第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第二 法 00中 值定

理 型未定與的 其他類型的未定應(yīng)用-1第二 法 xx0

章 如果當(dāng)xx0(x)，f(x),F(x)趨向于章 則稱極限

fx)為

x (

F( 理

, 數(shù) 設(shè)函數(shù)f(x),F(x)滿用 用

limf(x) limF(x)x x在x0某個(gè)去心鄰域內(nèi)fxFx)存在F(x)-2第二 法limfx)k(或),其中k為常數(shù)xx0F(f(

f(章 lim lim k(或章xx0F( xx0F(值 值定限來確定未定式的值的方法稱 理 導(dǎo) f(x)f( xx0 F(x)F( xx01 10 x x0用在U0

,)內(nèi)任取一點(diǎn)x,

與x為端點(diǎn)的區(qū)間上 f1(x),F1(x)滿 中值定理的條件,則-3第二 法f(x)f1(x)f1(x0)f(

F( F1(x)F1(x0當(dāng)xx0時(shí),x0 f(

f(章 xx0F(

k(或

k(或值

f(

f(

k(或 xx0F(與

xxxx或xx 說數(shù)的

tan

(0 用

n 原式解

limsec2x

(

-4第二 法x33x 求x1x3第

x2x1 (03x2 6 原式 x13x2

2x

x16x 值 值定

exex 1cos (0理 原式

exe

exe sin數(shù)

應(yīng) 說 應(yīng)用(3) -5第二 法 求limtanxx

(0原式

x2tantanxx

limsec2x x3

3x2 2sec2xtan 6

3 3定與 與

求

(1x)xex解解應(yīng) 原式e應(yīng)

ln(1x x

1

e

ln(1x)xe

1x

e 2

x02x(1 -6第二 法sin2xx2cos24 求 4 原式limsinxxcosxlimsinxxcos三

2limcosxcosxxsinx 定與 x時(shí)與

3 的 設(shè)函數(shù)f(x),F(x)滿的 limf(x) limF(x) 當(dāng)|x|N時(shí),fxFx)存在且Fx-7第二 法limfx)k(或),其中k為常數(shù)xF(三f(

f( lim lim k(或 xF( xF( 理 令x理

,則x t0,所t導(dǎo)與導(dǎo) limf(x)

ft

t

ft

f( xF(

t

F

t0

1F

xF(應(yīng) t (4)定理1中x可以換成x或x-8第二 法求

2arctan2ln(1x)lnx2

(0202 解原式

1

lim2x(1 值 1 值

1-9第二 法 型未定 xxx)fxFx)趨向于第三則稱極限

fx)

型未定式 x F( (值 定理 設(shè)函數(shù)f(x),F(x)滿值 理

limf(x) limF(x)x x 在x0某個(gè)去心鄰域內(nèi)f(x),F(x)存在,數(shù)導(dǎo)數(shù)的F(x) f( k(或),其中k為常數(shù) xx0F( limf(x)limf(x)k(或xx0F( xx0F(-10第二 法推 設(shè)函數(shù)f(x),F(x)滿 limf(x) limF(x) 三

當(dāng)|x|N時(shí),fxFx)存在且Fxf( xF(值理

k(或),其中k為常數(shù)與

求

lnsin2x

(limfx)limflimfx)limfx)k(或xF(xF(的 解原式 lim2cos2xsin3 x03cos3xsin2limcos2xlim2sin3x0cos3xx03sin2-11

第二 法 求limtanxxtan3 三 sec2 原

(1limcos23 x3sec23 3 cos2 定與 1lim6cos3xsin3xlimsin6與 3 的

2cosxsin

xsin22用 lim6cos6x用x2cos22-12第二 法x 設(shè)a1,kN,求x 三 原式三

kxkx

x 值定

x ln理

設(shè)a1k0,求limlogax11 limxln

原用

xkxk

xkxklnxx0(a1,klimlogax0(a1,k-13第二 法 其他類型的未定0第章 如果limf(x)0,limg(x),稱極限limf(x)g(章中0型未定式 f( 數(shù)

limf(x)g(x)

g( limf(x)g(x)limg( 11f(-14例

第二 法求limx(2arctan 三 lim 三

lim1 中定 定 與

21x2 導(dǎo)例數(shù)的

求 xln ln 解 原式解

x

lim x32x-15第二 法如果limfx)(),limgx)(),三lim(fxgx))為型未定式三章 值

求 sin

1x

(理 原式limxsinx理

1cos

導(dǎo)

xsin

x0sinxxcos 例 求lim(1 應(yīng) 應(yīng)

ex ex

1

ex1

ex x 原式x

x2

2 -16第二 法00,1,0 limf(x)0(或1或),limg(x)0(或或第章稱極限limfx)gx為00(或1或0)型未定式章 方法limf(x)g(x)limeg(x)lnf(x)elimg(x)lnf(x值定 例16求limxx (00 limln數(shù) lim

xln

xlnex

x lim x0

-17第二 法 解解

求limx1x1原式lime1

ln1

ex11

( 1limex

e1值 值

求lim(cotx)lnx 1

(0與 取對(duì)數(shù)得(cotx)ln eln與

ln(cotx, 數(shù)

ln(cotx)

cot sin2 x0ln用

x原式

1x0cosxsin