差分方程與濾波

差分方程與濾波第一頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日roll-off滾降gain增益passband通帶stopband阻帶bandwidth帶寬linearsystem線(xiàn)性系統(tǒng)superposition疊加原理time-invariant時(shí)不變causalsystem因果系統(tǒng)differenceequation差分方程filtercoefficient濾波器系數(shù)recursivefilter遞歸濾波器nonrecursivefilter非遞歸濾波器

finitewordlengtheffect有限字長(zhǎng)效應(yīng)impulseresponse脈沖響應(yīng)infiniteimpulseresponse（IIR)無(wú)限脈沖響應(yīng)finiteimpulseresponse(FIR)有限脈沖響應(yīng)movingaveragefilter滑動(dòng)平均濾波器stepresponse階躍響應(yīng)第二頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日4.1濾波基礎(chǔ)知識(shí)濾波器是以特定方式改變信號(hào)的頻率特性，從而變換信號(hào)的系統(tǒng)。例：低通濾波器減少磁帶中的高頻雜音分量，保留中、低頻率分量。

高通濾波器可用于聲納系統(tǒng)中消除信號(hào)中船和海的低頻噪聲，來(lái)識(shí)別目標(biāo)。

帶通濾波器可用于數(shù)字電話(huà)系統(tǒng)中雙音多頻信號(hào)的解碼。如圖4.1

帶阻濾波器除特定頻帶外，允許所有頻率通過(guò)。第三頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D4.1第四頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日理想濾波器的形狀是矩形，圖4.2給出非理想濾波器。圖4.2第五頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日濾波器的階數(shù)越高，它的滾降（roll-off)越快，也就越逼近理想情況。增益高的頻率范圍，信號(hào)可以通過(guò)，稱(chēng)為濾波器的通帶。增益低的頻率范圍，濾波器對(duì)信號(hào)有衰減或阻塞作用，稱(chēng)濾波器的阻帶。增益為最大值的1√2=0.707所對(duì)應(yīng)的頻率為濾波器截止頻率增益通常用分貝（dB）表示。增益（dB）=20log(增益）增益為0.707時(shí)對(duì)應(yīng)-3dB，因此截止頻率常被稱(chēng)為-3dB。它們定義了濾波器的寬帶。對(duì)于低通濾波器寬帶是從0~-3dB

對(duì)于高通濾波器寬帶是從-3dB~采樣頻率的一半對(duì)于帶通濾波器帶寬是截止頻率之間的頻率距離第六頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日FIGURE4-3BandpassfilterforExample4.1.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第七頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日FIGURE4-4BandwidthcalculationforExample4.1.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第八頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日低通濾波器可以平滑信號(hào)的突變高通濾波器可以強(qiáng)化信號(hào)的銳變第九頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日FIGURE4-5Effectsoflowandhighpassfilters.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第十頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日FIGURE4-5Continued.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第十一頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日FIGURE4-5Continued.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第十二頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D4.6說(shuō)明不同方式濾波器對(duì)語(yǔ)言濾波器可以獲得不同頻率分量（自學(xué)）返回圖4.6第十三頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日4.2模擬濾波器和數(shù)字濾波器模擬濾波器是由電器元件構(gòu)成的電路，濾波器特性對(duì)所用部件值非常敏感，對(duì)外界影響也很敏感，重新設(shè)計(jì)就要新設(shè)計(jì)的電路，濾波器介數(shù)增加時(shí)，所需部件也就越多。數(shù)字濾波器用軟件實(shí)現(xiàn)，很少用硬件，濾波軟件只是一系列程序指令，濾波器的性能由一系列數(shù)字系數(shù)來(lái)確定，只要重新確定濾波程序的系數(shù)就可重新設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器程序?qū)崿F(xiàn)有兩種主要方式。1、用濾波器差分方程，計(jì)算濾波器的輸出。2、用卷積過(guò)程計(jì)算輸出。返回第十四頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日4.3線(xiàn)性、時(shí)不變、因果系統(tǒng)線(xiàn)性系統(tǒng)：滿(mǎn)足疊加原理。輸入x1

的輸出為y1，輸入x2

的輸出為y2，則當(dāng)輸入為兩個(gè)輸入（x1，x2）之和時(shí)，輸出為兩個(gè)輸出（y1，y2)之和。

X1+x2y1+y2ax1+bx2ay1+by2a，b為權(quán)系數(shù)時(shí)不變系統(tǒng)：什么時(shí)間加上輸入，輸出都是相同的；換句話(huà)說(shuō)輸入延遲，相同的量。圖4.7第十五頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D4.8因果系統(tǒng)：一個(gè)系統(tǒng)在任何時(shí)刻的輸出只決定于現(xiàn)在的輸入以及過(guò)去的輸入，而與以后的輸入關(guān)。也稱(chēng)為不可預(yù)測(cè)的系統(tǒng)，因?yàn)橄到y(tǒng)的輸出無(wú)法預(yù)測(cè)未來(lái)的輸入值返回第十六頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日4.4差分方程差分方程（differenceequation)可用來(lái)描述線(xiàn)性時(shí)不變，因果數(shù)字濾波器。用x表示濾波器的輸入，用y表示濾波器的輸出。x[n]表示在輸入，每個(gè)值之間有一采樣周期延遲x[n-1]表前一輸入，同樣的，輸出對(duì)應(yīng)為y[n]x[n-2]表再前一輸入，y[n-1],y[n-2]差分方程一般表示為:a0y[n]+a1y[n-1]+…+aNy[n-N]=b0x[n]+b1x[n-1]+…+bMx[n-M](1)∑aky[n-K]=∑gkx[n-K](2)Ak,bk為權(quán)系數(shù)，稱(chēng)為濾波器系數(shù)。N為所需過(guò)去輸出的個(gè)數(shù)，M為所需輸入的個(gè)數(shù)。

NK=1

MK=0第十七頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日將y[n]前變?yōu)?，即a0

為1，所有系數(shù)除以a0，得：

y[n]=-∑aky[n-K]+∑bkx[n-K](3)表明了怎樣從過(guò)去的輸出，現(xiàn)在的輸入和以前的輸入計(jì)算濾波器每一個(gè)新輸出。數(shù)字系統(tǒng)依賴(lài)于輸入和過(guò)去的輸出時(shí)，稱(chēng)其為遞歸濾波器（3式）。當(dāng)數(shù)字系統(tǒng)僅依賴(lài)于輸入而不依賴(lài)過(guò)去的輸出，稱(chēng)其為非遞歸濾波器。（4）式y(tǒng)[n]=∑bkx[n-K](4)

NK=1

MK=0

MK=0第十八頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日下面學(xué)習(xí)差分方程的使用：例4.2一個(gè)濾波器的差分方程為：y[n]=0.5y[n-1]+x[n]a.確定所有系數(shù)ak,bk。b.它是遞歸濾波器還是非遞歸濾波器？

c.如果輸入x[n]（如圖4.9所示），從n=0開(kāi)始求出前12個(gè)輸出。圖4.9第十九頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日解：a.將差分方程重新改寫(xiě)，輸出放在左側(cè)，輸入放在右側(cè)y[n]–0.5y[n-1]=x[n]

系數(shù)的值很易確定，參照式（4.1）濾波器的系數(shù)為：

a0=1.0,a1=-0.5及b0=1.0,

除a0,a1,b0

外其他所有系數(shù)為零。b.由于輸出y[n]取決于過(guò)去的輸出y[n-1]，所以數(shù)字濾波器是遞歸濾波器。c.輸出可以從n=0開(kāi)始，通過(guò)反復(fù)計(jì)算式（4.5)求出。對(duì)于n=0這種情況，計(jì)算時(shí)需要輸出y[-1]。本書(shū)中，假定數(shù)字濾波器是因果的，這就意味著直到第一個(gè)輸入不為零時(shí)，輸出才開(kāi)始變化。此例中為n=0所以，y[0]以前的所有輸出可以假定為零。Y[0]

計(jì)算出來(lái)以后，可以計(jì)算y[1]。前12個(gè)輸出為：第二十頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日y[0]=0.5y[-1]+x[0]=0.5x(0.0000)+1.0=1.0000y[1]=0.5y[0]+x[1]=0.5x(1.0000)+1.0=1.5000y[2]=0.5y[1]+x[2]=0.5x(1.5000)+1.0=1.7500y[3]=0.5y[2]+x[3]=0.5x(1.7500)+1.0=1.8750y[4]=0.5y[3]+x[4]=0.5x(1.8750)+1.0=1.9375y[5]=0.5y[4]+x[5]=0.5x(1.9375)+1.0=1.9688y[6]=0.5y[5]+x[6]=0.5x(1.9688)+1.0=1.9844y[7]=0.5y[6]+x[7]=0.5x(1.9844)+1.0=1.9922y[8]=0.5y[7]+x[8]=0.5x(1.9922)+1.0=1.9961y[9]=0.5y[8]+x[9]=0.5x(1.9961)+1.0=1.9980y[10]=0.5y[9]+x[10]=0.5x(1.9980)+1.0=1.9990y[11]=0.5y[10]+x[11]=0.5x(1.9990)+1.0=1.9995第二十一頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日輸出示于圖4.10。由于輸入為一個(gè)恒定值，輸出最終也趨近一個(gè)恒值。圖4.10第二十二頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日例4.3y[n]=0.5x[n]–0.3x[n-1]a.確定所有系數(shù)ak,bk。b.它是遞歸濾波器還是非遞歸濾波器差分方程？

c.輸入x[n]=sin(n2π/9)u[n],求出前20個(gè)輸出。解：a.a0=1.0,b0=0.5及b1=-0.3。由于輸出不取決于過(guò)去的輸出，所以數(shù)字濾波器是非遞歸濾波器c.由于輸入中有u[n]，所以n=0以前的輸入為零。表4.1給出了輸入和輸出的前20個(gè)值。圖4.11給出了輸入和輸出的圖形。注意，雖然兩個(gè)信號(hào)的幅度和相位不同，但它們均具有正弦特性和相同的數(shù)字周期。第二十三頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日表4.1圖4.11

n-1012345x[n]0.0000.0000.6430.9850.8660.342-0.342y[n]0.0000.0000.3210.3000.138-0.089-0.274n6789101112x[n]-0.866-0.985-0.6430.0000.6430.9850.866y[n]-0.330-0.223-0.0260.1930.3210.3000.138n13141516171819x[n]0.342-0.342-0.866-0.985-0.6430.0000.643y[n]-0.089-0.274-0.330-0.233-0.0260.1930.321返回第二十四頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日4.5疊加原理

幾個(gè)輸入同時(shí)加到濾波器上，此時(shí)濾波器的響應(yīng)要應(yīng)用疊加原理，當(dāng)濾波器是線(xiàn)形時(shí)，多個(gè)輸入情況較容易處理。用兩種方法：1）分別計(jì)算每一輸入的輸出，然后把輸出加起來(lái)得到總的輸出信號(hào)。2）先把所有輸入加起來(lái)，然后求濾波器對(duì)這個(gè)和信號(hào)的響應(yīng)。第二十五頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日例4.4濾波器用差分方程描述為：

y[n]=x[n]+0.5x[n-1]兩個(gè)輸入（如圖4.12所示)加到濾波器上，它們分別是：

x1[n]=2u[n]X2[n]=sinu[n]求出兩個(gè)信號(hào)共同產(chǎn)生的前20個(gè)輸出，并畫(huà)出圖。圖4.12Nπ7第二十六頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日解：輸入為兩部分：x1[n]=2u[n],x2[n]=sin[nπ/7)u[n]。每個(gè)輸入所對(duì)應(yīng)的輸出y1[n],y2[n]可以單獨(dú)求出，然后把兩個(gè)輸出相加得到總的輸出。注意輸入在n=0之前為零。計(jì)算出的前20個(gè)輸出如表4.2和圖4.13所示。比如n=3的情況，表4.2中用黑體表示。X1[n]的輸出y1[n]由下式給出：

y1[n]=x1[n]+0.5x1[n-1]這樣，y1[3]=x1[3]+0.5x1[2]=2+0.5*（2）=3。X2[n]的輸出y2[n]為：

y2[n]=x2[n]+0.5x2[n-1]第二十七頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日這樣，y2[3]=x2[3]+0.5x2[2]=0.975+0.5*（0.782）=1.37，兩個(gè)信號(hào)總的輸出為y1[n]+y2[n]，對(duì)于n=3，y1[3]+y2[3]=03+1.37=4.37.把兩個(gè)輸入信號(hào)加起來(lái)同樣可以得到相同的結(jié)果。在加黑的行上y[3]=x[3]+0.5x[2]=2.975+0.5*(2.782)=4.37。實(shí)際上，輸出列y1[n]+y1[n]可以直接從輸入之和列x1[n]+x2[n]計(jì)算得到，而不需要經(jīng)過(guò)中間y1[n]，y2[n]兩列。圖4.13第二十八頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日表4.2nx1[n]x2[n]x[n]=x1[n]+x2[n]y1[n]y2[n]y[n]=y1[n]+y2[n]020.002.0020.002.00120.4342.43430.433.43220.7822.78231.004.00320.9752.97531.374.37420.9752.97531.464.46520.7822.78231.274.27620.4342.43430.823.82720.0002.00030.223.2282-0.4341.5663-0.432.5792-0.7821.2183-1.002.00102-0.9751.0253-1.371.63112-0.9751.0253-1.461.542-0.7821.2183-1.271.73132-0.4341.5663-0.822.181420.0002.0003-0.222.781520.4342.43430.433.431620.7822.78231.004.001720.9752.97531.374.371820.9752.97531.464.461920.7822.78231.274.27返回第二十九頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日4.6差分方程流圖1、非遞歸差分方程（a）延遲單元x[n]延遲x[n-1]

(b)系數(shù)乘法器x[n]bkbkx[n]x1[n](c)加法器+x1[n]+x2[n]x2[n]第三十頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日前面所講的一般非遞歸差分方程，可用圖4.15表示。圖4.15第三十一頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日有限字長(zhǎng)效應(yīng)：由于處理器有效比特?cái)?shù)的有限而產(chǎn)生的影響（量化誤差）。采取措施減小這些影響的方法：把高階濾波器分為若干個(gè)二階濾波器塊，每塊兩個(gè)延遲單元，然后將這些濾波器塊級(jí)聯(lián)起來(lái)，這樣平均來(lái)說(shuō)每一個(gè)二階濾波器節(jié)的系數(shù)比原來(lái)濾波器系數(shù)大，這樣對(duì)量化誤差敏感程度較低。第三十二頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日例4.5畫(huà)出下列差分方程的流圖：y[n]=0.5x[n]+0.4[n-1]–0.2x[n-2]解以上差分方程的流圖如圖4.17所示。圖4.17第三十三頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日例4.6寫(xiě)出圖4.18流圖的差分方程。解：

x[n]的乘數(shù)為1，無(wú)x[n-1]項(xiàng)，差分方程是：

y[n]=x[n]–0.3x[n-2]+0.7x[n-3]圖4.18第三十四頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日例4.7寫(xiě)出圖4.19級(jí)聯(lián)流圖的差分方程。解：第一級(jí)的差分方程為：

y1[n]=x1[n]–0.1x[n-1]+0.2x1[n-2]第二級(jí)的差分方程為：

y2[n]=x2[n]+0.3x2[n-1]+0.1x2[n-2]圖4.19第三十五頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日第三級(jí)的差分方程為：

y3[n]=x3[n]–0.4x3[n-1]第一級(jí)的輸出等于第二級(jí)的輸入，x2[n]=y1[n];第二級(jí)的輸出等于第三級(jí)的輸入；x3[n]=y2[n],可得級(jí)聯(lián)系統(tǒng)總的輸入y3[n]。從第三級(jí)的差分方程開(kāi)始，代入第二級(jí)的差分方程有：

y3[n]=x3[n]–0.4x3[n-1]=y2[n]–0.4y2[n-1]=(x2[n]+0.3x2[n-1]+0.1x2[n-2])-0.4(x2[n-1]+0.3x2[n-2]+0.1x2[n-3])=x2[n]–0.1x2[n-1]–0.02x2[n-2]–0.04x2[n-3]第三十六頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日代入第一級(jí)的差分方程有：y3[n]=x2[n]–0.1x2[n-1]–0.02x2[n-2]–0.04x2[n-3]=y1[n]–0.1y1[n-1]–0.02y1[n-2]–0.04y1[n-3]=(x1[n]–0.1x1[n-1]–0.02x1[n-2])-0.1(x1[n-1]–0.1x1[n-2]–0.02x1[n-3])-0.02(x1[n-2]–0.1x1[n-3]–0.02x1[n-4])-0.04(x1[n-3]–0.1x1[n-4]–0.02x1[n-5])=x1[n]–0.2x1[n-1]–0.19x1[n-2]-0.058x1[n-3]-0.008x1[n-5]

得到總的濾波器的差分方程。返回第三十七頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日2、遞歸差分方程1）直接1型實(shí)現(xiàn)對(duì)于一般遞歸濾波器的差分方程（式4.3），也可畫(huà)出其流圖（圖4.20)圖4.20第三十八頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日例4.8畫(huà)出如下差分方程所描述的遞歸數(shù)字濾波器的直接1型流圖：

y[n]+0.5y[n-2]=0.8x[n]+0.1x[n-1]-0.3x[n-2]解：從方程可知a0=1.0,a1=0.5,b0=0.8,b1=0.1和b2=-0.3。將差分方程重新排列如下：

y[n]=-0.5y[n-2]+0.8x[n]+0.1x[n-1]–0.3x[n-2]可以畫(huà)出流圖如圖4.21。圖4.21第三十九頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日例4.9寫(xiě)出如下流圖的差分方程：圖4.22解：差分方程為：

y[n]=0.1y[n-1]–0.3y[n-2]+0.6y[n-3]–0.8x[n-1]+0.2x[n-3]第四十頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日2)直接2型實(shí)現(xiàn)它采用中間信號(hào)w[n]，代替過(guò)去輸入和輸出，記錄濾波器歷史的重要信息。定義直接2型實(shí)現(xiàn)的兩個(gè)方程為（附錄CP599有推導(dǎo)）

w[n]=x[n]–Σakw[n-k]

y[n]=Σbkw[n-k]兩者結(jié)合起來(lái)構(gòu)成圖4.23所示的直接2型流圖，它減小了過(guò)去輸入和輸出狀態(tài)的儲(chǔ)存，直接2型較直接1型省存儲(chǔ)器。NK=1NK=0第四十一頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D4.23顛倒圖4.23中信息流向，得到轉(zhuǎn)置直接2型（如圖4.24)。圖4.24第四十二頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日例4.10求出圖4.25所示流圖的濾波器差分方程：圖4.25解：最下面的加法器輸出為0.1x[n]-0.3y[n],延遲一個(gè)單位得到0.1x[n-1]–0.3y[n-1]。中間的加法0.8x[n],最后得到：y[n]=0.1x[n-2]-0.3y[n-2]+0.2x[n-1]-0.2y[n-1]+0.8x[n]第四十三頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日即得所示濾波器的差分方程。表示成更一般的形式為：

y[n]=-0.2y[n-1]–0.3y[n-2]+0.8x[n]+0.2x[n-1]+0.1x[n-2]返回第四十四頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日4.7脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)是濾波器對(duì)脈沖輸入的響應(yīng)。數(shù)字濾波器的差分方程可以用來(lái)計(jì)算濾波器的脈沖響應(yīng)，輸入是脈沖函數(shù)，則差分方程的輸入x[n]用δ[n]代替，脈沖響應(yīng)用h[n]表示。脈沖響應(yīng)反映了濾波器的基本特性，由于所有數(shù)字信號(hào)可以由脈沖函數(shù)構(gòu)成，所以脈沖響應(yīng)可用來(lái)求各種輸入的輸出。第四十五頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日例4.11對(duì)下列差分方程求出脈沖響應(yīng)的前六個(gè)值。

y[n]–0.4y[n-1]=x[n]–x[n-1]解：首先，用δ[n]代替x[n]，h[n]代替y[n]，有：

h[n]–0.4h[n-1]=δ[n]-δ[n-1]

或

h[n]=0.4h[n-1]+δ[n]-δ[n-1]從n=0開(kāi)始：

h[0]+0.4h[-1]+δ[0]-δ[-1]脈沖函數(shù)的值已知：n=0時(shí)，它為1；在其他n不等于零處，它為零。假定濾波器是因果系統(tǒng)，幾脈沖響應(yīng)在n=0之前為零。因此：第四十六頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日h[0]=0.4*(0.0)+1.0–0.0=1.0注意δ[-1]=0是函數(shù)δ[n]當(dāng)n=-1是的值，而非因果性的結(jié)果。隨后的脈沖響應(yīng)為：

h[1]=0.4h[0]+δ[1]-δ[0]=0.4*(1.0)+0.0-1.0=-0.6h[2]=0.4h[1]+δ[2]-δ[1]=0.4*(-0.6)+0.0-1.0=-0.24h[3]=0.4h[2]+δ[3]-δ[2]=0.4*(-0.24)+0.0-1.0=-0.096h[4]=0.4h[3]+δ[4]-δ[3]=0.4*(-0.096)+0.0-1.0=-0.0384h[5]=0.4h[4]+δ[5]-δ[4]=0.4*(-0.0384)+0.0-1.0=-0.01536第四十七頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日脈沖函數(shù)和脈沖響應(yīng)示于下圖：圖4.28(b)中即使n=0以后沒(méi)有輸入，雖然脈沖響應(yīng)值越來(lái)越小，但決不會(huì)下降到0，這一特性常為遞歸濾波器所具有。新的輸出取決于過(guò)去的輸出，所以脈沖響應(yīng)不會(huì)消失，這個(gè)響應(yīng)稱(chēng)為無(wú)限脈沖響應(yīng)（IIR）第四十八頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日例4.12求出下列濾波器脈沖響應(yīng)的前六個(gè)采樣值。

y[n]=0.25(x[n]+x[n-1]+x[n-2]+x[n-3]]解：用δ[n]代替x[n]，h[n]代替y[n]，有：

h[n]=0.25(δ[n]+δ[n-1]+δ[n-2]+δ[n-3]這樣：

h[0]=0.25(δ[0]+δ[-1]+δ[-2]+δ[-3])=0.25*(1.0+0.0+0.0+0.0)=0.25h[1]=0.25(δ[1]+δ[0]+δ[-1]+δ[-2])=0.25*(0.0+1.0+0.0+0.0)=0.25h[2]=0.25(δ[2]+δ[1]+δ[0]+δ[-1])=0.25*(0.0+0.0+1.0+0.0)=0.25第四十九頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

h[3]=0.25(δ[3]+δ[2]+δ[1]+δ[0])=0.25*(1.0+0.0+0.0+1.0)=0.25h[4]=0.25(δ[4]+δ[3]+δ[2]+δ[1])=0.25*(1.0+0.0+0.0+0.0)=0.0h[5]=0.25(δ[5]+δ[4]+δ[3]+δ[2])=0.25*(1.0+0.0+0.0+0.0)=0.0顯然，當(dāng)n≥4時(shí)，脈沖響應(yīng)的所有采樣值均為零，圖4.29(a)給出了脈沖函數(shù)輸入和脈沖響應(yīng)。

第五十頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D4.29(a)（b）中，脈沖響應(yīng)在有限個(gè)非零采樣值之后下降到零，這種響應(yīng)稱(chēng)為有限脈沖響應(yīng)(FIR)，是非遞歸濾波器的特性。非遞歸濾波器在計(jì)算每一個(gè)新輸出時(shí)，只要用M個(gè)過(guò)去輸入，脈沖響應(yīng)變?yōu)榱闼枰牟蓸狱c(diǎn)數(shù)取決于計(jì)算中所用到的過(guò)去輸入個(gè)數(shù)。第五十一頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D4.29(b)中，它的脈沖響應(yīng)有4個(gè)，每個(gè)輻度為1/4，從差分方程中可看出，這種脈沖響應(yīng)形式具有對(duì)輸入信號(hào)每4個(gè)采樣值進(jìn)行平均的作用。

∴具有這種脈沖響應(yīng)形式的濾波器，被稱(chēng)為滑動(dòng)平均濾波器。圖4.29(b)第五十二頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于非遞歸濾波器，脈沖響應(yīng)的采樣值給出了差分方程的系數(shù)。如圖4.29(b)式y(tǒng)[n]=0.25(x[n]+x[n-1]+x[n-2]+x[n-3]]中的差分方程系數(shù)。圖4.29(b)第五十三頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日具有M個(gè)非零采樣值的脈沖響應(yīng)h[n]，可表示為脈沖函數(shù)之和

h[n]=h[0]δ[n]+h[1]δ[n-1]+…+h[M]δ[n-M]非遞歸差分方程脈沖響應(yīng)

h[n]=b0δ[n]+b1δ[n-1]+…+bMδ[n-M]兩式相等bK=h[k]∴非遞歸差分方程

y[n]=b0x[n]+b1x[n]+…+bMx[n-M]

可改寫(xiě)成

y[n]=h[0]x[n]+h[1]x[n-1]+…+h[M]x[n-M]第五十四頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日例4.13寫(xiě)出圖4.30所示脈沖響應(yīng)的濾波器差分方程。圖4.30解：脈沖響應(yīng)可以寫(xiě)成脈沖函數(shù)之和：

h[n]=δ[n]+0.8δ[n-1]+0.2δ[n-2]這樣，差分方程具有類(lèi)似的結(jié)構(gòu)：y[n]=x[n]+0.8x[n-1]+0.2x[n-2]由于脈沖響應(yīng)中非零的采樣點(diǎn)數(shù)有限，所以差分方程具有有限脈沖響應(yīng)(FIR)特性第五十五頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日例：4.14圖4.31所示信號(hào)x[n]加到線(xiàn)形濾波器的輸入端，濾波器的脈沖響應(yīng)h[n]如圖4.32所示。將入信號(hào)分成脈沖函數(shù)并求每一個(gè)的響應(yīng)，然后求濾波器的輸出y[n]。

圖4.31圖4.32第五十六頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日解：圖4.31所示信