中國海洋大學(xué) 《概率論》第二章- 條件分布

三、條件分布離散型隨機(jī)變量的條件分布連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布

在第一章中，我們介紹了條件概率的概念.在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率推廣到隨機(jī)變量設(shè)有兩個(gè)r.vX,Y，在給定Y取某個(gè)或某些值的條件下，求X的概率分布.這個(gè)分布就是條件分布.例如，考慮某大學(xué)的全體學(xué)生，從其中隨機(jī)抽取一個(gè)學(xué)生，分別以X和Y表示其體重和身高.則X和Y都是隨機(jī)變量，它們都有一定的概率分布.體重X身高Y體重X的分布身高Y的分布現(xiàn)在若限制Y=1.8(米),在這個(gè)條件下去求X的條件分布，這就意味著要從該校的學(xué)生中把身高在1.8米的那些人都挑出來，然后在挑出的學(xué)生中求其體重的分布.容易想象，這個(gè)分布與不加這個(gè)條件時(shí)的分布會(huì)很不一樣.例如，在條件分布中體重取大值的概率會(huì)顯著增加.一、離散型隨機(jī)變量的條件分布實(shí)際上是第一章講過的條件概率概念在另一種形式下的重復(fù).

定義1

設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的j，若P{Y=yj

}>0，則稱為在Y=yj條件下隨機(jī)變量X的條件分布律.P{X=xi|Y=yj

}=，i=1,2,…類似定義在X=xi條件下隨機(jī)變量Y的條件分布律.作為條件的那個(gè)r.v,認(rèn)為取值是給定的，在此條件下求另一r.v的概率分布.條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的一切性質(zhì).正如條件概率是一種概率，具有概率的一切性質(zhì).例如：i=1,2,…解依題意，{Y=n}表示在第n次射擊時(shí)擊中目標(biāo),且在前n-1次射擊中有一次擊中目標(biāo).首次擊中目標(biāo)時(shí)射擊了m次.n次射擊擊中2nn-11……………….m擊中

例1

一射手進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)的概率射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)兩次為止.以X表示首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行的射擊次數(shù)，以Y表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù).試求X和Y的聯(lián)合分布及條件分布.{X=m}表(n=2,3,…;m=1,2,…,n-1)由此得X和Y的聯(lián)合分布律為不論m(m<n)是多少，P{X=m,Y=n}都應(yīng)等于n次射擊擊中2nn-11……………….m擊中每次擊中目標(biāo)的概率為pP{X=m,Y=n}=？為求條件分布，先求邊緣分布.X的邊緣分布律是：(m=1,2,…)Y的邊緣分布律是：(n=2,3,…)于是可求得：當(dāng)n=2,3,…時(shí)，m=1,2,…,n-1聯(lián)合分布邊緣分布n=m+1,m+2,…當(dāng)m=1,2,…時(shí)，二、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型r.v，由于對(duì)任意x,y,P{X=x}=0,P{Y=y}=0，所以不能直接用條件概率公式得到條件分布，下面我們直接給出條件概率密度的定義.比較內(nèi)容離散型連續(xù)型一維二維關(guān)于X的邊際分布條件分布？記為的條件分布函數(shù).記為為在的條件下,

設(shè)X和Y的聯(lián)合概率密度為關(guān)于的邊緣概率密度為,

,則稱為在的條件下的條件概率密度.定義2若對(duì)于固定的,類似地,可以定義

例2

設(shè)(X,Y)服從單位圓上的均勻分布，概率密度為求解X的邊緣密度為當(dāng)|x|<1時(shí),有即當(dāng)|x|<1時(shí),有X作為已知變量這里是y的取值范圍X已知的條件下Y的條件密度三、課堂練習(xí)設(shè)(X,Y)的概率密度是求.設(shè)(X,Y)的概率密度是求.(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為解當(dāng)時(shí),綜上當(dāng)