動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法背包問題

動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法背包問題第一頁，共十二頁，2022年，8月28日例：輸出Fibonacii數(shù)列的第n項(xiàng)的遞歸算法#include<stdio.h>intfib(intn){ if(n<=1)return1; elsereturnfib(n-1)+fib(n-2);}voidmain(){ intn; scanf("%d",&n); printf("%d\n",fib(n));}

在上面的遞歸算法中存在多次計(jì)算同一個(gè)子問題,如：fib(2)。如果能將這樣的子問題的解用數(shù)組保存起來，即可以加快求解的過程，即采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法。第二頁，共十二頁，2022年，8月28日//輸出Fibonacii數(shù)列的第n項(xiàng)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法#include<stdio.h>#defineMAX50intfib(intn){ inti,a[MAX]; a[1]=a[2]=1; for(i=3;i<=n;i++) a[i]=a[i-1]+a[i-2]; returna[n];}voidmain(){ intn;scanf("%d",&n); printf("%d\n",fib(n));}第三頁，共十二頁，2022年，8月28日例1：0-1背包問題

有一個(gè)負(fù)重能力為m的背包和不同價(jià)值v[i]、不同重量w[i]的物品n件。在不超過負(fù)重能力的前提下，從這n件物品中任意選擇物品，使這些物品的價(jià)值之和最大。

物品1234重量5321價(jià)值4431第四頁，共十二頁，2022年，8月28日m[i][j]=m[i+1][j] 當(dāng)j<w[i]Max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i])當(dāng)j>=w[i]

算法思想1：設(shè)m[i][j]用來表示從第i項(xiàng)物品開始到第n項(xiàng)物品中區(qū)取出裝入體積為j的背包的物品的最大價(jià)值。其中i的范圍為1到n，其中j的范圍為0到c，程序要尋求的解為m[1][c]?？梢园l(fā)現(xiàn)：①m[n][j]在當(dāng)j>=0并且j<w[n]時(shí)等于0，否則等于v[n]②當(dāng)前的背包容量j大于等于物品重量w[i]時(shí)，m[i][j]是下面兩個(gè)量的最大值：m[i+1][j]和m[i+1][j-w[i]]+v[i]③當(dāng)前的背包容量j小于物品重量w[i]時(shí)，m[i][j]等于m[i+1][j]。m[n][j]=v[n] 當(dāng)j>=w[n]0當(dāng)j>=0并且j<w[n]第五頁，共十二頁，2022年，8月28日//程序1：動(dòng)態(tài)規(guī)劃法#include<stdio.h>#defineMAX20intn,c,w[MAX],v[MAX],m[MAX][MAX]={0};voiddisp(){ inti; for(i=1;i<=n;i++) if(m[i][c]!=m[i+1][c]) printf("%5d%5d\n",w[i],v[i]);}第六頁，共十二頁，2022年，8月28日voidknapsack(){inti,j;for(j=w[n];j<=c;j++) m[n][j]=v[n];for(i=n-1;i>=1;i--)for(j=w[i];j<=c;j++) if(m[i+1][j]>m[i+1][j-w[i]]+v[i]) m[i][j]=m[i+1][j]; elsem[i][j]=m[i+1][j-w[i]]+v[i];}第七頁，共十二頁，2022年，8月28日voidmain(){ inti,j; printf("輸入物品種數(shù):");scanf("%d",&n); printf("輸入每種物品的重量與價(jià)值:\n"); for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&w[i],&v[i]); printf("輸入背包的總重量:\n");scanf("%d",&c); knapsack();disp(); printf("最大價(jià)值=%d\n",m[0][c]); for(i=1;i<=n;i++) { for(j=0;j<=c;j++) printf("%3d",m[i][j]); printf("\n");}}第八頁，共十二頁，2022年，8月28日m[i][j]=0 i=0或者j=0m[i-1][j] j>0且j<w[i]Max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i])i>0且j>=w[i]

算法思想2：設(shè)m[i][j]用來表示從前i項(xiàng)物品中區(qū)取出裝入體積為j的背包的物品的最大價(jià)值。其中i的范圍為1到n，其中j的范圍為0到c，程序要尋求的解為m[n][c]?？梢郧宄匕l(fā)現(xiàn)：①m[0][j]對(duì)所有的j的值為0，m[i][0]對(duì)所有的i的值為0。②當(dāng)前的體積j大于等于w[i]時(shí)，m[i][j]是下面兩個(gè)量的最大值：m[i-1][j]和m[i-1][j-w[i]]+v[i]③當(dāng)前的體積j小于w[i]時(shí)，m[i][j]等于m[i-1][j]第九頁，共十二頁，2022年，8月28日//程序2:動(dòng)態(tài)規(guī)劃法#include<stdio.h>#defineMAX20intn,c,w[MAX],v[MAX],m[MAX][MAX]={0};voidknapsack(){inti,j;for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=c;j++) {m[i][j]=m[i-1][j]; if(j>=w[i-1]&&m[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]>m[i][j]) m[i][j]=m[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]; }}第十頁，共十二頁，2022年，8月28日//顯示所取的物品及其重量（其中一個(gè)解）//對(duì)數(shù)組m的最后一列檢查來求解voiddisp(){ inti,j; i=n; while(m[i][c]==m[i-1][c])i--; while(i>0) { j=i-1; while(m[i][c]-m[j][c]!=v[i-1]&&j>0) j--; printf("%5d%5d\n",w[i-1],v[i-1]); i=j; }}第十一頁，共十二頁，2022年，8月28日voidmain(){ inti,j; printf("輸入物品種數(shù):");scanf("%d",&n); printf("輸入每種物品的重量與價(jià)值:\n"); for(i=0;i<n;i++) scanf("%d%d",&w[i],&v[i]); printf("輸入背包的總重量:\n");scanf("%d",&