素養(yǎng)培優(yōu)課2　向心力的應(yīng)用與計算

素養(yǎng)培優(yōu)課練習(xí)(二)向心力的應(yīng)用與計算(教師用書獨具)(建議用時：25分鐘)1．如圖所示，兩根長度不同的細(xì)繩，一端固定于O點，另一端各系一個相同的小球，兩小球恰好在同一水平面內(nèi)做勻速圓周運動，則()A．A球受細(xì)繩的拉力較大B．它們做圓周運動的角速度不相等C．它們所需的向心力跟軌道半徑成反比D．它們做圓周運動的線速度大小相等A[設(shè)細(xì)繩與豎直方向之間的夾角為θ，對小球進(jìn)行受力分析，在豎直方向上的合力等于零，有mg＝Fcosθ，解得F＝eq\f(mg,cosθ)，可知A球受細(xì)繩的拉力較大，A正確；在水平方向上的合力提供向心力，有mgtanθ＝mω2lsinθ，兩球距O點的豎直高度相同，即lcosθ相同，則ω相等，B錯誤；線速度v＝ωlsinθ，角速度相等，運動半徑lsinθ不同，則線速度不相等，D錯誤；小球做勻速圓周運動所需的向心力等于合力，即F向＝mgtanθ＝mgeq\f(r,h)＝mgeq\f(r,lcosθ)，則F向與r成正比，C錯誤。]2．如圖所示，兩個用相同材料制成的靠摩擦傳動的輪A和B水平放置，兩輪半徑RA＝2RB，當(dāng)主動輪A勻速轉(zhuǎn)動時，在A輪邊緣上放置的小木塊恰能相對靜止在A輪邊緣上，若將小木塊放在B輪上，欲使小木塊相對B輪也靜止，則小木塊距B輪轉(zhuǎn)軸的最大距離為()A．eq\f(RB,2)B．eq\f(RB,4)C．eq\f(RB,3)D．RBA[A和B兩輪用相同材料制成且靠摩擦傳動，邊緣線速度相等，則ωARA＝ωBRB，而RA＝2RB，所以eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(1,2)。對于在A輪邊緣的小木塊，最大靜摩擦力恰好提供向心力，即mωeq\o\al(2,A)RA＝fmax，當(dāng)在B輪上恰要滑動時，設(shè)此時半徑為R，則mωeq\o\al(2,B)R＝fmax，解得R＝eq\f(RA,4)＝eq\f(RB,2)，選項A正確。]3．如圖所示，“旋轉(zhuǎn)秋千”中的兩個座椅A、B質(zhì)量相等，通過相同長度的纜繩懸掛在旋轉(zhuǎn)圓盤上。不考慮空氣阻力的影響，當(dāng)旋轉(zhuǎn)圓盤繞豎直的中心軸勻速轉(zhuǎn)動時，下列說法正確的是()A．A的線速度比B的大B．A與B的向心力大小相等C．懸掛A、B的纜繩與豎直方向的夾角相等D．懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小D[當(dāng)旋轉(zhuǎn)圓盤繞豎直的中心軸勻速轉(zhuǎn)動時，A與B的角速度相等，A的運動半徑比B的小，由v＝ωr得，A的線速度比B的小，A錯誤；由Fn＝mω2r得，A的向心力比B的小，B錯誤；設(shè)纜繩與豎直方向的夾角為θ，座椅受重力mg和拉力FT的作用，其合力提供向心力，有mgtanθ＝mω2r，得tanθ＝eq\f(ω2r,g)，由于ωA＝ωB，rA＜rB，故懸掛A的纜繩與豎直方向的夾角比B的小，C錯誤；拉力FT＝eq\f(mg,cosθ)，由于θA＜θB，故FTA＜FTB，由牛頓第三定律知懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小，D正確。]4．如圖所示，長為L的輕桿，一端固定一個質(zhì)量為m的小球，另一端固定在水平轉(zhuǎn)軸O上，桿隨轉(zhuǎn)軸O在豎直平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動，角速度為ω，某時刻桿對球的作用力恰好與桿垂直，則此時桿與水平面的夾角θ是(重力加速度為g)()A．sinθ＝eq\f(ω2L,g) B．tanθ＝eq\f(ω2L,g)C．sinθ＝eq\f(g,ω2L) D．tanθ＝eq\f(g,ω2L)A[小球所受重力和輕桿的作用力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有mgsinθ＝mLω2，解得sinθ＝eq\f(ω2L,g)，故A正確，B、C、D錯誤。]5．(多選)如圖所示，一根細(xì)線下端拴一個金屬小球P，細(xì)線的上端固定在金屬塊Q上，Q放在帶小孔的水平桌面上，小球在某一水平面內(nèi)做勻速圓周運動(即圓錐擺)?，F(xiàn)使小球在一個更高一些的水平面上做勻速圓周運動(圖上未畫出)，兩次金屬塊Q都保持在桌面上靜止，則后一種情況與原來相比較，下列說法正確的是()A．小球P運動的周期變大B．小球P運動的線速度變大C．小球P運動的角速度變小D．Q受到桌面的支持力不變BD[設(shè)細(xì)線與豎直方向的夾角為θ，細(xì)線的長度為L。球P做勻速圓周運動時，由重力和細(xì)線的拉力的合力提供向心力，則有mgtanθ＝mω2Lsinθ，得角速度ω＝eq\r(\f(g,Lcosθ))，周期T＝eq\f(2π,ω)＝2πeq\r(\f(Lcosθ,g))，線速度v＝rω＝Lsinθ·eq\r(\f(g,Lcosθ))＝eq\r(gLtanθsinθ)，小球改到一個更高一些的水平面上做勻速圓周運運動時，θ增大，cosθ減小，角速度增大，周期T減小，線速度變大，選項B正確，A、C錯誤；金屬塊Q保持在桌面上靜止，對金屬塊和小球研究，在豎直方向沒有加速度，根據(jù)平衡條件可知，Q受到桌面的支持力等于Q與小球的總重力，保持不變，選項D正確。]6．如圖所示，豎直固定的圓錐形漏斗內(nèi)壁是光滑的，內(nèi)壁上有兩個質(zhì)量相等的小球A和B，在各自不同的水平面內(nèi)做勻速圓周運動。以下關(guān)于A、B兩球做圓周運動時的線速度大小(vA、vB)、角速度(ωA、ωB)、向心力大小(FA、FB)和對內(nèi)壁的壓力大小(FNA、FNB)的說法正確的是()A．vA＞vB B．ωA＞ωBC．FA＞FB D．FNA＞FNBA[小球受重力和支持力，二力的合力提供其做圓周運動的向心力，如圖所示，由于兩個小球的質(zhì)量相同，并且都是在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，所以兩個小球的受力情況相同，它們的向心力大小相等，受到的支持力大小也相等，則根據(jù)牛頓第三定律可知，它們對內(nèi)壁的壓力大小也相等，即FA＝FB，F(xiàn)NA＝FNB，C、D錯誤；由于它們的向心力的大小相等，由向心力的公式Fn＝meq\f(v2,r)可知，運動半徑大的小球線速度大，所以vA＞vB，A正確；由向心力的公式Fn＝mω2r可知，運動半徑大的小球角速度小，所以ωA＜ωB，B錯誤。]7．(多選)如圖所示，質(zhì)量為m的小球用長為L的細(xì)線懸掛在O點，在O點的正下方L/2處有一個釘子，把小球拉到水平位置由靜止釋放。當(dāng)細(xì)線擺到豎直位置碰到釘子時，下列說法正確的是()A．小球的線速度大小保持不變B．小球的角速度突然增大為原來的2倍C．細(xì)線的拉力突然變?yōu)樵瓉淼?倍D．細(xì)線的拉力一定大于重力ABD[細(xì)線碰到釘子的前后瞬間，由于重力方向與拉力方向都與速度方向垂直，所以小球的線速度大小不變，根據(jù)ω＝eq\f(v,r)，半徑變?yōu)橐话?，可知角速度變?yōu)樵瓉淼?倍，選項A、B正確；根據(jù)牛頓第二定律得，F(xiàn)－mg＝meq\f(v2,r)，則F＝mg＋meq\f(v2,r)，可知細(xì)線的拉力增大，但不是原來的2倍，故D正確，C錯誤。]8．如圖所示，長均為L的兩根輕繩，一端共同系住質(zhì)量為m的小球，另一端分別固定在等高的A、B兩點，A、B兩點間的距離也為L。重力加速度大小為g?，F(xiàn)使小球在豎直平面內(nèi)以AB為軸做圓周運動，若小球在最高點速率為v時，兩根繩的拉力恰好均為零，則小球在最高點速率為2v時，每根繩的拉力大小為()A．eq\r(3)mgB．eq\f(4,3)eq\r(3)mgC．3mgD．2eq\r(3)mgA[設(shè)小球在豎直面內(nèi)做圓周運動的半徑為r，小球運動到最高點時輕繩與圓周運動軌道平面的夾角為θ＝30°，則有r＝Lcosθ＝eq\f(\r(3),2)L。根據(jù)題述小球在最高點速率為v時，兩根繩的拉力恰好均為零，有mg＝meq\f(v2,r)；小球在最高點速率為2v時，設(shè)每根繩的拉力大小為F，則有2Fcosθ＋mg＝meq\f(2v2,r)，聯(lián)立解得F＝eq\r(3)mg，選項A正確。]9．如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動，盤面上離轉(zhuǎn)軸m處有一小物體與圓盤始終保持相對靜止。物體與盤面間的動摩擦因數(shù)為eq\f(\r(3),2)(設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)，盤面與水平面的夾角為30°，g取10m/s2。則ω的最大值是()A．eq\r(5)rad/s B．eq\r(3)rad/sC．rad/s D．rad/sC[物體隨圓盤做圓周運動，分析可知當(dāng)物體運動到最低點時最可能出現(xiàn)相對滑動，因此物體在圓盤最低點剛好要滑動時對應(yīng)的圓盤角速度最大，對物體進(jìn)行受力分析，由向心力公式有μmgcos30°－mgsin30°＝mωeq\o\al(2,m)r，代入數(shù)據(jù)解得ωm＝rad/s，C正確。](建議用時：15分鐘)10．如圖甲所示，A、B為釘在光滑水平面上的兩根鐵釘，小球C用細(xì)繩拴在鐵釘B上(細(xì)繩能承受足夠大的拉力)，A、B、C在同一直線上。t＝0時，給小球一個垂直于繩的速度，使小球繞著兩根鐵釘在水平面上做圓周運動。在0≤t≤10s時間內(nèi)，細(xì)繩的拉力隨時間變化的規(guī)律如圖乙所示，則下列說法正確的有()甲乙A．小球的速率越來越大B．細(xì)繩第三次到第四次撞擊釘子經(jīng)歷的時間是4sC．在t＝s時，細(xì)繩的拉力為ND．細(xì)繩每撞擊一次釘子，小球運動的半徑減小繩長的eq\f(1,3)C[小球在水平方向只受垂直于速度方向的細(xì)繩的拉力作用，小球速度大小不變，故A錯誤；0～6s內(nèi)細(xì)繩的拉力不變，則有F1＝meq\f(v2,l)，6～10s內(nèi)拉力大小不變，則有F2＝meq\f(v2,l′)，因為F2＝eq\f(6,5)F1，則l′＝eq\f(5,6)l，兩釘子之間的間距Δl＝l－eq\f(5,6)l＝eq\f(1,6)l，第一個半圈經(jīng)歷的時間為6s，則eq\f(πl(wèi),v)＝6s，則第二個半圈的時間eq\f(πl(wèi)′,v)＝5s，細(xì)繩每跟釘子碰撞一次，轉(zhuǎn)動半圈的時間減少1s，則細(xì)繩第三次碰釘子到第四次碰釘子的時間間隔Δt＝6s－3×1s＝3s，根據(jù)上述分析可知，11～15s內(nèi)，小球在轉(zhuǎn)第三個半圈，則細(xì)繩的拉力為F3＝meq\f(v2,l－2×\f(1,6)l)＝eq\f(3,2)·meq\f(v2,l)＝eq\f(3,2)F1＝N，故B、D錯誤，C正確。]11．如圖所示，有一質(zhì)量為M的大圓環(huán)，半徑為R，被一輕桿固定后懸掛在O點，有兩個質(zhì)量均為m的小環(huán)(可視為質(zhì)點)，同時從大環(huán)兩側(cè)的對稱位置由靜止滑下。當(dāng)兩小環(huán)同時滑到大圓環(huán)底部時，速度大小都為v，重力加速度為g，則此時大環(huán)對輕桿的拉力大小為()A．(2m＋2M)g B．Mg－eq\f(2mv2,R)C．2meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(g＋\f(v2,R)))＋Mg D．2meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v2,R)－g))＋MgC[當(dāng)兩小環(huán)滑到大圓環(huán)底部時，設(shè)小環(huán)受到的大圓環(huán)的支持力為FN，對小環(huán)，由向心力定義及公式有FN－mg＝meq\f(v2,R)；對大圓環(huán)受力分析可知，其受重力Mg、小環(huán)的壓力F′N和輕桿的拉力F，由平衡條件得F＝Mg＋2F′N，由牛頓第三定律得FN＝F′N，聯(lián)立以上各式解得，輕桿對大環(huán)的拉力大小F＝2meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(g＋\f(v2,R)))＋Mg，由牛頓第三定律知，大環(huán)對輕桿的拉力大小為2meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(g＋\f(v2,R)))＋Mg，C正確。]12．有一種叫“飛椅”的游樂項目，示意圖如圖所示。長為L的鋼繩一端系著座椅，另一端固定在半徑為r的水平轉(zhuǎn)盤邊緣。轉(zhuǎn)盤可繞穿過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動。當(dāng)轉(zhuǎn)盤以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動時，鋼繩與轉(zhuǎn)動軸在同一豎直平面內(nèi)，與豎直方向的夾角為θ。不計鋼繩的重力，求轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的角速度ω與夾角θ的關(guān)系。[解析]對座椅受力分析，如圖所示。轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的角速度為ω時，鋼繩與豎直方向的夾角為θ，則座椅到轉(zhuǎn)軸的距離即座椅做圓周運動的半徑R＝r＋Lsinθ，根據(jù)牛頓第二定律得mgtanθ＝mω2R，解得ω＝eq\r(\f(gtanθ,r＋Lsinθ))。[答案]ω＝eq\r(\f(gtanθ,r＋Lsinθ))13．小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運動。當(dāng)球某次運動到最低點時，繩突然斷掉，球飛行水平距離d后落地，如圖所示。已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為eq\f(3,4)d，重力加速度為g，忽略手的運動半徑和空氣阻力。(1)求繩斷時球的速度大小v1和球落地時的速度大小v2；(2)求繩能承受的最大拉力；(3)改變繩長，使球重復(fù)上述運動，若繩仍在球運動到最低點時斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長應(yīng)是多少？最大水平距離為多少？[解析](1)設(shè)繩斷后球飛行時間為t，由平拋運動規(guī)律得豎直力向eq\f(1,4)d＝eq\f(1,2)gt2 ①水平方向d＝v1t ②聯(lián)立①②解得v1＝eq\r(2gd) ③在豎直方向上有vy＝gt＝eq\f(\r(2gd),2) ④則v2＝eq\r(v\o\al(2,1)＋v\o\al(2,y)) ⑤聯(lián)立③④⑤解得v2＝eq\f(\r(10gd),2)。(2)設(shè)繩能承受的最大拉力大小為FT，這也是球受到繩的最大拉力大小。球做圓周運動的半徑為R＝eq\f(3,4)d，小球在最低點時，由牛頓第二定律得：FT－mg＝eq\f(mv\o\al(2,1),R)，解得FT＝eq\f(11,3)mg；(3)設(shè)繩長為l，繩斷時球的速度大小為v3，繩承受的最大拉力不變。