(甘志國)不能這樣“巧用對稱求最值”

(甘志國)不能這樣“巧用對稱求最值”LtD不能這樣“巧用對稱求最值”甘志國(該文已發(fā)表數(shù)學(xué)通訊，2013(7~8上)：62-64)我們先看發(fā)表的文章《巧用對稱求最值》的主要內(nèi)容：例1若，求的最小值.解由已知位置對稱，當(dāng)取最小值時，成立，此時所以的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值.例2(1989年蘇聯(lián)奧林匹克數(shù)學(xué)競賽題)若，求的最小值.解由已知對稱可得，當(dāng)取最小值時，，所以題設(shè)變?yōu)樗运笞钚≈凳?，當(dāng)且僅當(dāng)時取反例3(《數(shù)學(xué)通報》2010年第4期數(shù)學(xué)問題1844)已知為正實(shí)數(shù)，且，求的最大值.答案：當(dāng)且僅當(dāng)中有兩個取3，另一個取6時，取到最大值，且最大值是54(但此最大值并不是在時取到).反例4(《中學(xué)數(shù)學(xué)》“新題征展”題，也可見文獻(xiàn)[2])一長方體的長、寬、高之和為1，表面積為，求其體積的最大值.答案：當(dāng)且僅當(dāng)長、寬、高中有兩個為，一個為時，體積取到最大值且最大值是(但此最大值并不是在長、寬、高均相等時取到).反例5在中，的對邊分別為，為邊上的高，且，求的值域.答案：.題目是關(guān)于對稱的，的最小值是在時取到，但的最大值并不是在時取到.反例6設(shè)，求的最值.當(dāng)時，可得，所以只能有最小值.但并不是當(dāng)且僅當(dāng)時取到最小值，因?yàn)榭梢则?yàn)證.下面研究反例6的一般情形：設(shè)是正常數(shù))，求的最小值.解設(shè)，得.由，得以下兩種情形：(1)當(dāng)即時，函數(shù)是減函數(shù)，所以當(dāng)且僅當(dāng)時取到最小值，也即當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最小值.(2)當(dāng)即時，當(dāng)且僅當(dāng)時取到最小值，即當(dāng)且僅當(dāng)也即(均有)時，取到最小值.反例7設(shè)，求的最值.當(dāng)時，可得，所以只能有最大值.但并不是當(dāng)且僅當(dāng)時取到最小值，因?yàn)榭梢则?yàn)證.下面再來研究反例7的一般情形：設(shè)是正常數(shù))，求的最大值.解可設(shè)，得所以，當(dāng)時，函數(shù)分別是增函數(shù)、減函數(shù)，得當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)取到最大值，即當(dāng)且僅當(dāng)(均有)時，取到最大值.下面再來給出文獻(xiàn)[1]中四道例題的正確解答.例1的解答由題設(shè)，可得所以的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值.(這說明高文得到的“當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值”是錯誤的.)例2的解答由題設(shè)，可得當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最小值且最小值是2.(這說明高文得到的“當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值”是錯誤的.)例3的解答在原解答中已得.由，得.設(shè)，得，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最小值且最小值是.例4的解答在原解答中已得題設(shè)即“”，所以.又的值隨的增加而增加，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最小值且最小值是2.參考文獻(xiàn)高豐平.巧用對稱求最值[J].數(shù)理天地(高中版)，2013(3)：62甘志國著.初等數(shù)學(xué)研究(II)下[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大