應(yīng)用數(shù)值分析(第四版)課后習(xí)題答案第3章

第三章習(xí)題解答1.試討論a取什么值時(shí)，下列線性方程組有解，并求出解。axxx1axxx1123123(1)xaxx1(2)xaxxa123123xxaxa2xxax1123123a1111001/(a2)解：(1)A1a11經(jīng)初等行變換化為0101/(a2)0011/(a2),)T.11a1111當(dāng)a2時(shí)，方程組有解，解為x(,a2a2a2a111100(a1)/(a2)001(a22a1)/(a2)(2)A1a1a經(jīng)初等行變換化為0101/(a2)11aa2當(dāng)a2時(shí)，方程組有解，解為x(a1,1,a22a1)T.a2a2a22.證明下列方程組Ax=b3x2xx4xb11234xx3xxb212342xx3xb3123x8x5xb4234當(dāng)（1）b(10,4,16,3).時(shí)無(wú)解；（2）b(2,3,1,3)T.時(shí)有無(wú)窮多組解。T解：(1)r(A)=3r(A,b)=4當(dāng)b(10,4,16,3).時(shí)無(wú)解；T(2)r(A)=3,r(A,b)=3當(dāng)b(2,3,1,3)T.時(shí)有無(wú)窮多組解。3.用列主元高斯消元法求解Ax=b22331231(2)A234,b1(1)A477,b124573462(1)x=(2,-2,1)T(2)x=(0,-7,5)T4.證明上（下）三角方陣的逆矩陣任是上（下）三角方陣。證明：設(shè)Aa是上（下）三角方陣，即a0,ijijijAAaji設(shè)的逆為Bb,bji,其中A為的代數(shù)余子式，jiAijij由于Aa是上三角方陣，所以A0,ijijijA當(dāng)ij時(shí)，bji0,所以B為上三角方陣。Aij5.用Gauss-Jordan法求解下列矩陣的逆矩陣。120(1)2A1-1311解(1)120110000-0.250.250.250021-10011000.625-0.125-0.1250311000011250.1-0.6250.3750-0.250.250.2500A10.625-0.125-0.12500.125-0.6250.37501266.以已知矩陣A=2515，試對(duì)A進(jìn)行cholesky分解A=LLT,并利用分解因1161546子陣L求A的逆矩陣A-1=(L-1)(TL-1).1126l00lll13解:A=2515=ll00ll1111122122222361546lll00l33313233j=1時(shí),l=1,l=2,l=6311121j=2時(shí),l=aL2=1,l=(a-ll)/l=3;2222213232312132j=3時(shí),l=aL2L2=133333132100100L=210L-1=2106310311201520A-1=(L-1)T(L-1)=01321=21030010310317.已知線性方程組210x31(1)121x32012x135-410x2(2)1-46-41x121-46-4x13x01-4524試用Cholesky分解ALLT求解問(wèn)題（1），用對(duì)稱分解ALDLT求解問(wèn)題（2）。11解:2101.414201.41420-0.70710A=121=-0.70711.2247001.2247=L-0.8165LT(8)0120-0.81651.1547001.1547解Ly=b,得y=[2.1213,-1.2247,-0.0000]T解LTx=y得x=[1,-1,0]T（2）5-4101.0000000-46-41-0.80001.000000A==1-46-40.2000-1.14291.0000000.3571-1.33331.000001-455.0003001.0000-0.080000.20000001.0000-1.14290.3571=LDL02.80010T00002.14300001.0000-1.33331.00000000.83340解Lz=b,得z=[2.0000,0.6000,-0.7143,0.8334]T解Dy=z,得y=[0.4000,0.2143,-0.3333,0.9999]T解LTx=y得x=[1,1,1,1]T

8．設(shè)A是對(duì)稱正定陣，試證明不選主元的Cholesky分解ALLT的計(jì)算過(guò)程是11數(shù)值穩(wěn)定的。證明：于是有l(wèi)2a，j2,3,...,n;k1,2,...,.jjkjjj1,la,la/l,i2,3,...,n1111i1i1綜合以上得到結(jié)論：在Cholesky分解中，不選主元的計(jì)算分解式的元素11l(j2,3,...,n;k1,2,...,j)的數(shù)量級(jí)不會(huì)增長(zhǎng)，能得到控制，且l(j2,3,...,n)恒jjjk正，因此，這是一個(gè)節(jié)省儲(chǔ)存且計(jì)算過(guò)程是數(shù)值穩(wěn)定的方法。9.求解以下三對(duì)角方程組2-100x11-12-10x2(1)20-12-1x200-12x1342-100x1(2)1-12-10x22002-1x2300-12x14(1)2-10010200-100-12-10-0.51001.40999-10解:A===LU0-12-10-0.666710001.3333-101.2500-0.7501000-12解Ly=b,得y=[1.0000，2.4999，-0.3333，-1.2500]T解Ux=y得x=[1,1，-1,-1]T(2)2-1001002-1000解:A=001.05-10-12-10-0.51==LU002-10010002-10-0.5001001.500-12解Ly=b,得y=[1，2.5，-2，-2]T解Ux=y得x=[0.7778，0.5556，-1.6667，-1.3333]TBC11ABC22210.已知A為塊三對(duì)角陣,A非奇異，A=，Cm1ABmm其中B均為方陣(i1,2,,m),設(shè)A有分塊LU分解式iBCLRIU1111IU2ABCRL222223CUm1m1IRLmABmmm試證明：（1）RA(i2,3,...,)mii（2）LBUL1C1（3）LBAU1111(i2,3,...,)miiii1（4）UL1C(i2,3,...,)miii證：BL,AR,CLU,1122BRUL,AR,CLU,111iii1iiLBUL1Ciiii111RA(i2,3,...,)m11iiLBAUii1(i2,3,...,)m(i2,3,...,)miiUL1Ciii2-102x111．試求解周期三對(duì)角方程組1-12-10x220-12-x12320-12x14解：U(2,0,0,2),TV(1,0,0,1)T4-100-12-10A12-10-00-14解AW=d=(1,2,-2,1)T得W=(0.45450.8182-0.8182-)0.4545T解AZ=U=(-2,0,0,2)T得Z=(-0.5455-0.18180.18180.5455)TVTWxWZ(-5.0000-1.00001.00005.0000)T1(VTZ)1212．已知A,試計(jì)算cond(A),cond(A),cond(A)3412解：cond(A)21,cond(A)14.9330,cond(A)21121113．已知A,n為正整數(shù)，求A1,cond(A),limcond(A).111nnnnnn解：A1-n+1n,cond(A)4n,limcond(A)n-nnnnn110105514.設(shè)方程組Ax=b，其中A=，b=111①計(jì)算cond(A)，判斷方程組是否病態(tài)。②用全主元消元法求解，結(jié)果如何？③用105除第一個(gè)方程所得方程組是否病態(tài)？解：11051①A105+1又A1110511A1105111051105(1105)2〉〉1=cond(A)=AA1=（1+105）11011055該方程組是病態(tài)②用全主元消元法求解。1051x105=2x1111(110)52cond(A)=〉〉11105出現(xiàn)大數(shù)吃小數(shù)的現(xiàn)象，結(jié)果失真。1015③用105除第一個(gè)方程得：A=11124A2,A1，cond(A)=1011011155方程組是良態(tài)的。15．設(shè)n階對(duì)角矩陣Adiag(1,101,,101),試計(jì)算det(A)和cond(A)結(jié)果說(shuō)2明什么。解：det(A)10n1,cond(A)12行列式小并不能說(shuō)明矩陣是病態(tài)的。16.已知x（2.0，0.1）T是以下方程組的計(jì)算解，x*=（1.0，1.0）T是精確解，xx*3x3x6r求剩余r，cond(A)，1，1并分析此結(jié)果。124x5x9bx*1211解：（1）rbAx(6,9)3320(0.3,0.5)TT4510（2）A15/314/3154A13331A81cond(A)AA18324111（3）r0.3r0.8b1510.51r10.80.053b151（4）xx*2.00.11.01.01.00.9TTTxx*1.91x*21xx*11.90.95x*21由計(jì)算可知道，該方程組是病態(tài)的，相對(duì)剩余量為0.053，相對(duì)誤差為0.95。由于相對(duì)誤差很大，所以相對(duì)剩余量雖小，并不能反映近似解x的近似程度。2-171017．有線性方程組Ax=b，其中A=03,b1070451試對(duì)A作QR分解（不限方法），并利用A的QR分解求解此方程組。解:1002-17Q=0-0.6-0.8,R0-5-100-0.80.600-5解Qy=b,得y=[10-5-5]T解Rx=y得x=[1-11]T18.設(shè)ARnn非奇異，有擾動(dòng)A使AAA，若x是方程組Axb的解，xAxx是方程組Axb的解，，試證明：cond(A)xA證明：AxbAxb(AA)xb(AA)xAx0AxbAxAxAxA(xx)Ax(xx)A1(Ax)AA1AA1Acond(A)AAxxxAxxA1Ax1-0.5-0.52-10-0.5-0.510-12219．設(shè)方程組的系數(shù)矩陣分別為A-0.51,A-0.5-33-11考察求解此方程組的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收斂性。0-0.5-0.5-0.5-0.50解：(1)B-0.50,-0.5(B)1,Jacobi迭代不收斂。JJ0-0.5-0.5B00.25,-0.25(B)0.3536,Gauss-Seidel迭代收斂。GG00.1250.37500.50(2)B100.3333,(B)0.8165,Jacobi迭代收斂。JJ00.5000.50BG00.5,0.3333(B)0.6667,Gauss-Seidel迭代收斂。G00.250.16673x10x720．設(shè)方程組129x4x512①若用Jacobi迭代法和GaussSeidel迭代法求解方程組是否收斂？②若將方程組交換方程次序如何？解：310①A3001000DUL94040090用Jacobi迭代法：010/3B=D-1（L+U）=9/40Jdet(IB)10/315/229/4J15/21,2(B)15/21Jmax所以Jacobi迭代法發(fā)散。GaussSeidel迭代法：010/3B=（D-L）-1U=015/2G10/3det(IB)G(15/2)015/20,15/212(B)15/21Gmax所以GaussSeidel迭代法發(fā)散。②交換次序，則94900400ADUL3031001000用Jacobi迭代法：04/9B=D-1（L+U）=3/100J14/92/152det(IB)3/10J2/151,2(B)2/151Jmax所以Jacobi迭代法收斂。GaussSeidel迭代法：04/9B=（D-L）-1U=02/15G4/9det(IB)G(2/15)02/150,2/1512(B)2/151Gmax所以GaussSeidel迭代法收斂。20x2x3x2421.已知方程組x8xx121231232x3x15x30123若用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解，取初值x(0)(0,0,0)，需要T迭代多少次上述兩種方法的誤差小于106。解：1Bln()0-0.1-0.150x(1)x(0)lnBB-0.12500-0.125k11.3865J-0.13330.20Jacobi迭代至少需要迭代12次。1Bx(1)x(0)lnBln()0-0.1000-0.1500B00.0125-0.1063,k9.3629G00.0158-0.0013Gauss-Seidel迭代至少需要迭代10次。22.根據(jù)Gauss-Seidel迭代格式用松弛因子加速收斂的方法，同樣對(duì)Jacobi迭代法也用松弛因子加速，給出迭代計(jì)算的分量形式和矩陣表達(dá)式。解：(1)用Jacobi迭代法計(jì)算x(k1)(k1)a12x(k)a13x(k)a1nx(k)aaaa2nb1x131111a1111b(k1)21x(k)23x(k)a2nx(k)ax2aaaa13n222222222(k1)n1x(k)an2x(k)aabnxxnn1(k)n1naaaa12nnnnnnnn(2)引入松弛因子，i整理得分量形式x(k1)x(k1)(1)x(k),i1,2,...,niinx(k1)x(k)（bax(k)),i1,2,,naiiiijjj1ii矩陣形式x(k1)Bx(k)g迭代矩陣BD1(DA)右端向量gD1b23.已知A1a試分別導(dǎo)出求解Axb的Jacobi迭代法和GaussSeidel2a1迭代法收斂的充要條件。解：1a100a00L2a0ADU2a10100用Jacobi迭代法：B=D-1（L+U）=0a2a0Ja2a22det(IB)2aJ2a1,2(B)2a1時(shí)方程組收斂，條件是：2/2a2/2JmaxGaussSeidel迭代法：0aB=（D-L）-1U=02a2Gadet(IB)G(2a2)02a20,2a21(B)2a212Gmax時(shí)方程組收斂，條件是：2/2a2/224.設(shè)A為對(duì)稱正定陣，其特征值0，試證明：當(dāng)滿足12n02/時(shí)，迭代格式x(k1)x(k)(bAx(k))，（k0,1,2,）是收斂的？1證明：(k)x(k1)x(k)(bAx(k))x(k1)(IA)xb由于,,,是A的特征值，則IA的特征值為1,1,,112n12nmaxi當(dāng)(B)max11時(shí)收斂，此時(shí)則有：0202/11323已知A，b,用迭代公式x(k1)x(k)(Ax(k)b),(k0,1,...)25．121求解Axb。問(wèn)取什么實(shí)數(shù)可使迭代收斂，且為何值時(shí)，收斂最快。32解：(1)IA54(1)(4)212A的特征值為1,4,12迭代矩陣BIA的特征值為1,14,121111120,141114110,2當(dāng)10時(shí)，迭代格式收斂。2(2)114(1)14522,5當(dāng)2時(shí)，收斂最快。526.設(shè)ARnn是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，試證明用SOR方法求解Ax=b，取01時(shí)是收斂的。證明：SOR迭代法的迭代矩陣為B(DL)(U(1)D)1反證,設(shè)B有特征值1,由Bxx,方程組(IB)x0有非零解,于是有1det(IB)det[I(DL)(U(1)D)]0上式可改寫(xiě)為det(DL)1det((DL)U(1D))0已知A嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu),A的對(duì)角元非零,故det(DL)10，只有det((DL)U(1D))0det((1)DLU)0det(D11LU)0設(shè)abi,1,a2b21ab1abab222222a22a12a(1)(a2b2)(1)2a(1)(1)222(a2b2)a2b22a(1)(1)2(a1)2b22(a2b2)1(a1)2b2即11111又U)也嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu),U)0，與所設(shè)矛盾,由A嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)可推出(DL11是非奇異陣,應(yīng)有det(DL11故B的特征值1,即(B)1,所以SOR法當(dāng)01時(shí)是收斂的。320x4.527.設(shè)有方程組23-x15120-12x0.53（1）寫(xiě)出用SOR方法求解的分量計(jì)算式；optopt（2）求出最佳松弛因子2/(11(B))；并用計(jì)算兩步，取2Jx(0)(0,0,0)。Tx(k1)x