量子力學(xué)第二章習(xí)題新

PAGEPAGE2第二章波函數(shù)和薛定諤方程.解:幾率流密度公式為而定態(tài)波函數(shù)的一般形式為

Ji2

**將上式代入前式中得:顯然是這個(gè)J與時(shí)間無關(guān).

Ji2

r,teiEt**;(1) 1

eikrr

(2) 2

eikr1r11從所得結(jié)果說明11

表示向外傳播的球面波,2

表示向內(nèi)(即向原點(diǎn))傳播的球面波.解:在球坐標(biāo)中,梯度算符為er

er

1er

1 rsin和1

只是r的函數(shù),與,無關(guān),所以re

1eikr

1,1 r

errrrr

eikr r 1r*

*

1eikr

1eik eik rre

1 r

r r r1eikr

r 1

*r

eik rrr rr

eikrr 2 1r*

*

1eikr

1

2 r

errrrr

eikr r 1 1r2將以上四式代入 J21

i**1

eikrrJi2ik1e

k1e

p1ep11 2r21

r2

r2 r r22

eikrrJ i

1ek

ep1

ep1

J2 21

r2

r2

r2

r2 1p1計(jì)算的結(jié)果已經(jīng)很清楚1

eikr這樣的球面波,是沿r

方向傳播的波,Jr

er2

.而球面波 2

1eikr傳播方向與r

相反J1

J1一粒子在一維勢場

Ux0

x00xaxa中運(yùn)動(dòng),求粒子的能級和對應(yīng)的波函數(shù).解:從定態(tài)薛定諤方程

d2dx2

2E02E2E2即 k0 k

E0可知,其解為

AeikxBeikx.在x0和xa處，波函數(shù)為 (x)0，在0xa處，波函數(shù)為 AeikxBeikx從0得 AB0 即 AB因此有

eikx

eikx

2iAsinkxCsinkx從a0得 sinka0 即要求 kan

n1,2,3所以 n歸一化條件*dx1可得

Csinnxn1,2,3aE n222n 2a22aC sin22a

1coscos2

1cos所以 n

2asin2aa

2 2 xn1,2,3 0xa2a2an綜合: n

sinxa

0xa0 x0xa0Asinxaxa 1 a證 2a 式中的歸一化常數(shù)是Aan 0 xa解:這是寬度為2a,將坐標(biāo)原點(diǎn)選在勢阱中心而表示的一維無限深勢阱的波函數(shù),利用歸一化條件得a

2a 10dxsin2 xadx0dxsin2 ydy2a 2a a a 0A2

2ansin2n0

zdzA2

2a n2A2a1a1a所以 Aei 取0 得 A1a1a21解:一維諧振子第一激發(fā)態(tài)的波函數(shù)為1其中 1 x0

x

221 1

1

x幾率密度 w*1 1

x

23

x2e2x2dwdx43極值點(diǎn)有 x0,43

2x2x3e2x2323

x12x2e2x200使:d2w 43

2.5圖圖中取2.5圖圖中取1 12x24x4 dx2只有

x 0兩個(gè)值,所以x現(xiàn)的幾率最大.

xx0和x

在一維勢場中運(yùn)動(dòng)的粒子,勢能對原點(diǎn)對稱:UxUx解:定態(tài)的波函數(shù)滿足的薛定諤方程為?xxx哈密頓算符 ?x

d2Ux2dx2于是當(dāng)xx時(shí), UxUxU而拉普拉斯算符

2 d22dx2

2 d22dx

2 d22dx2即在坐標(biāo)反射下,哈密頓算符不變,即寫出坐標(biāo)反射后的薛定諤方程

?x?x?xxx考慮到?x?x有 ?xxx?比較

xxExxxExExxxx,1.即

x可見,粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱,奇宇稱或偶宇稱.當(dāng)xx時(shí),稱該波函數(shù)為偶宇稱.當(dāng)xx時(shí),稱該波函數(shù)為奇宇稱.但是如果屬于能量E的本征值是簡併的,特別是xx這時(shí)可以構(gòu)造兩個(gè)與之相關(guān)的波函數(shù)fxxx,gxxx據(jù)此,可知因而具有偶宇稱;因而具有奇宇稱.

fxfx,gxg以上結(jié)果本質(zhì)上是根據(jù)哈密頓的對稱性去推知它的本征函數(shù)的對稱性.一般地,如果屬于某一能量的本征態(tài)是非簡併的,那么,能量本征態(tài)會(huì)攜帶哈密頓算符的對稱性.但是,如果屬于某一能量的本征態(tài)是簡併的,那么并不是其中的每一個(gè)本征態(tài)都會(huì)攜帶哈密頓算符的對稱性.但總可以通過它們的某種組合使之?dāng)y帶哈密頓算符的對稱性.一粒子在一維勢阱,求束縛態(tài)EU0解:粒子所滿足的方程

Ux0000

xaxa2 d22dx2 1

xU0 1

xE1

x

xa2 d22dx2 2

xE2

x

axa2 d22dx2

U3 0

x

3

xa2020E2方程變?yōu)?/p>

x0

xa 1 1xx

axa 2 2x3

x3

xa它們的解分別是:

AexAex

xa1 1 Bsin2 1

2x2

cosx

Bsin

a

xa CexC3 1

ex

xaAC01 2Aex xa1 2 Bsin2

a

xa (1) Cex3 1

xa根據(jù)波函數(shù)在邊界上連續(xù)及導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件,確定常數(shù).連續(xù)xa

A

si 1xa 2xa 得

(2)xa 3xa 2xa連續(xù)

C1

sin xa

coa

1xa

xa 得

(3)xa

3

xa

2

xa

co

cotcota

和C;由(3)可以確定E.由(3)得cotaacotaa

2

所以由此得

kk2, 1 k ,由于余切以為周期, 故只有兩個(gè)獨(dú)立解:0, ,把0和 分別2 2 2代入(3)式得到確定能量的方程為：0 cota2 tana將上面的式子同乘以勢壘寬度a0 acotaa2 atanaa再考慮到:

a

2U0

Ea220 (a)2令uava

2a2 2u20u2v22U

a2 20對于0,其能級由

vutanuvucot確定,而對應(yīng)的波函數(shù)的系數(shù)由

u2v22Uvcotu

a2 20ABeasina 2 確定.其波函數(shù)可寫作如下形式

CBeasina1Bsinaexa

xa1 B2

sin

x

axa波函數(shù)為奇函數(shù).

Bsinaexa3

xa對于2,其能級由確定,而對應(yīng)的波函數(shù)的系數(shù)由

u2v22Uvutanu

a2 20ABeacosa 2 確定.其波函數(shù)可寫作如下形式

CBeacosa1Bcosaexa

xa1 2

cos

x

axa Bcosaexa3

xa波函數(shù)為偶函數(shù).系數(shù)B可由歸一化條件確定.a2 20取以v為縱軸, u為橫軸的直角坐標(biāo)系,因?yàn)?都不是負(fù)數(shù),故u和v也都不取負(fù)值a2 20畫出超越曲線vutanu和以越曲線的交點(diǎn)就是所求的解.由uaa 2E

為半徑的圓.圓和超2.72.7

E2u2 (4)2a2a2 20a2 20同樣在第一象限中畫出超越曲線vucotu和以

為半徑的圓.圓和超越曲線的交點(diǎn)就是所求的解.將圖中圓和超越曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)u代入(4)式中,即得第一組粒子能量的可能值.設(shè):Ua20

n2228,n1,2,3

n22 2u2v2

4

(5)222.7是(5)vutanuvucotu.n1時(shí),只與曲線vutanu相交,,當(dāng)n2,與曲線vutanuvucotu,有,,.分子間的范德瓦爾斯力所產(chǎn)生的勢能可以近似地表示為求束縛態(tài)的能級所滿足的方程.

Ux 10

x00xaaxbxb解:束縛,即要求U E0.分區(qū)域?qū)懗鲅Χㄖ@方:0 11

x02 d22dx2 2

xU0 2

xE2

x

0xa2 d22dx2 2 d22dx2

xU1 3xE4

xE3x

x

axbxb2220E

則 xk

x02 2 2 22E2EU21

則 xk

x03 3 3 322E2

則 xk

x0以上三方程的解分別為:

4 4 4 42 xAekxAe2 2xBsin3 3

x44xCekxCekx44 4 在x0處,2

00A0AA4

xxC0

xAekxekx2 2 xBsink3 3

x由波函數(shù)導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性得

xCekx4443xa tanaktha3 2 2xa 3 3xa 3 k 2 2xb tankbk3 3 3xb 4 4xb 3 k4即katan1k3tha,kbtan k1 33 k 2 3