哈工大離散數(shù)學(xué)教科書習(xí)題答案

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第一章集合及其運(yùn)算

8P習(xí)題

3.寫出方程2210xx++=的根所構(gòu)成的集合。

解：2210xx++=的根為1x=-，故所求集合為{1}-

4.下列命題中哪些是確實(shí)，哪些為假

a)對每個(gè)集A，Aφ∈；b)對每個(gè)集A，Aφ?；

c)對每個(gè)集A，{}AA∈；d)對每個(gè)集A，AA∈；

e)對每個(gè)集A，AA?；f)對每個(gè)集A，{}AA?；

g)對每個(gè)集A，2AA∈；h)對每個(gè)集A，2AA?；

i)對每個(gè)集A，{}2AA?；j)對每個(gè)集A，{}2AA∈；

k)對每個(gè)集A，2Aφ∈；l)對每個(gè)集A，2Aφ?；

m)對每個(gè)集A，{}AA=；n){}φφ=；

o){}φ中沒有任何元素；p)若AB?，則22AB?

q)對任何集A，{|}AxxA=∈；r)對任何集A，{|}{|}xxAyyA∈=∈；s)對任何集A，{|}yAyxxA∈?∈∈；t)對任何集A，{|}{|}xxAAAA∈≠∈；答案：假真真假真假真假真假真真假假假真真真真真

5.設(shè)有n個(gè)集合12,,,nAAAL且121nAAAA????L，試證：

12nAAA===L

證明：由1241nAAAAA?????L，可得12AA?且21AA?，故12AA=。同理可得：134nAAAA====L

所以123nAAAA====L

6.設(shè){,{}}Sφφ=，試求2S？

解：2{,{},{{}},{,{}}}Sφφφφφ=

7.設(shè)S恰有n個(gè)元素，證明2S有2n個(gè)元素。

證明：（1）當(dāng)n＝0時(shí)，0,2{},212SSSφφ====，命題成立。

（2）假設(shè)當(dāng)(0,)nkkkN=≥∈時(shí)命題成立，即22Sk=（Sk=時(shí)）。這么關(guān)于1S?（11Sk=+），12S中的元素可分為兩類，一類為別包含1S中某一元素x的集合，另一類為包含x的集合。顯然，這兩類元素個(gè)數(shù)均為2k。因而1122Sk+=，亦即命題在1nk=+時(shí)也成立。

由（1）、（2），可證得命題在nN∈時(shí)均成立。

16P習(xí)題

1.設(shè)A、B是集合，證明:

(\)()\ABBABBBφ=?=UU

證：?當(dāng)Bφ=時(shí)，顯然(\)()\ABBABB=UU，得證。

?假設(shè)Bφ≠，則必存在xB∈，使得(\)xABB∈U但()\xABB∈U，故(\)()\ABBABB≠UU與題設(shè)矛盾。因此假設(shè)別成立，故Bφ=。

2.設(shè)A、B是集合，試證ABABφ=?=?

證：?顯然。

?反證法：假設(shè)Aφ≠，則0xA?∈，若0xB∈，則0x∈左，但0x?右，矛盾。

若0xB∈，則0x∈左，但0x∈右，矛盾。故假設(shè)別成立，即Aφ=。

3.設(shè)A，B，C是集合，證明：

()()ABCABC??=??

證：()[(\)(\)][()()]CCABCABBACABBAC??=?=?UIUI

[()()\](\(()()))

()()((()()))CCCCCCCCCCABBACCABBAABCBACCABBA==IUIUIUIIIUIIUIIII

()()((()()))CCCCCCABCBACCABAB=IIUIIUIIII

()()()()CCCCCCABCABCABCABC=IIUIIUIIUII

由上式能夠看出此展開式與A、B、C的運(yùn)算順序無關(guān)，所以，()()ABCABC??=??

4.設(shè)A，B，C為集合，證明\()(\)\ABCABC=U

證：因?yàn)閈()()CCCABCABCABC==UIUII=()\CABCI=(\)\ABC。

5.設(shè)A，B，C為集合，證明：

()\(\)(\)ABCACBC=UU

證：()\()()()CCCABCABCACBC==UUIIUI＝(\)(\)ACBCU。

6.設(shè)A，B，C為集合，證明：

()\(\)(\)ABCACBC=II

證明：()\()CCABCABCABC==IIIII=()()CCACBCIII

=(\)(\)ACBCI

7.設(shè)A，B，C基本上集合，若ABAC=UU且ABBC=II，試證B=C。

證：證1：xB?∈，則

若xA∈，則()xAB∈I。由于ABAC=II，故()xAC∈I，即xC∈；若xA∈，則()xAB∈U，由于ABAC=UU，故xAC∈U。又xA∈，只能有xC∈。所以，xB?∈，總有xC∈，故BC?。

同理可證，CB?。

所以BC=。

證2：()()()()BBABBACBABC===IUIUIUI

()()()()CABCCABCACC====IUIIUIU

8.設(shè)A，B，C為集合，試證：

(\)\(\)\(\)ABCABCB=

證：證Ⅰ(\)\xABC?∈，有,,xAxBxC∈∈∈，所以，(\)xAB∈，(\)xCB∈。故(\)\(\)xABCB∈，即(\)\ABC?(\)\(\)ABCB。

反之，(\)\(\)xABCB?∈，有(\)xAB∈，(\)xCB∈。所以,,xAxBxC∈∈∈。故(\)\xABC∈，即(\)\(\)ABCB?(\)\ABC。

因此(\)\ABC＝(\)\(\)ABCB。

證Ⅱ：(\)\(\)()()()()CCCCCABCBABCBABCB==IIIIIU

()(\)\CCABCABC==II

9.設(shè)XYZ??，證明\(\)(\)ZYXXZY=U

證：證1：\(\)xZYX?∈)()(XYZXYZCCCYIII==，有xZ∈且xY∈或xX∈。則

若xZ∈且xY∈，則\xZY∈，于是(\)xXZY∈U。

若xZ∈且xX∈，則(\)xXZY∈U，從而

\(\)(\)ZYXXZY?U。

反之，(\)xXZY?∈U，則xX∈或\xZY∈。

若xX∈，則由XYZ??有,xYxZ∈∈，故\xYX∈，所以\(\)xZYX∈。若\xZY∈，則xZ∈但xY∈，故\xYX∈，所以\(\)xZYX∈。從而

(\)\(\)XZYZYX?U。

由集合相等的定義，\(\)(\)ZYXXZY=U。

證2：\(\)()()()()CCCZYXZYXZYXZYZX===IIIUIUI，

因?yàn)閄Z?，因此\(\)()(\)CZYXZYXXZY==IUU。

10.下列命題是否成立？

(1)(\)\(\)ABCABC=U；(2)(\)()\ABCABC=UU；

(3)\()()\ABCABB=UU。

解：（1），（2），（3）都別成立。反例如下：

（1）BCA},1{,==φ任意，則(\){1};\(\)ABCCABCφ===U。

（2）{1},,{1}ABCφ===，則(\){1};()\ABCABCφ==UU。

（3）,{1},{1,2}ABCφ===，則\();()\{2}ABCACBφ==UU。

11．下列命題哪個(gè)為真？

a)對任何集合A,B,C，若ABBC=II，則A=C。

b)設(shè)A,B,C為任何集合，若ABAC=UU，則B=C。

c)對任何集合A,B，222ABAB=UU。

d)對任何集合A,B，222ABAB=II。

e)對任何集合A,B，\22\2ABAB=。

f)對任何集合A,B，222ABAB?=?。

答案：d是真命題。

12．設(shè)R,S,T是任何三個(gè)集合，試證：

（1）()()STSTST?=?UI；

（2）()()()RSTRSRT????II；

（3）()()()()()RSRTRSTRSRT???????IUU；

（4）()()()RSTRSRT???UUU

證：（1）xST?∈?)\()\(STTSY=，則

若xS∈，則xT∈。因而()xST∈U且()xST∈I，故()()xSTST∈?UI；若xS∈，則xT∈，同理可得()()xSTST∈?UI。故

ST??()()STST?UI。

反之，因?yàn)?)()STST?IU，故

()()STST?UI＝()\()STSTUI])(\)([φ=STTSYIY。

()()xSTST?∈?UI()\()STST=UI，有(),()xSTxST∈∈UI。若xS∈，則xT∈，故x∈ST?；若xS∈，則xT∈，故x∈ST?。所以

()()STST?UI?ST?。

因此ST?＝()()STST?UI。

（2）證：x?∈()()RSRT??I，有()xRS∈?且()xRT∈?。則

若xR∈，則xS∈且xT∈，故()xST∈I，x∈()RST?I。若xR∈，則xS∈且xT∈。故()xST∈I，所以x∈()RST?I。于是

()()RSRT??I?()RST?I。

（3）證：()()xRSRT?∈??I，有()xRS∈?且()xRT∈?。則

若xR∈，則,xSxT∈∈，故()xST∈U，所以()xRST∈?U；若xR∈，則,xSxT∈∈，故()xST∈U，()xRST∈?U。于是

()()()RSRTRST????IU

反之，()xRST?∈?U，則

若xR∈，則()xST∈U，故,xSxT∈∈，因而(),()xRSxRT∈?∈?。即()()xRSRT∈??U；若xR∈，則()xST∈U，故xS∈或xT∈。所以()xRS∈?或()xRT∈?，從而()()xRSRT∈??U。

綜上可得：()()()RSTRSRT????UU。于是

()()()RSRTRST????IU()()RSRT???U

證：()()xRSRT?∈?UU，則

若()xRS∈U，則()xRT∈U，因而,,xRxTxS∈∈∈。故xST∈?，于是()xRST∈?U；若()xRS∈U，則()yRT∈U，與上同理可得()xRST∈?U。

綜上可得：()()()RSTRSRT???UUU。

14．設(shè)A為任一集，{}IBξξ∈為任一集族（Iφ≠），證明：

()()II

ABABξξξξ∈∈=UUII

證：x?∈()I

ABξξ∈UI，則

若xA∈，則()xABIξξ∈∈U，因而x∈()I

ABξξ∈UI；若xA∈，則,IxBξξ?∈∈，因而,IxABξξ?∈∈U，故x∈()I

ABξξ∈UI。于

是

()IABξξ∈UI?()I

ABξξ∈UI。

反之，設(shè)x∈()I

ABξξ∈UI，則,IxABξξ?∈∈U。

若xA∈，顯然x∈()I

ABξξ∈UI；若xA∈，則,IxBξξ?∈∈，因而IxBξξ∈∈I，即x∈()I

ABξξ∈UI。因此，

()IABξξ

∈UI?()IABξξ∈UI。綜上可得，()IABξξ∈UI＝()I

ABξξ∈UI。15．填空：設(shè)A,B是兩個(gè)集合。(a)xAB∈?U__________________；(b)xAB∈?I__________________；(c)\xAB∈?___________________；(d)xAB∈??___________________；

解：(a)xA∈且xB∈；(b)xA∈或xB∈(c)xA∈或xB∈；(d)（xA∈且xB∈）或（xA∈且xB∈）

16．設(shè)A，B，C為三個(gè)集合，下列集合表達(dá)式哪一具等于\()ABCI？

（a）(\)(\)ABACI；（b）()\()ABACII

（c）(\)(\)ABACU；（d）()\()ABACUU

（e）()()ABACUIU

答案：c。

(\)(\)()()()

()\()

CCCCCABACABACABCABCABC====UIUIIUIII

20P習(xí)題1．設(shè)A,B,C為集合，同時(shí)ABAC=UU，則下列斷言哪個(gè)成立？

(1)BC=；(2)ABAC=II；(3)CCABAC=II；(4)CCABAC=II。答案：d。

在CCABAC=II兩邊并且并上A即得ABAC=UU。

2．設(shè)A,B,C為任意集合，化簡

()()()()()()()CCCCCCCCCABCABCABCABCABCABCABCIIUIIUIIUIIU

IIUIIUII

證：證1：原式＝()()()()CCCCBCABBCABCIUIUIUII

()()()()

()(())CCCCCCBABABCABABCABABCABC

====UIUIIUUIIUUUIUU

證2：令原式＝T，全集為S，則()CCCSTABC=UII且()CCCTABCφ=III，

故()CCCCTABCABC==IIUU。

3．證明：（1）()()CCABABAB?=UIU；（2）()()()CCCABABAB?=IUI；

（3）()()()CCCABABAB?=UIU

證：（1）()()(())(())CCCCABABABAABB=UIUUIUUI

()()CCBAAB=IUI(\)(\)()ABBAAB==?U

（2）證：()CAB?(()())CCCABAB=UIU〔依照（1）〕

()()()()CCCCCCABABABAB==UUUIUI

（3）證：()()CCABAB=UIU(())(())CCCABAABBUIUUI

()()CCABAB=IUI()CAB=?〔依照（2）〕

4．設(shè)12,,MML和12,,NNL是集合S的子集的兩個(gè)序列，對,,1,2,ijij≠=L，有ijNNφ=I。令1

111,(),2,3,nCnnkkQMQMMn-====IUL。試證：1()n

nniiiNQNM=???U。

證：(\)(\)nnnnnnxNQNQQN?∈?=U

當(dāng)n＝1時(shí)，11111()niiixNQNMNM=∈?=???U，故1()n

nniiiNQNM=???U

當(dāng)n≥2時(shí)，設(shè)(\)(\)nnnnnnxNQNQQN∈?=U有(\)nnxNQ∈或(\)nnxQN∈。則

1.若(\)nnxNQ∈，則nxN∈但11

11(),nnc

nnknkiixQMMxMxM--==∈=∈∈IUU即或，所以有(1)nixMxMin∈∈≤-或。于是

（1）若nxN∈且nxM∈，有1\()n

nnnniiixNMNMNM=∈????U；

（2）若nxN∈且(1)ixMin∈≤-，由()ijNNijφ=≠I，有(1)ixNin∈≤-且ixM∈，于是1\()n

iiiiiiixMNMNNM=∈????U。

2.若\nnxQN∈，則1

1()ncnnknixQMMxM-=∈=∈IU，即但nxN∈。于是

1\()n

nnnniiixMNMNNM=∈????U。

綜上可得：1()n

nniiiNQNM=???U

5．設(shè)X是一具非空集合，1,,1,2,3,nnnAXAAn+??=L試證：n?，有

1()cnmmmmnmnAAA

A∞∞

+===IUUI。證明：由于1mmAA+?，故11\cmmmmAAAA++=I。因?yàn)閙n≥，故mnAA?，顯

然有1()cmmmnmnmnAA

AA∞∞

+==?IUUI。關(guān)于nxA?∈，假設(shè)存在()ppn≥，使得pxA∈，必可找到其中最小的值0p，使得001\ppxAA+∈，故x∈

1()cmmmmnmnAAA∞∞

+==IUUI；

如果別存在p，則mmnxA∞=∈I，故x∈

1()cmmmmnmnAAA∞∞

+==IUUI。綜上可得：nA?

1()cmmmmnmnAAA∞∞

+==IUUI。因此nA＝1()cmmmmnmnAA

A∞∞

+==IUUI。6．設(shè)V是任一集合，證明：

,,2VSTW?∈有STW??當(dāng)且僅且STSW???且SW?。

證：?因?yàn)镾TW??，故\\STTSWSSW?=???。

?先證ST?。設(shè)xS∈，則

若xT?，則\\xSTSTSWWS∈????=，故xW∈且xS?，矛盾。因此xT∈，即ST?。

其次，證明TW?。設(shè)xT∈，則有兩種事情：

若xS?。則\\xTSSTSWWS∈????=，故xW∈。

若xS∈。由SW?，知xW∈。

總之，xT?∈，有xW∈，故TW?。

7．設(shè)12,,AAL為一集序列，記A為如此的元素的全體形成的集合：xA∈當(dāng)且僅當(dāng)在序列12,,AAL中有無窮多項(xiàng)nA含有x。集合A稱為集序列12,,AAL的上極限，記為limnnA→∞，即limnnAA→∞

=。又記A為如此的元素全體形成的集合；序列12,,AAL中惟獨(dú)有限項(xiàng)別含有如此的元素。稱A為序列12,,AAL的下極限，并記limnnAA→∞

=。證明