中考數(shù)學二輪培優(yōu)專題精講 第10講 最值問題之三角形三邊關系 (含詳解)

第10講最值問題之三角形三邊關系模型講解問題：在直線l上找一點P，使得SKIPIF1<0的值最大解析：連接AB，并延長與1交點即為點P.證明：如圖，根據(jù)△ABPSKIPIF1<0三邊關系，BPSKIPIF1<0-APSKIPIF1<0<AB，即PSKIPIF1<0B-PSKIPIF1<0A<PB-PA【例題講解】例題1、如圖，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運動過程中，點D到點O的最大距離為____________.【解答】解：如圖，取AB的中點E，連接OD、OE、DE，SKIPIF1<0∠MON=90°，AB=2SKIPIF1<0OE=AE=SKIPIF1<0AB=1，SKIPIF1<0BC=1，四邊形ABCD是矩形，SKIPIF1<0AD=BC=1，SKIPIF1<0DE=SKIPIF1<0，根據(jù)三角形的三邊關系，OD<OE+DE，SKIPIF1<0當OD過點E時最大，最大值為SKIPIF1<0+1.故答案為：SKIPIF1<0+1.【總結】1、我們如何知道是哪個三角形呢？我們利用三角形三邊關系來解題，但這個構造出來的三角形是有條件的，即“這個三角形有兩條邊為定值，另外一邊為需要我們求的那條邊”?！眷柟叹毩暋?、如圖，∠MON=90°，邊長為2的等邊三角形ABC的頂點A、B分別在邊OM、ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，等邊三角形的形狀保持不變，運動過程中，點C到點O的最大距離為____________.2、在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，點A、C分別在x軸、y軸上，當點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是___________________.3、如右圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，兩頂點A、B分別在x軸和y軸上運動，則頂點D到原點O的距離的最大值和最小值的乘積為___________________.4、如圖，平面直角坐標系中，將含30°的三角尺的直角頂點C落在第二象限.其斜邊兩端點A、B分別落在x軸、y軸上，且AB=12cm（1）若OB=6cm.①求點C的坐標；②若點A向右滑動的距離與點B向上滑動的距離相等，求滑動的距離；（2）點C與點O的距離的最大值=_____________cm.5、如圖，拋物線SKIPIF1<0經(jīng)過△ABC的三個頂點，已知BC//x軸，點A在x軸上，點C在y軸上，OA=SKIPIF1<0BC，且AC=BC.（1）求拋物線的解析式；（2）若Q為直線AB上一點，點D為拋物線與x軸的另一個交點，求|QC-QD|的取值范圍.

模型講解如圖，在⊙O外有一點P，在圓上找一點Q，使得PQ最短在⊙O上任取一點Q，連接QO和OP，在△OQP中，根據(jù)三角形三邊關系，0Q+QP>OPSKIPIF1<0OP=0QSKIPIF1<0+QSKIPIF1<0P，且OQ=0QSKIPIF1<0SKIPIF1<00Q+QP>0QSKIPIF1<0+QSKIPIF1<0PSKIPIF1<0QP>QSKIPIF1<0P所以連接OP，與圓的交點即為所求點Q，此時PQ最短.【另外三種情況】點P在圓外，PQ最長點P在圓內，PQ最長點P在圓內，PQ最短【總結】可見，點與圓的最值問題在本質上仍然是利用了三角形三邊關系。【例題講解】例題1、如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點，F(xiàn)是線段BC邊上的動點，將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EBSKIPIF1<0F，連接BSKIPIF1<0D，則BSKIPIF1<0D的最小值是___________.【解析】如圖，根據(jù)已知條件，在△EBSKIPIF1<0D中，我們發(fā)現(xiàn)，EBSKIPIF1<0為定值2，ED根據(jù)勾股定理計算可得也為定值SKIPIF1<0，而BSKIPIF1<0D即為要我們求的那條邊，所以我們就知道，△EB'D就是我們要找的三角形，SKIPIF1<0BSKIPIF1<0D≤ED-EBSKIPIF1<0SKIPIF1<0當BSKIPIF1<0在ED上時，BSKIPIF1<0D最小SKIPIF1<0BSKIPIF1<0D的最小值為SKIPIF1<0-2【鞏固練習】1、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于D，P是弧CD上的一個動點，連接AP，則AP的最小值是_______________.2、如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（1，0），B（1-a，0），C（1+a，0）（a>0），點P在以D（4，4）為圓心，1為半徑的圓上運動，且始終滿足∠BPC=90°，則a的最大值_______________.3、如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以邊AB的中點O為圓心，作半圓與AC相切，點P，Q分別是邊BC和半圓上的動點，連接PQ，則PQ長的最大值與最小值的和是_____________.4、如圖，已知直線y=SKIPIF1<0x-3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，P是以C（0，1）為圓心，1為半徑的圓上一動點，連結PA、PB.則△PAB面積的最大值是________________.5、如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB邊上的動點（不與點B重合），將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到△BSKIPIF1<0CP，連接BSKIPIF1<0A，則BSKIPIF1<0A長度的最小值是________________.6、如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=3SKIPIF1<0，M是AD邊的中點，N是AB邊上的一動點，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△ASKIPIF1<0MN，連接ASKIPIF1<0C，則ASKIPIF1<0C長度的最小值是____________.7、如圖，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、⊙A和⊙B上的動點，則PE+PF的最小值是____________.8、如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，點E、F分別為AD、DC邊上的點，且EF=2，點G為EF的中點，點P為BC上一動點，則PA+PG的最小值為______________.9、如圖，邊長為1的正方形ABCD中，以A為圓心，1為半徑作SKIPIF1<0，將一塊直角三角板的直角頂點P放置在SKIPIF1<0（不包括端點B、D）上滑動，一條直角邊通過頂點A，另一條直角邊與邊BC相交于點Q，連接PC，則△CPQ周長的最小值為____________.10、問題情境：如圖1，P是⊙0外的一點，直線PO分別交⊙0于點A、B，則PA是點P到⊙0上的點的最短距離.（1）探究：如圖2，在⊙0上任取一點C（不為點A、B重合），連接PC、OC.試證明：PA<PC.（2）直接運用：如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于D，P是SKIPIF1<0上的一個動點，連接AP，則AP的最小值是______________.（3）構造運用：如圖4，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△ASKIPIF1<0MN，連接ASKIPIF1<0C，請求出ASKIPIF1<0B長度的最小值.解：由折疊知ASKIPIF1<0M=AM，又M是AD的中點，可得MA=MASKIPIF1<0=MD，故點ASKIPIF1<0在以AD為直徑的圓上.（請繼續(xù)完成解題過程）（4）綜合應用：①如圖5，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE=DF.連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H.若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是__________.②如圖6，平面直角坐標系中，分別以點A（-2，3），B（3，4）為圓心，以1、2為半徑作⊙A、⊙B，M、N分別是⊙A、⊙B上的動點，P為x軸上的動點，則PM+PN的最小值等于________________.

1.解：如圖，取AB的中點D，連接OD、CD，∵△ABC是等邊三角形，∴CD＝×2＝，∵∠MON＝90°，∴OD＝AB＝×2＝1，由圖可知，當點O、C、D三點共線時點C到點O的距離最大，最大值為+1．故答案為：+1．2.解：如圖，取CA的中點D，連接OD、BD，則OD＝CD＝AC＝×4＝2，由勾股定理得，BD＝＝2，當O、D、B三點共線時點B到原點的距離最大，所以，點B到原點的最大距離是2+2．故答案為：2+2．3.解：當O、D、AB中點共線時，OD有最大值和最小值，如圖，BD＝2，BK＝1，∴DK＝＝，OK＝BK＝1，∴OD的最大值為：1+，同理，把圖象沿AB邊翻折180°得最小值為：1+﹣1×2＝﹣1，∴頂點D到原點O的距離的最大值和最小值的乘積為：（+1）（﹣1）＝12．故答案為：12．4.解：（1）①過點C作y軸的垂線，垂足為D，如圖1：在Rt△AOB中，AB＝12，OB＝6，則BC＝6，∴∠BAO＝30°，∠ABO＝60°，又∵∠CBA＝60°，∴∠CBD＝60°，∠BCD＝30°，∴BD＝3，CD＝3，所以點C的坐標為（﹣3，9）；②設點A向右滑動的距離為x，根據(jù)題意得點B向上滑動的距離也為x，如圖2：AO＝12×cos∠BAO＝12×cos30°＝6．∴A'O＝6﹣x，B'O＝6+x，A'B'＝AB＝12在△A'OB'中，由勾股定理得，（6﹣x）2+（6+x）2＝122，解得：x＝6（﹣1），∴滑動的距離為6（﹣1）；（2）設點C的坐標為（x，y），過C作CE⊥x軸，CD⊥y軸，垂足分別為E，D，如圖3：則OE＝﹣x，OD＝y(tǒng)，∵∠ACE+∠BCE＝90°，∠DCB+∠BCE＝90°，∴∠ACE＝∠DCB，又∵∠AEC＝∠BDC＝90°，∴△ACE∽△BCD，∴，即，∴y＝﹣x，OC2＝x2+y2＝x2+（﹣x）2＝4x2，∴取AB中點D，連接CD，OD，則CD與OD之和大于或等于CO，當且僅當C，D，O三點共線時取等號，此時CO＝CD+OD＝6+6＝12，故答案為：12．5.解：（1）∵OA＝BC，AC＝BC∴設OA＝3k，AC＝BC＝5k（k＞0）∴OC＝∵當x＝0時，y＝ax2﹣10ax+c＝c∴C（0，c），即OC＝c＝4k∴k＝∴A（﹣，0）B（，c）∵拋物線經(jīng)過點A、B∴解得：∴拋物線解析式為：y＝﹣x2+x+8（2）如圖2，在x軸上截取AE＝AC，連接QE∵AC＝BC∴∠CAB＝∠CBA∵CB∥x軸∴∠CBA＝∠BAD∴∠CAB＝∠BAD在△ACQ與△AEQ中∴△ACQ≌△AEQ（SAS）∴QC＝QE∴|QC﹣QD|＝|QE﹣QD|≤DE∵y＝0時，﹣x2+x+8＝0，解得：x1＝﹣6，x2＝16∴A（﹣6，0），D（16，0）∴AE＝AC＝＝10∴DE＝AD﹣AE＝AD﹣AC＝16﹣（﹣6）﹣10＝12∴0≤|QC﹣QD|≤121.解：如圖1，取BC的中點E，連接AE，交半圓于P'，在半圓上取一點P，連接AP，EP，在△AEP中，AP+EP＞AE，即：AP'是AP的最小值，∵AE＝，P'E＝1，∴AP'＝﹣1；故答案為：﹣1；2.解：∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），∴AB＝1﹣（1﹣a）＝a，CA＝a+1﹣1＝a，∴AB＝AC，∵∠BPC＝90°，∴PA＝AB＝AC＝a，如圖延長AD交⊙D于P′，此時AP′最大，∵A（1，0），D（4，4），∴AD＝5，∴AP′＝5+1＝6，∴a的最大值為6．故答案為6．3.解：如圖，設⊙O與AC相切于點E，連接OE，作OP1⊥BC垂足為P1交⊙O于Q1，此時垂線段OP1最短，P1Q1最小值為OP1﹣OQ1，∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠C＝90°，∵∠OP1B＝90°，∴OP1∥AC∵AO＝OB，∴P1C＝P1B，∴OP1＝AC＝4，∴P1Q1最小值為OP1﹣OQ1＝1，如圖，當Q2在AB邊上時，P2與B重合時，P2Q2經(jīng)過圓心，經(jīng)過圓心的弦最長，P2Q2最大值＝5+3＝8，∴PQ長的最大值與最小值的和是9．故答案為：9．4.解：過C作CM⊥AB于M，連接AC，MC的延長線交⊙C于N，則由三角形面積公式得，×AB×CM＝×OA×BC，∴5×CM＝16，∴CM＝，∴圓C上點到直線y＝x﹣3的最小距離是﹣1＝，∴△PAB面積的最小值是×5×＝，故答案是：．5.解：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC＝＝＝4，由軸對稱的性質可知：BC＝CB′＝3，當A、B′、C三點在一條直線上時，B′A有最小值，∴B′Amin＝AC﹣B′C＝4﹣3＝1．故答案為：1．6.解：如圖，連接MC；過點M作ME⊥CD，交CD的延長線于點E；∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC＝4，∵點M為AD的中點，∠BCD＝30°，∴DM＝MA＝2，∠MDE＝∠BCD＝30°，∴ME＝DM＝1，DE＝，∴CE＝CD+DE＝4，由勾股定理得：CM2＝ME2+CE2，∴CM＝7；由翻折變換的性質得：MA′＝MA＝2，顯然，當折線MA′C與線段MC重合時，線段A′C的長度最短，此時A′C＝7﹣2＝5，故答案為5．7.解：作A點關于直線DC的對稱點A′，連接BD，DA′，可得A′A⊥DC，則∠BAA′＝90°，故∠A′＝30°，則∠ABA′＝60°，∠ADN＝∠A′DN＝60°，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ADB＝60°，∴∠ADB+∠ADA′＝180°，∴A′，D，B在一條直線上，由題意可得出：此時P與D重合，E點在AD上，F(xiàn)在BD上，此時PE+PF最小，∵菱形ABCD中，∠A＝60°，∴AB＝AD，則△ABD是等邊三角形，∴BD＝AB＝AD＝3，∵⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，∴PE＝1，DF＝2，∴PE+PF的最小值是3．故答案為：3．8.解：∵EF＝2，點G為EF的中點，∴DG＝1，∴G是以D為圓心，以1為半徑的圓弧上的點，作A關于BC的對稱點A′，連接A′D，交BC于P，交以D為圓心，以1為半徑的圓于G，此時PA+PG的值最小，最小值為A′G的長；∵AB＝2，AD＝3，∴AA′＝4，∴A′D＝5，∴A′G＝A′D﹣DG＝5﹣1＝4；∴PA+PG的最小值為4；故答案為4．9.解：△CPQ的周長＝PQ+QC+CP＝BQ+QC+CP＝BC+PC＝1+PC；又∵PC≥AC﹣PA＝﹣1，∴△CPQ