概率論ppt課件 1.3-1.4 概率及古典概型

第三節(jié)頻率和概率事率件概的

研究隨機現(xiàn)象，不僅關心試驗中會出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事件A的概率(probabilityofA)記為P(A)概率一詞英文是probabilityProbable意指可能-ility意指程度(largeorsmall?)因此，probability可認為是“可能性的大小”，翻譯成中文就是概率，但也有不同時期或者不同的資料翻譯成或然率或者幾率的。而在不同的學科中又有不同的稱呼，如產(chǎn)品合格率，犯罪率，出生率，離婚率，命中率，成功率，患病率，有效率，痊愈率，及格率等等。一、頻率2.頻率的性質(zhì)(1)非負性：0fn(A);(2)規(guī)范性：fn()=1;(3)有限可加性:設A1，A2，.....Am兩兩互不相容，則有1.頻率的定義在相同條件下，將實驗進行了n次，在這n次實驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A的頻數(shù)，比值nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率，并記為fn(A)。問題1、能否直接用fn(A)作為P(A)？

不能。P(A):客觀，與試驗無關。fn(A):與試驗有關——波動性：問題2、能否借助fn(A）得到P(A)？如何得到？

可以。fn(A)的統(tǒng)計規(guī)律性實例將一枚硬幣拋擲5

次、50

次、500

次,各做7遍,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.試驗序號12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502波動最小隨n的增大,頻率

f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性實驗者德摩根蒲豐204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005

經(jīng)驗表明：只要試驗是在相同的條件下進行的，則隨機事件出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定于一個固定的常數(shù)，常數(shù)是事件本身所固有的，是不隨人們的意志而改變的一種客觀屬性，它是對事件出現(xiàn)的可能性大小進行度量的客觀基礎．為了理論研究的需要，從頻率的穩(wěn)定性和頻率的性質(zhì)得到啟發(fā)，給出如下度量事件發(fā)生可能性大小的概率的公理化定義.此定義是1933年，蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫提出的，給出了概率的嚴格定義，使概率論有了迅速的發(fā)展。二、概率1.定義

設E

是隨機試驗，是它的樣本空間.對于E的每一事件A

賦于一個實數(shù)，記為P(A),稱為事件A的概率,

如果集合函數(shù)P(?)滿足下列條件:1°非負性：

對于每一個事件A，有P(A)≥0；

2°

規(guī)范性:

對于必然事件

,有P()=1；

3°可列可加性:設A1,A2,…

是兩兩互不相容的事件，即對于則有

P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2

)+

…(2)

(有限可加性)若A1,A2,…,An是兩兩互不相容的事件,則

P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…

+P(An)2.性質(zhì)(1)

P(φ)=0．（反之？）(3)

設A,B是兩個事件,若AB,則有

P(B–A)=P(B)–P(A);P(B)≥P(A).(5)(逆事件的概率)對于任一事件A，有P(A)=1–P(A).(4)

對于任一事件A，有P(A)≤1.推論:

對于任意事件A,B有

P(B–A)=P(B)–P(AB).(6)

(加法公式)對于任意兩事件A,B

有

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

推論1:設A1,A2,A3為任意三個事件，則有：

P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)

-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)

推論2:

對于任意n個事件A1,A2,…

，An，則有：

P(A1∪A2∪…∪An)=

證明由概率的可列可加性得概率性質(zhì)概率的有限可加性證明由概率的可列可加性得證明證明(4)

對于任一事件A，有0≤

P(A)≤1.又由性質(zhì)3

得因此得由圖可得證明推廣

三個事件和的情況n個事件和的情況－一般加法公式右端共有項.推論：概率具有次可加性解例1SABAB例2已知P(AB)=P(AB),P(A)=p,求P(B).解:

P(AB)=P(AB)=P(AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)

P(B)=1-P(A)=1-p例3、例4設同時發(fā)生時，C必然發(fā)生，則：解：而：第四節(jié)等可能概型（古典概型）

若試驗E滿足

（1）有限樣本空間：樣本點總數(shù)有限；（2）等可能性：各基本事件發(fā)生的可能性相同．

則稱試驗E為古典概型（或有限等可能概型）．一、古典概型

設試驗E是古典概型,其樣本空間由n個樣本點組成,事件A由m個樣本點組成.則定義事件A的概率為：稱此概率為古典概率.二、古典概率如何計算古典概率?求古典概率的問題實際上就是計數(shù)問題.排列組合是計算古典概率的重要工具

.計算要點：1、確定樣本點并計算其總數(shù)；2、計算事件所含樣本點數(shù)?；居嫈?shù)原理

這里我們先簡要復習一下計算古典概率所用到的1.加法原理設完成一件事有m種方式，第一種方式有n1種方法，第二種方式有n2種方法,…；第m種方式有nm種方法,無論通過哪種方法都可以完成這件事，則完成這件事總共有n1+n2+…+nm

種方法.基本計數(shù)原理則完成這件事共有種不同的方法.2.乘法原理設完成一件事有m個步驟，第一個步驟有n1種方法，第二個步驟有n2種方法,…；第m個步驟有nm種方法,必須通過每一步驟,才算完成這件事，1、排列:

從n個不同元素取k個（1kn)的不同排列總數(shù)為：k=n時稱全排列排列、組合的幾個簡單公式從n個不同元素取k個（允許重復）（1kn)的不同排列總數(shù)為：例如：從裝有4張卡片的盒中有放回地摸取3張3241n=4,k=3123第1張4123第2張4123第3張4共有4.4.4=43種可能取法2、組合:從n個不同元素取

k個（1kn)的不同組合總數(shù)為：常記作，稱為組合系數(shù)。組合系數(shù)又常稱為二項式系數(shù)，因為它出現(xiàn)在下面的二項式展開的公式中：3、組合系數(shù)與二項式展開的關系4、n個不同元素分為k組，各組元素數(shù)目分別為r1,r2,…,rk的分法總數(shù)為r1個元素r2個元素rk個元素…n個元素因為解古典概型的典型例題:例2：取球問題(1)無放回地摸球(不放回抽樣)問題1

設袋中有5個白球和3個黑球,現(xiàn)從袋中無放回地依次摸出3個球,求恰有2個球是白球的概率.解基本事件總數(shù)為A所包含基本事件的個數(shù)為(2)有放回地摸球問題2

設袋中有4個紅球和6個黑球,現(xiàn)從袋中有放回地依次摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到紅球的概率.解第1次摸球10種第2次摸球10種第3次摸球10種6種第1次摸到黑球6種第2次摸到黑球4種第3次摸到紅球基本事件總數(shù)為A所包含基本事件的個數(shù)為(3)一次取球問題3

設袋中有5個白球和3個黑球,現(xiàn)從袋中任取3球,求恰有2個球是白球的概率.解基本事件總數(shù)為A所包含基本事件的個數(shù)為例1抽簽問題箱中有a根紅簽，b根白簽，除顏色以外，簽沒有區(qū)別?，F(xiàn)有a+b個人依次不放回地去抽簽，求第k個人抽到紅簽的概率。解法1解法2記在N

件產(chǎn)品中抽取n件,其中恰有k

件次品的取法共有于是所求的概率為解在N件產(chǎn)品中抽取n件的所有可能取法共有這是無放回取球（一次取球）模型.

在1－2000的整數(shù)中隨機地取一個數(shù),問取到的整數(shù)能被6整除的概率是多少?取到的整數(shù)既能被6整除,又能被8整除的概率是多少?

設A為事件“取到的數(shù)能被6整除”,B為事件“取到的數(shù)能被8整除”，則所求概率為解例3（取數(shù)問題）

將15名新生隨機地平均分配到三個班級中去,這15名新生中有3名是優(yōu)秀生.問(1)

每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少?(2)

3名優(yōu)秀生分配在同一個班級的概率是多少?例4（分組問題）解15名新生平均分配到三個班級中的分法總數(shù):(1)

每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的分法共有因此所求概率為(2)將3名優(yōu)秀生分配在同一個班級的分法共有3種,對于每一種分法,其余12名新生的分法有因此3名優(yōu)秀生分配在同一個班級的分法共有因此所求概率為

設有k

個不同的球,每個球等可能地落入N

個盒子中（）,設每個盒子容球數(shù)無限,求下列事件的概率:（1）某指定的k

個盒子中各有一球；（4）恰有k

個盒子中各有一球；（3）某指定的一個盒子沒有球；（2）某指定的一個盒子恰有m

個球(

)（5）至少有兩個球在同一盒子中；（6）每個盒子至多有一個球.例5

（分球模型）解設(1)~(6)的各事件分別為則例5的“分球模型”可應用于很多類似場合“球”可視為人“盒子”相應視為房子信封信鑰匙門鎖女舞伴生日人男舞伴人房人任一天

（實際推斷原理）某接待站在某一周曾接待過12次來訪,已知所有這12

次接待都是在周二和周四進行的,問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的.

假設接待站的接待時間沒有規(guī)定，且各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日12341277777

故一周內(nèi)接待12次來訪共有例6小概率事件在實際中幾乎是不可能發(fā)生的（實際推斷原理）,從而可知接待時間是有規(guī)定的.周一周二周三周四周五周六周日周二周四12341222222

12次接待都是在周二和周四進行的共有故12次接待都是在周二和周四進行的概率為定義當隨機試驗的樣本空間是某個區(qū)域，并且任意一點落在度量(長度、面積、體積)相同的子區(qū)域是等可能的，則事件A的概率可定義為幾何概型例1.公共汽車站每隔5min有一輛公共汽車到站，乘客到達汽車站的時刻是任意的，求一個乘客候車時間不超過3min的概率。例2.一長度為a的線段任意截成3段，求構成三角形的概率。

那么

兩人會面的充要條件為例

甲、乙兩人相約在0到T這段時間內(nèi),在預定地點會面.先到的人等候另一個人,經(jīng)過時間t(t<T)后離去.設每人在0到T這段時間內(nèi)各時刻到達該地是等可能的,且兩人到達的時刻互不牽連.求甲、乙兩人能會面的概率.會面問題解故所求的概率為若以x,y

表