概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件第2章-一維隨機變量及其分布

第二章一維隨機變量及其分布本章將繼續(xù)上一章的工作,把概率論的討論進一步數(shù)學(xué)化。主要體現(xiàn)在把樣本點和實數(shù)對應(yīng)，相應(yīng)地產(chǎn)生隨機變量的概念，從而所有的事件對應(yīng)著數(shù)集。進一步的，我們可以把已有的數(shù)學(xué)工具應(yīng)用到概率分布問題的研究，從而實現(xiàn)研究方法的函數(shù)化?？聪旅婧唵蔚睦?。

例:拋擲一枚硬幣的兩個結(jié)果：｛正面，反面｝，也可以用數(shù)字表示：｛1，0｝,這時對應(yīng)的關(guān)系可以反映為一個變量M.T.一、隨機變量的概念1隨機變量及其分布定義設(shè)E是一隨機試驗，是它的樣本空間，若對中的每一個,都有唯一的實數(shù)與之對應(yīng)，且為事件,則稱為(隨機試驗E的)隨機變量。隨機變量一般用X,Y,Z,或小寫希臘字母,,表示。即（映射）問：定義域和值域分別是什么？M.T.離散型連續(xù)型取值為有限個和至多可列個的隨機變量.可以取區(qū)間內(nèi)一切值的隨機變量.例1(1)隨機地擲一顆骰子，ω表示所有的樣本點,X(ω):123456

(2)某人買彩票直至買中為止，ω表示買入次數(shù)，則ω

：買1次買2次......買n次......X(ω)：12......n......(3)記錄下午兩點到晚上12點電話呼入時間,則ω:呼入時間X(ω):[0,10]ω：M.T.

引入隨機變量后，用隨機變量的等式或不等式表達隨機事件。(3)X(ω)表示記錄下午兩點到晚上12點電話呼入時間對應(yīng)的隨機變量，討論例1(1)X(ω)表示隨機地擲一顆骰子擲出的點數(shù)則表示事件，進一步地討論它們的概率。(2)X(ω)某人買彩票直至買中為止的次數(shù)，討論M.T.定義了一個x的實值函數(shù)，稱為隨機變量X的分布函數(shù)，記為F(x),即定義設(shè)X為隨機變量,對每個實數(shù)x,隨機事件的概率注:1.分布函數(shù)對應(yīng)的集合可以表示隨機變量其它等式或不等式表示的集合,即它完整地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性（見下頁）.二、隨機變量的分布函數(shù)M.T.（]ab]]（]若把X看作數(shù)軸上的坐標(biāo)，則表示X落在區(qū)間上的概率，則利用分布函數(shù)可以計算而那么怎么由分布函數(shù)表示呢？進一步的，可有M.T.請回答我們有那么注：本頁問題略超大綱要求M.T.2.且分布函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)不減，即3.

右連續(xù)，即注：后兩條性質(zhì)做直觀理解即可！M.T.即求的分布函數(shù)，并求

例1:設(shè)隨機變量的有分布為-123M.T.-1012311xy圖像：M.T.并有注意M.T.解：由分布函數(shù)的性質(zhì)，我們有得解得試求常數(shù)A,B.例2設(shè)隨機變量X

的分布函數(shù)為M.T.描述離散型隨機變量的概率特性常用它的概率分布或稱分布律，即概率分布的性質(zhì)

非負性

規(guī)范性2離散型隨機變量定義若隨機變量X的可能取值是有限多個或

無窮可列多個，則稱X為離散型隨機變量.一、離散型隨機變量的分布律M.T.注

1.

F(x)

是分段階梯函數(shù)，一般在

X

的可能取值xk

處發(fā)生間斷，間斷點為第一類跳躍間斷點；2.離散型隨機變量的一般用分布律來考察其概率的分布，而不用分布函數(shù)(不方便)。二、離散型隨機變量的分布函數(shù)M.T.例1

從1～10這10個數(shù)字中隨機取出5個數(shù)字，令X：取出的5個數(shù)字中的最大值．試求X的分布律．具體寫出，即可得X

的分布律表：解：X

的可能取值為5，6，7，8，9，10．并且=——求分布率一定要說明k

的取值范圍！M.T.(1)0–1

分布

三、常見的離散型隨機變量的分布應(yīng)用場合

凡是試驗的目的只考慮兩個可能的結(jié)果，常用0–1分布描述，如考試是否及格、產(chǎn)品是否格、人口性別統(tǒng)計、系統(tǒng)是否正常、電力消耗是否超負荷等等.－－簡單且普便或?qū)懗蒟=k

10P

p1–p0<

p<

1分布律：M.T.(2)二項式分布

回顧：n

重Bernoulli

試驗中，每次試驗感興趣的事件A在n

次試驗中發(fā)生的k次的概率？稱

X服從參數(shù)為n,p

的二項分布，記作0–1

分布是n=1

的二項式分布若P(A)=

p,則給出隨機變量X，X為事件

A在

n

次試驗中發(fā)生的次數(shù)M.T.

例2一大批產(chǎn)品的次品率為0.1，現(xiàn)從中取出15件．試求下列事件的概率：

B={取出的15件產(chǎn)品中恰有2件次品}

C={取出的15件產(chǎn)品中至少有2件次品}解：由于從一大批產(chǎn)品中取15件產(chǎn)品，故可近似看作是15重Bernoulli試驗．故X表示“抽取的產(chǎn)品中次品的個數(shù)”，則M.T.

例3:一個完全不懂英語的人去參加英語考試.假設(shè)此考試有5個選擇題，每題有n重選擇，其中只有一個答案正確.試求：他居然能答對3題以上而及格的概率.

解:由于此人完全是瞎懵，所以每一題，每一個答案對于他來說都是一樣的，而且他是否正確回答各題也是相互獨立的.這樣，他答題的過程就是一個Bernoulli試驗。

另問：全部答錯的概率？0.237M.T.(3)Poisson分布或

回顧：

的冪級數(shù)展開式？或若變量X滿足其中是常數(shù)，則稱

X

服從參數(shù)為的Poisson分布，記作例4設(shè)隨機變量X

服從參數(shù)為λ的Poisson分布，且已知求M.T.解：隨機變量X

的分布律為得由已知那么M.T.如果隨機變量X的分布律為試確定未知常數(shù)c.例5由分布率的性質(zhì)有解：M.T.Poisson定理歷史上，Poisson分布作為二項分布的近似引入。證明：則M.T.而M.T.所以M.T.Poisson定理的應(yīng)用意義由Poisson定理，可知若M.T.

例6為了保證設(shè)備正常工作，需配備適量的維修工人，現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下，一臺設(shè)備的故障可有一人來處理.問至少需配備多少工人，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01？

解：設(shè)需配備

N

人，記同一時刻發(fā)生故障的設(shè)備臺數(shù)為

X，則X~B(300，0.01），需要確定最小的N

的取值，使得：M.T.滿足上式的最小的N是8,因此至少需配備8個工人。于是有對應(yīng)著泊松分布，查表可知，M.T.由泊松定理可知，泊松分布可以作為描繪大量試驗中稀有事件的次數(shù)的概率，也指明了泊松分布在理論上的重要性和應(yīng)用上的廣泛性．比如在一定時間間隔內(nèi)：電話總機接到的電話次數(shù)；大賣場的顧客數(shù)；某一地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù)；放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)，等等。應(yīng)用場合M.T.3

連續(xù)型隨機變量及其概率密度引例

考慮某產(chǎn)品長度偏差的范圍，設(shè)其偏差的絕對值最大是a,那么V∈［-a,a］M.T.定義設(shè)X

是一隨機變量，F(xiàn)(x)是它的分布函數(shù),若存在一個非負可積函數(shù)

f(x),使得則稱X

是連續(xù)型隨機變量，f(x)是它的概率密度函數(shù)，簡稱為密度函數(shù)或概率密度.一、連續(xù)型隨機變量的概念M.T.xf(x)xF(x)分布函數(shù)

F(x)

與密度函數(shù)

f(x)的幾何意義:建立坐標(biāo)系,給出f(x)的圖像。M.T.f(x)的性質(zhì)：1、2、

我們利用此性質(zhì)檢驗一個函數(shù)能否作為連續(xù)性隨機變量的密度函數(shù)，或求其中的未知參數(shù)。3、在

f(x)

的連續(xù)點處，f(x)

描述了X在

x

點分布函數(shù)值的變化率。4、對任意的a<b,有M.T.幾何解釋:

對于連續(xù)型隨機變量Xbxf(x)aM.T.xf(x)aM.T.注意:

對于連續(xù)型隨機變量X

,密度函數(shù)的積分才對應(yīng)著概率值，故有P(X=a)=0，這里

a

可以是隨機變量

X

的一個可能的取值。并要注意不可能事件的概念與不同。5、分布函數(shù)

F(x)是連續(xù)的.M.T.例1

一個靶子是半徑為2米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以X表示彈著點與圓心的距離，試求隨機變量X的分布函數(shù)．

解:M.T.例2

設(shè)隨機變量具有概率密度函數(shù)試確定常數(shù)A，以及的分布函數(shù).

解由知A=3，即而的分布函數(shù)為

M.T.(1)

均勻分布則稱

X

服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布,記作若X的密度函數(shù)為X

的分布函數(shù)為二、常見的連續(xù)性隨機變量的分布M.T.均勻分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)圖像：abxF(x)01密度函數(shù)：分布函數(shù)：xab0f(x)M.T.例3設(shè)隨機變量X服從(1,6)上的均勻分布，求一元兩次方程t2+Xt+1=0有實根的概率.

解:故所求概率為:

而X的密度函數(shù)為

:因此所求概率

M.T.(2)指數(shù)分布若X

的密度函數(shù)為則稱

X

服從

參數(shù)為的指數(shù)分布。記作X

的分布函數(shù)為>0為常數(shù)M.T.對于任意的0<a<b,

應(yīng)用場合用指數(shù)分布描述的實例有：電話問題中的通話時間無線電元件的壽命動物的壽命指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似M.T.令：B={等待時間為10－20分鐘}M.T.一般地，若X的密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布為常數(shù)，記作(3)正態(tài)分布首先看標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布M.T.M.T.f(x)的性質(zhì)：圖形關(guān)于直線x=

對稱：f(+x)=f(-x)在x=

時,f(x)取得最大值在x=±

時,曲線

y=f(x)在對應(yīng)的點處有拐點曲線

y=f(x)以x軸為漸近線曲線

y=f(x)的圖形呈單峰狀M.T.xf(x)0若1<2，則，前者取附近值的概率更大.x=1所對應(yīng)的拐點

M.T.應(yīng)用場合

若隨機變量X受到眾多相互獨立的隨機因素的影響，而每一個別因素的影響都是微小的，且這些影響可以疊加,則X服從正態(tài)分布.理論依據(jù)---中心極限定理.熱噪聲電流強度；學(xué)生們的考試成績；可用正態(tài)變量描述的實例非常之多：各種測量的誤差；人的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量；M.T.密度函數(shù)的驗證驗證:做變量代換,即驗證標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分面的密度函數(shù)滿足M.T.回憶：怎么計算？可查表得到.而M.T.對一般的正態(tài)分布

N(,2),其分布函數(shù)

作變量代換M.T.例5設(shè)X~N(1,4),求P(0X1.6)解附表3M.T.例6已知且P(2<X<4)=0.3,求P(X<0).解圖示M.T.圖解法0.2由圖,可得0.3M.T.例7設(shè)測量的誤差X～N(7.5,100)(單位：米),問要進行多少次獨立測量，才能使至少有一次誤差的絕對值不超過10米的概率大于0.9?解設(shè)

A

表示進行

n次獨立測量至少有一次誤差的絕對值不超過10米n>3所以至少要進行4次獨立測量才能滿足要求.M.T.0=1.645=2.575=-1.645=-2.575標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上(>0)

分位數(shù)zM.T.(4)伽瑪分布（了解）

設(shè)隨機變量X，若X的密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為的伽瑪(Gamma)分布,簡稱為分布，

注:伽瑪函數(shù)具有性質(zhì)：

M.T.即由隨機變量X來考察Y=g(X)的概率特性。4隨機變量函數(shù)的分布引例已知

X

的概率分布為Xp

-1012Y=2X–1，那么Y的分布律為Yp-3-113M.T.由已知函數(shù)Y=g(X)可求出隨機變量Y的所有可能取值，則Y的概率分布為一、離散型隨機變量函數(shù)的分布M.T.例1

已知

X

的概率分布為X

pk-1012求Y=X

2

的分布律.解Ypi1014Ypi014M.T.已知隨機變量X的密度函數(shù)f(x)(或分布函數(shù))求Y=g(X)

的密度函數(shù)或分布函數(shù).基本方法的步驟：

二、連續(xù)性隨機變量函數(shù)的分布先看例子M.T.解：(1)先求Y=X-4的分布函數(shù)

FY(y)：設(shè)隨機變量X

具有概率密度：試求

Y=X-4

的概率密度.例2M.T.M.T.

整理得Y=X-4

的概率密度為：本例用到變限的定積分的求導(dǎo)公式：注意：若只求Y的密度函數(shù)并不需要把Y的分布函數(shù)具體求出。總結(jié)一般規(guī)律，回節(jié)首M.T.例3已知