)模型。第四十頁(yè)，共62頁(yè)。2.ARIMA(p,d,q)模型的建模步驟

對(duì)于ARIMA(p,d,q)模型的建模步驟具體可以概括為如下幾個(gè)步驟：第一步，對(duì)原序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，如果不滿足平穩(wěn)性條件，可以通過(guò)差分變換或者其他變換（如先取對(duì)數(shù)然后再差分）將該序列變?yōu)槠椒€(wěn)序列；第二步，對(duì)平穩(wěn)序列計(jì)算ACF和PACF，初步確定ARMA模型的階數(shù)p和q，并在初始估計(jì)中盡可能選取較少的參數(shù)；第三步，估計(jì)ARMA模型的參數(shù)，借助t統(tǒng)計(jì)量初步判斷參數(shù)的顯著性，盡可能剔除不顯著的參數(shù)，保證模型的結(jié)構(gòu)精練。（極大似然估計(jì)和最小二乘估計(jì)）第四十一頁(yè)，共62頁(yè)。第四步，對(duì)估計(jì)的ARMA模型的擾動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否是白噪聲序列。第五步，對(duì)估計(jì)的ARMA模型的平穩(wěn)性進(jìn)行檢驗(yàn)，主要看其特征根的倒數(shù)（InvertedARMARoots）是否在單位圓之內(nèi)，不在就意味著ARMA模型不平穩(wěn)，從而需要重新進(jìn)行構(gòu)造。第六步，當(dāng)有幾個(gè)較為相近的ARMA模型可供選擇時(shí)，可以通過(guò)AIC或SBC等標(biāo)準(zhǔn)來(lái)選擇最優(yōu)模型。第四十二頁(yè)，共62頁(yè)。我們?nèi)允褂?995-2014年全社會(huì)固定資產(chǎn)投資與GDP數(shù)據(jù)為例全社會(huì)固定資產(chǎn)投資（TFAI）的自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)圖第四十三頁(yè)，共62頁(yè)。GDP的自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)圖

從兩個(gè)序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)圖看到，二者均為自相關(guān)系數(shù)拖尾，而偏自相關(guān)系數(shù)截尾，所以二者均為AR(1)序列。第四十四頁(yè)，共62頁(yè)。第四節(jié)協(xié)整與誤差修正模型

經(jīng)濟(jì)分析通常假定所研究的經(jīng)濟(jì)理論中涉及的變量之間存在著長(zhǎng)期均衡關(guān)系。按照這一假定，在估計(jì)這些長(zhǎng)期關(guān)系時(shí)，計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析假定所涉及的變量是平穩(wěn)的。然而，在大多數(shù)情況下，宏觀經(jīng)濟(jì)的實(shí)證研究中所使用的變量通常是非平穩(wěn)的趨勢(shì)變量，比如收入、消費(fèi)、貨幣需求、價(jià)格水平、貿(mào)易流量等等。因此，以這種假定為基礎(chǔ)的估計(jì)方法所給出的經(jīng)典t檢驗(yàn)和F檢驗(yàn)，會(huì)給出產(chǎn)生誤導(dǎo)作用的結(jié)果。這種現(xiàn)象被Granger和Newbold稱為偽回歸（SpuriousRegression）。第四十五頁(yè)，共62頁(yè)。

考慮到經(jīng)濟(jì)學(xué)中大多數(shù)時(shí)間序列是非平穩(wěn)序列，則我們得到偽回歸結(jié)果是常見的事。從前，人們認(rèn)為處理此類趨勢(shì)變量的恰當(dāng)方法是使用差分或者其他的變換將它們化為平穩(wěn)變量。然而，最近越來(lái)越多的研究表明有更適合的方法來(lái)研究趨勢(shì)變量。如果兩個(gè)變量的漂移趨勢(shì)之間存在某種聯(lián)系，如果Xt與Yt都是1階單整，是否存在使得為平穩(wěn)的，如果存在，那么說(shuō)這兩個(gè)變量就是協(xié)整的，這樣就可以區(qū)分兩者長(zhǎng)期關(guān)系和短期關(guān)系，長(zhǎng)期關(guān)系是兩個(gè)變量一起漂移的關(guān)系，短期關(guān)系則是兩個(gè)變量相對(duì)于各自長(zhǎng)期趨勢(shì)的偏離之間的關(guān)系。第四十六頁(yè)，共62頁(yè)。

給出協(xié)整的正式定義：

如果Xt={x1t,x2t,…,xkt}都是d階單整，存在向量=(1,2,…,k)，使得Zt=XT

～I(xiàn)(d-b)(d≥b≥0)，則認(rèn)為序列{x1t,x2t,…,xkt}是(d,b)階協(xié)整的，記為Xt～CI(d,b)，其中CI是協(xié)整的符號(hào)，構(gòu)成諸變量線性組合的系數(shù)向量稱為協(xié)整向量（cointegratedvector）。

需要注意的是，在協(xié)整的定義中，協(xié)整向量是不唯一的，并且各個(gè)變量xkt必須都是同階單整的。一、協(xié)整的概念第四十七頁(yè)，共62頁(yè)。下面給出兩個(gè)特例。1.Yt，Xt～CI(d，d）在這種情況下，d=b，使得a1Yt+a2Xt～I(xiàn)(0），這意味著兩時(shí)間序列的線性組合是平穩(wěn)的，因而Yt，Xt～CI(d，d)。2.Yt，Xt～CI（1,1）在這種情況下，d=b=1，同樣有a1Yt+a2Xt～I(xiàn)（0），即兩時(shí)間序列是平穩(wěn)的，因而Yt，Xt～CI(1,1)。

第四十八頁(yè)，共62頁(yè)。二、協(xié)整的檢驗(yàn)

兩變量協(xié)整關(guān)系檢驗(yàn)的Engle-Granger法由Engle和Granger于1987年提出，簡(jiǎn)稱EG檢驗(yàn)。下面主要介紹EG檢驗(yàn)的具體步驟。第一步：用前面介紹的單位根方法求出兩變量的單整階數(shù)，若兩變量的單整階數(shù)相同，則進(jìn)入第二步；如果單整階數(shù)不同，則兩變量不是協(xié)整的；若兩變量是平穩(wěn)的，則檢驗(yàn)過(guò)程停止，可直接采用前面章節(jié)介紹的回歸技術(shù)進(jìn)行處理。第四十九頁(yè)，共62頁(yè)。第三步：用ADF檢驗(yàn)et是否平穩(wěn)。如果為平穩(wěn)序列，則認(rèn)為yt，xt為(1,1)階協(xié)整的。這里有兩點(diǎn)需要注意：第一，由于殘差et的均值為0，所以在進(jìn)行ADF檢驗(yàn)時(shí)，應(yīng)該選擇沒(méi)有截距項(xiàng)的模型進(jìn)行檢驗(yàn)；第二，對(duì)殘差et的平穩(wěn)性檢驗(yàn)的ADF臨界值通常比正常的ADF檢驗(yàn)的臨界值要小，因此不宜用Eviews中的ADF檢驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)et的平穩(wěn)性，而應(yīng)采用給定的ADF臨界值進(jìn)行判斷。第二步：若兩變量同階單整，如I(1)，則用OLS法估計(jì)長(zhǎng)期均衡方程（協(xié)整回歸）yt=β0+β1xt＋εt，將殘差et作為均衡誤差εt的估計(jì)值。第五十頁(yè)，共62頁(yè)。三、誤差修正模型（ECM）

協(xié)整分析中最重要的結(jié)果可能是所謂的“格蘭杰表述定理”（Grangerrepresentationtheorem）。按照此定理，如果兩變量yt和xt是協(xié)整的，則它們之間存在長(zhǎng)期均衡關(guān)系。當(dāng)然，在短期內(nèi)，這些變量間的關(guān)系可以是不均衡的。

兩變量間這種短期不均衡關(guān)系的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)可以由誤差修正模型（errorcorrectionmodel）來(lái)描述，“誤差修正”由Sargen1964年首先提出，而ECM的主要形式是由Davidson、Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，因而也稱為DHSY模型。第五十一頁(yè)，共62頁(yè)。

將兩變量的短期和長(zhǎng)期行為聯(lián)系起來(lái)誤差修正模型模型可由下式給出：0<<1（）其中yt～I(xiàn)(1)，xt～I(xiàn)(1)；yt,xt～CI(1,1)εt=yt－β0－β1xt

～I(xiàn)(0)；vt為白噪聲；λ為短期調(diào)整系數(shù)，反映t-1期末偏差的調(diào)整速度；lagged表示Δyt與Δxt的滯后項(xiàng)，其中包括Δxt本期。不難看出，在（）中，所有變量都是平穩(wěn)的。

是否可用OLS估計(jì)？事實(shí)上不行，因?yàn)榫庹`差εt不是可觀測(cè)變量，因而在估計(jì)該式之前，要先得到這一誤差的值。第五十二頁(yè)，共62頁(yè)。對(duì)于（）的估計(jì)，Engle和Granger建議采用下述兩步方法：第一步，估計(jì)協(xié)整回歸方程yt=β0+β1xt＋εt，得到協(xié)整向量的一致估計(jì)值，并得出均衡誤差εt的估計(jì)值et=yt－

－

xt。第二步，計(jì)算yt和xt的一階差分值，然后選擇合適的滯后階，用OLS法估計(jì)下面的方程Δyt=lagged（Δyt，Δxt）－λet-1+vt。注意，這里滯后階的選擇可以通過(guò)對(duì)vt的自相關(guān)性的檢驗(yàn)來(lái)進(jìn)行判斷和篩選，直到找出合適的滯后階使得vt滿足基本假設(shè)為止。1.ECM模型的估計(jì)：兩步法第五十三頁(yè)，共62頁(yè)。例協(xié)整分析由于TFAI與GDP序列均為I(1)，兩變量同階單整，存在協(xié)整的可能性，則我們用OLS法估計(jì)長(zhǎng)期均衡方程（協(xié)整回歸）然后將殘差et作為均衡誤差εt的估計(jì)值。接著，我們用ADF檢驗(yàn)et是否平穩(wěn)，結(jié)果如下：第五十四頁(yè)，共62頁(yè)。NullHypothesis:Ehasaunitroot

Exogenous:None

LagLength:0(Automatic-basedonSIC,maxlag=5)

t-Statistic

Prob.*

AugmentedDickey-Fullerteststatistic-1.389334

0.1478Testcriticalvalues:1%level

-2.692358

5%level

-1.960171

10%level

-1.607051

*MacKinnon(1996)one-sidedp-values.

Warning:Probabilitiesandcriticalvaluescalculatedfor20observations

andmaynotbeaccurateforasamplesizeof19殘差序列非平穩(wěn)，因此不能認(rèn)為yt，xt是(1,1)階協(xié)整的。如果二者之間存在協(xié)整關(guān)系，我們可以嘗試估計(jì)誤差修正模型，大家可以找尋其他宏觀經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證操作。第五十五頁(yè)，共62頁(yè)。第五節(jié)*向量自回歸（VAR）模型

傳統(tǒng)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)方法是以經(jīng)濟(jì)理論為基礎(chǔ)來(lái)描述變量的關(guān)系，但對(duì)于變量之間的動(dòng)態(tài)聯(lián)系，經(jīng)濟(jì)理論通常很難給出一個(gè)較好的說(shuō)明。Sims于1980年提