極坐標(biāo)與參數(shù)方程數(shù)學(xué)講義(完整版)資料

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極坐標(biāo)與參數(shù)方程數(shù)學(xué)講義（完整版）資料(可以直接使用，可編輯優(yōu)秀版資料，歡迎下載）極坐標(biāo)與參數(shù)方程一、考綱要求1.理解參數(shù)方程的概念，了解某些常用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義或物理意義，掌握參數(shù)方程與普通方程的互化方法.會根據(jù)所給出的參數(shù)，依據(jù)條件建立參數(shù)方程.二、知識結(jié)構(gòu)1.參數(shù)方程的概念在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)都是某個變數(shù)的函數(shù)并且對于的每一個允許值，由這個方程所確定的點都在這條曲線上，那么這個方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。常見的曲線的參數(shù)方程2.直線的參數(shù)方程(1)標(biāo)準(zhǔn)式過點Po(x0,y0)，傾斜角為α的直線的參數(shù)方程是(t為參數(shù)，其幾何意義是PM的數(shù)量)(2)一般式過定點P0(x0,y0)斜率k=tgα=的直線的參數(shù)方程是(t為參數(shù)，)②3.圓錐曲線的參數(shù)方程(1)圓圓心在(a,b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程是(φ是參數(shù))(2)橢圓橢圓(a＞b＞0)的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))橢圓(a＞b＞0)的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))(3)拋物線拋物線的參數(shù)方程為4.極坐標(biāo)極坐標(biāo)系在平面內(nèi)取一個定點O，從O引一條射線Ox，選定一個單位長度以及計算角度的正方向(通常取逆時針方向為正方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系，O點叫做極點，射線Ox叫做極軸.①極點；②極軸；③長度單位；④角度單位和它的正方向，構(gòu)成了極坐標(biāo)系的四要素，缺一不可.點的極坐標(biāo)設(shè)M點是平面內(nèi)任意一點，用ρ表示線段OM的長度，θ表示射線Ox到OM的角度，那么ρ叫做M點的極徑，θ叫做M點的極角，有序數(shù)對(ρ,θ)叫做M點的極坐標(biāo).注意：①點與點關(guān)于極點中心對稱；②點與點是同一個點；③如果規(guī)定，那么除極點外，平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(biāo)表示（即一一對應(yīng)的關(guān)系）；同時，極坐標(biāo)表示的點也是唯一確定的。④極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的不同是，直角坐標(biāo)系中，點與坐標(biāo)是一一對應(yīng)的，而極坐標(biāo)系中，點與坐標(biāo)是一多對應(yīng)的．即一個點的極坐標(biāo)是不惟一的．P(，)（極點除外）的全部坐標(biāo)為(,＋)或（，＋），(Z)．極點的極徑為0，而極角任意?。畧A的極坐標(biāo)方程①以極點為圓心，為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是；②以為圓心，為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是；③以為圓心，為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是；直線的極坐標(biāo)方程①過極點的直線的極坐標(biāo)方程是和.②過點，且垂直于極軸的直線l的極坐標(biāo)方程是.化為直角坐標(biāo)方程為.③過點且平行于極軸的直線l的極坐標(biāo)方程是.化為直角坐標(biāo)方程為.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(1)互化的前提條件①極坐標(biāo)系中的極點與直角坐標(biāo)系中的原點重合；②極軸與x軸的正半軸重合③兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.(2)互化公式θ的象限由點(x,y)所在的象限確定三、課前預(yù)習(xí)1．直線的參數(shù)方程是（）A、（t為參數(shù)）B、（t為參數(shù)）C、（t為參數(shù)）D、（t為參數(shù)）答案：C2．已知，下列所給出的不能表示點的坐標(biāo)的是()A、 B、 C、 D、答案：A3．在極坐標(biāo)系中，圓ρ=-2sinθ的圓心的極坐標(biāo)系是（）A、B、C、(1,0)D、(1，)解：將極坐標(biāo)方程化為普通方程得：，圓心的坐標(biāo)為，其極坐標(biāo)為，選B4．點，則它的極坐標(biāo)是 () A、 B、 C、 D、答案：C5．直角坐標(biāo)系xoy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建極坐標(biāo)系，設(shè)點A,B分別在曲線（為參數(shù)）和曲線上，則的最小值為()A、1B、2C、3D、4答案：A6．參數(shù)方程為表示的曲線是（）A、一條直線B、兩條直線C、一條射線D、兩條射線答案：D7．（）A、-6B、C、6D、答案：A8．極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程是()A、B、C、D、答案：A9．曲線與曲線的位置關(guān)系是（）A、相交過圓心B、相交C、相切D、相離答案：D10．曲線的參數(shù)方程為(t是參數(shù))，則曲線是（）A、線段B、雙曲線的一支C、圓D、射線答案：D11．在極坐標(biāo)系中，圓上的點到直線的距離的最小值是.答案：12．圓C：(θ為參數(shù))的圓心到直線：(t為參數(shù))的距離為。答案：13．已知兩曲線參數(shù)方程分別為和，它們的交點坐標(biāo)為___________．答案：．14．以直角坐標(biāo)系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，已知曲線、的極坐標(biāo)方程分別為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且），則曲線、、所圍成的封閉圖形的面積是.答案：四、典例分析考向一極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化相關(guān)知識點：極點與原點重合，極軸與x軸正半軸重合，長度單位相同.互化公式：或【例1】（1）點M的極坐標(biāo)分別是，，，換算成直角坐標(biāo)依次是，，，（2）點M的直角坐標(biāo)分別是，，，如果換算成極坐標(biāo)依次是，，，【例2】在極坐標(biāo)系中，過圓的圓心，且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程為．分析：由得．所以，圓心坐標(biāo)過圓心的直線的直角坐標(biāo)方程為．直線的極坐標(biāo)方程為?！咀兪?】在極坐標(biāo)系中，圓心在且過極點的圓的方程為（B）A、B、C、D、分析：圓心在即指的是直角坐標(biāo)系中的圓的直角坐標(biāo)方程：。圓的極坐標(biāo)方程為【變式2】已知曲線的極坐標(biāo)方程分別為（），則曲線與交點的極坐標(biāo)為_____.解:曲線的直角坐標(biāo)方程分別為,且，兩曲線交點的直角坐標(biāo)為（3，）.所以，交點的極坐標(biāo)為【變式3】在極坐標(biāo)系中，已知點（1，）和,則、兩點間的距離是．解:如圖所示,在△OAB中，評述:本題考查極坐標(biāo)及三角形面積公式，數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵。考向二曲線的參數(shù)方程，參數(shù)方程與普通方程的互化【例3】（1）曲線C:(為參數(shù))的普通方程為(C)A、 B、C、 D、（2）參數(shù)方程表示的曲線是（）A、橢圓

B、雙曲線C、拋物線

D、圓答案：B【變式1】已知拋物線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）若斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與圓相切，則=________。答案：解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，它的焦點坐標(biāo)是，所以直線的方程是，圓心到直線的距離為【變式2】若直線與圓（為參數(shù)）沒有公共點，則實數(shù)的取值范圍是.【變式3】直線被圓所截得的弦長為（）A、B、C、D、分析:，得圓心到直線的距離，弦長=【例4】已知點是圓上的動點，求的取值范圍。解：設(shè)圓的參數(shù)方程為，小結(jié)：①設(shè)動點的坐標(biāo)為參數(shù)方程形式；②將含參數(shù)的坐標(biāo)代人所求代數(shù)式或距離公式；③利用三角性質(zhì)及變換公式求解最值.【變式5】在平面直角坐標(biāo)系中，點是橢圓上的一個動點，求的最大值．解：因橢圓的參數(shù)方程為，故可設(shè)動點的坐標(biāo)為，其中.因此。所以,當(dāng)是，取最大值2。【題后反思】1.化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，并且要保證消參的等價性，常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式（三角的或代數(shù)的）消去法。2.化普通方程為參數(shù)方程的基本思路是引入?yún)?shù)，即選定合適的參數(shù)t，先確定一個關(guān)系x=f(t)（或y=(t)），再代入普通方程F（x，y）＝0，求得另一關(guān)系y=(t)（或x=f(t)）。一般地，常選擇的參數(shù)有角、有向線段的數(shù)量、斜率，某一點的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）。在建立曲線的參數(shù)方程時，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。3.在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使的取值范圍保持一致。【課后鞏固練習(xí)】1．橢圓（）A、(-3，5)，(-3，-3) B、(3，3)，(3，-5)C、(1，1)，(-7，1) D、(7，-1)，(-1，-1)解：化為普通方程得，∴a2=25,b2=9,得c2＝１６,c=4.∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)，∴在xOy坐標(biāo)系中，兩焦點坐標(biāo)是(3，3)和(3，-5).應(yīng)選B.2．參數(shù)方程()A.雙曲線的一支，這支過點(1，) B.拋物線的一部分，這部分過(1，)C.雙曲線的一支，這支過(-1，) D.拋物線的一部分，這部分過(-1，)解：由參數(shù)式得x2=1+sinθ=2y(x＞0).即y=x2(x＞0).∴應(yīng)選B.3．在方程(θ為參數(shù))所表示的曲線一個點的坐標(biāo)是()A、(2,-7) B、（，） C、(，) D、(1，0)解：y=cos2=1-2sin2=1-2x2，將x=代入，得y=?！鄳?yīng)選C.4．曲線的極坐標(biāo)方程ρ=４sinθ化成直角坐標(biāo)方程為()A、x2+(y+2)2=4B、x2+(y-2)2=4 C(x-2)2+y2=4D、(x+2)2+y2=4解：將ρ=，sinθ=代入ρ=4sinθ，得x2+y2=4y，即x2+(y-2)2=4.∴應(yīng)選B.5．已知圓的極坐標(biāo)方程ρ=2sin(θ+)，則圓心的極坐標(biāo)和半徑分別為()A、(1,),r=2B、(1,),r=1 C、(1,),r=1 D、(1,-),r=2答案：C6．在極坐標(biāo)系中，與圓ρ=4sinθ相切的一條直線的方程是()A、ρsinθ=2B、ρcosθ=2C、ρcosθ=-2D、ρcosθ=-4解：點P(ρ,θ)為l上任意一點，則有cosθ=，得ρcosθ=2，∴應(yīng)選B.7．表示的曲線是()A、圓B、橢圓 C、雙曲線的一支 D、拋物線解：4ρsin2=54ρ·把ρ=ρcosθ=x，代入上式，得2=2x-5.平方整理得y2=-5x+它表示拋物線.∴應(yīng)選D.8.極坐標(biāo)方程4sin2θ=3表示曲線是()A、兩條射線 B、兩條相交直線 C、圓D、拋物線解：由4sin2θ=3,得4·＝3,即y2=3x2，y=±,它表示兩相交直線.∴應(yīng)選B.9．直線：3x-4y-9=0與圓：的位置關(guān)系是()A、相切B、相離 C、直線過圓心D、相交但直線不過圓心答案：D10．在極坐標(biāo)系中，點到圓的圓心的距離為（）A、2B、C、D、解：分別化為直角坐標(biāo)進行計算，化為直角坐標(biāo)是，圓的直角坐標(biāo)方程是，圓心的坐標(biāo)是，故距離為。答案：D11．經(jīng)過點M(1，5)且傾斜角為的直線，以定點M到動點P的位移t為參數(shù)的參數(shù)方程是()A、B、 C、D、答案：A12．若直線((t為參數(shù))與圓x2+y2-4x+1=0相切，則直線的傾斜角為()A、B、 C、或D、或答案：C13．設(shè)的最小值是（C）A、B、C、－3D、14.若直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則過點(4，-1)且與平行的直線在y軸上的截距為.答案：-415．直線(t為參數(shù))的傾斜角為；直線上一點P(x，y)與點M(-1，2)的距離為.答案：135°，|3t|16．圓的圓心坐標(biāo)為，和圓C關(guān)于直線對稱的圓C′的普通方程是。答案：（3，－2）；（x＋2）2＋（y－3）2＝1617．在極坐標(biāo)系中，圓與直線的位置關(guān)系是.答案：相切18．在極坐標(biāo)系中，直線（）與圓交于、兩點，則．答案：819．在直角坐標(biāo)系中，直線l的方程為x-y+4=0，曲線C的參數(shù)方程為.（I）已知在極坐標(biāo)（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標(biāo)為（4，），判斷點P與直線l的位置關(guān)系；（II）設(shè)點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值.解：（１）把極坐標(biāo)下的點化為直角坐標(biāo)得：又點Ｐ的坐標(biāo)滿足直線方程，所以點Ｐ在直線上。因為點Ｑ在曲線Ｃ上，故可設(shè)點Ｑ的坐標(biāo)為，從而點Ｑ到直線的距離為，因此當(dāng)時，去到最小值，且最小值為。20．直角坐標(biāo)系中，以原點O為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點A，B分別在曲線：（為參數(shù)）和曲線：上，則的最小值為．【分析】利用化歸思想和數(shù)形結(jié)合法，把兩條曲線轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的方程．【解】曲線的方程是，曲線的方程是，兩圓外離，所以的最小值為．【答案】3極坐標(biāo)與參數(shù)方程高考題的幾種常見題型1、⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程分別為，．(I)把⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(II)求經(jīng)過⊙O1，⊙O2交點的直線的直角坐標(biāo)方程．解：(I)，，由得．所以．即為⊙O1的直角坐標(biāo)方程．同理為⊙O2的直角坐標(biāo)方程(II)解:由,兩式相減得－4x-4y=0,即過交點的直線的直角坐標(biāo)方程為y=－x．2、以直角坐標(biāo)系的原點為極點，軸非負(fù)半軸為極軸，在兩種坐標(biāo)系中取相同單位的長度.已知直線的方程為，曲線的參數(shù)方程為，點是曲線上的一動點.（Ⅰ）求線段的中點的軌跡方程；(Ⅱ)求曲線上的點到直線的距離的最小值.[解析]（Ⅰ）設(shè)中點的坐標(biāo)為，依據(jù)中點公式有（為參數(shù)），這是點軌跡的參數(shù)方程，消參得點的直角坐標(biāo)方程為.（5分）（Ⅱ）直線的普通方程為，曲線的普通方程為，表示以為圓心，以2為半徑的圓，故所求最小值為圓心到直線的距離減去半徑，設(shè)所求最小距離為d，則.因此曲線上的點到直線的距離的最小值為.3、在極坐標(biāo)系下，已知圓和直線。(1)求圓和直線的直角坐標(biāo)方程；當(dāng)時，求直線于圓公共點的極坐標(biāo)。解：（1）圓，即圓的直角坐標(biāo)方程為：，即直線，即則直線的直角坐標(biāo)方程為：，即。由得故直線與圓公共點的一個極坐標(biāo)為。4、在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為cos（）=1，M,N分別為C與x軸，y軸的交點。（1）寫出C的直角坐標(biāo)方程，并求M,N的極坐標(biāo)；（2）設(shè)MN的中點為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程。解：（Ⅰ）由C直角方程為（Ⅱ）M點的直角坐標(biāo)為（2，0）N點的直角坐標(biāo)為P點的直角坐標(biāo)為直線OP極坐標(biāo)方程為5、在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)為曲線上的動點，求點到上點的距離的最小值，并求此時點的坐標(biāo).[解析]（1）由曲線：

得兩式兩邊平方相加得：即曲線的普通方程為：

由曲線：得：所以

即曲線的直角坐標(biāo)方程為:(2)由（1）知橢圓與直線無公共點，橢圓上的點到直線的距離為

所以當(dāng)時，的最小值為，此時點的坐標(biāo)為6、在平面直角坐標(biāo)系中,以為極點,軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為,直線l的參數(shù)方程為:(為參數(shù))，兩曲線相交于,兩點.（Ⅰ）寫曲線直角坐標(biāo)方程和直線普通方程;（Ⅱ）若,求的值．[解析](Ⅰ)(曲線的直角坐標(biāo)方程為,直線的普通方程.（4分）(Ⅱ)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),代入,得到,,對應(yīng)的參數(shù)分別為,，則7、已知直線的參數(shù)方程為：，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）求曲線的參數(shù)方程；（Ⅱ）當(dāng)時，求直線與曲線交點的極坐標(biāo).[解析]（Ⅰ）由，可得所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，標(biāo)準(zhǔn)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程為（5分）（Ⅱ）當(dāng)時，直線的方程為，化成普通方程為，由，解得或，所以直線與曲線交點的極坐標(biāo)分別為，；,.8、已知在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為

（Ⅰ）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的取值范圍.[解析]（Ⅰ）直線的普通方程為，C直角坐標(biāo)方程為.（Ⅱ）設(shè)點，則，所以的取值范圍是.(10分）9、選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為參數(shù)）．以O(shè)為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（Ⅰ）求圓C的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）直線的極坐標(biāo)方程是，射線與圓C的交點為O、P，與直線的交點為Q，求線段PQ的長．10、（理）

已知曲線C的極坐標(biāo)方程是．以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程是(t是參數(shù))．

(I)將曲線C的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程分別化為直角坐標(biāo)方程和普通方程；(Ⅱ)若直線與曲線C相交于A，B兩點，且，試求實數(shù)m的值．11、在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）（Ⅰ）將的方程化為普通方程；（Ⅱ）以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程是，求曲線與交點的極坐標(biāo).[解析]（Ⅰ）依題意，的普通方程為，（Ⅱ）由題意，的普通方程為，代入圓的普通方程后得，解得，，點、的直角坐標(biāo)為，，從而，.

（7分）12、已知曲線(t為參數(shù))，(為參數(shù))（Ⅰ）化，的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線;（Ⅱ）過曲線的左頂點且傾斜角為的直線交曲絨于A，B兩點，求.[解析]

解（Ⅰ）曲線為圓心是，半徑是1的圓.曲線為中心是坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，長軸長是8，短軸長是6的橢圓.（4分）

（Ⅱ）曲線的左頂點為，則直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）將其代入曲線整理可得：，設(shè)對應(yīng)參數(shù)分別為，則所以.

（10分）13、在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點，直線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）判斷點與直線的位置關(guān)系，說明理由；(Ⅱ)設(shè)直線與直線的兩個交點為、，求的值.[解析]（Ⅰ）直線即，:，點在上.(Ⅱ)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線C的直角坐標(biāo)方程為，將直線的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，有，設(shè)兩根為，.（10分）14、在直角坐標(biāo)系中，以原點O為極點，以軸正半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線C參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）寫出曲線C的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）求曲線C上的點到直線的最大距離，并求出這個點的坐標(biāo).[解析]（Ⅰ）由得，則直線的普通方程為.由得曲線的普通方程為.

（5分）（Ⅱ）在

上任取一點，則點到直線的距離為

，當(dāng)，即時，，此時點.

（10分)15.、（河南省商丘市2021屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心，半徑r=．（I）求圓C的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線交圓C于A、B兩點，求弦長|AB|的取值范圍．解：（Ⅰ）直角坐標(biāo)，所以圓的直角坐標(biāo)方程為，……2分由得，圓C的直角坐標(biāo)方程為．……5分（Ⅱ）將，代入的直角坐標(biāo)方程，得，則，設(shè)Ａ，Ｂ對應(yīng)參數(shù)分別為，，則，，因為，所以所以，所以的取值范圍為16、（昆明第一中學(xué)2021屆高三第五次月考）以直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程為。（I）求直線l和圓C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若點P（x，y）在圓C上，求的取值范圍．17、（2021年高考（新課標(biāo)理））直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),是上的動點,點滿足=,點的軌跡為.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)在以為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線與的異于極點的交點為,與的異于極點的交點為,求.【解析】(Ⅰ)設(shè)(,),則由條件知(,),由于在上,∴,即,∴的參數(shù)方程為(為參數(shù));(Ⅱ)曲線的極坐標(biāo)方程為=,曲線的極坐標(biāo)方程為=,∴射線與的交點的極徑為=,射線與的交點的極徑為=,∴==.2021年6月第32卷第2期湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報JournalofNaturalScienceofHunanNormalUniversityVol.32No.2Jun.,2021基于結(jié)構(gòu)方程模型的客戶滿意度建模及參數(shù)估計方法3向堅持1,2,陳曉紅1(1.中南大學(xué)商學(xué)院,中國長沙410083;2.湖南師范大學(xué)計算機教學(xué)部,中國長沙410081摘要客戶滿意度是客戶關(guān)系管理研究的重要內(nèi)容之一.客戶滿意度模型和模型參數(shù)估計是客戶滿意度研究的重點和難點問題.從客戶關(guān)系管理視角結(jié)合結(jié)構(gòu)方程模型理論,提出了一種新的客戶滿意度結(jié)構(gòu)方程模型并進行了實證檢驗,并對模型常用參數(shù)估計方法進行了探討.關(guān)鍵詞客戶關(guān)系管理;客戶滿意度;結(jié)構(gòu)方程模型;參數(shù)估計中圖分類號F830文獻標(biāo)識碼A文章編號100022537(206ResearchonCustomerSatisfactionMolingPaemationMethodBasedonStructuonGJian1,2,21.CentralUniversity,Changsha410083,China;Education,HunanNormalUniversity,Changsha410081,ChinaAbstractCustomersatisfactionisoneoftheimportantfieldsofcustomerrelationshipmanagementresearch.Customersatisfactionmodelandthemodelparametersestimationaretwoimportantanddifficultproblemsforcus2tomersatisfactionstudy.Fromtheperspectiveofcustomerrelationshipmanagement,combinedwithstructuralequa2tionmodelingtheory,anewcustomersatisfactionstructuralequationmodelispresentedandtested,thencommonlyusedofparameterestimationmethodsformodelsisstudied.Keywordscustomerrelationshipmanagement;customersatisfaction;structuralequationmodel;parameterestimation著名管理大師彼德?德魯克(PeterDrucker說過:“企業(yè)經(jīng)營的真諦是獲得并留住顧客”.客戶是企業(yè)最重要的資源,客戶關(guān)系管理(CustomerRelationshipManagement,CRM已成為企業(yè)獲取競爭優(yōu)勢的法寶.客戶滿意度研究是客戶關(guān)系管理研究的重要內(nèi)容之一,提高客戶滿意度也是客戶關(guān)系管理的重要目標(biāo)之一.客戶滿意度研究興起于20世紀(jì)70年代,最早的文獻可追溯到1965年Cardozo發(fā)表的“顧客的投入、期望和滿意的實驗研究”[1].客戶滿意度理論被譽為20世紀(jì)90年代現(xiàn)代管理科學(xué)的最新發(fā)展之一,它抓住了管理科學(xué)以人為本的本質(zhì).很多企業(yè)需要定期進行客戶滿意度調(diào)研,并將其結(jié)果作為客戶關(guān)系管理和全面質(zhì)量管理的重要信息來源,以獲取市場競爭優(yōu)勢.客戶滿意度研究最重要的工作是建立科學(xué)的客戶滿意度模型,并對模型進行準(zhǔn)確地估計后,才能進一步研究模型中影響客戶滿意度各因素之間的關(guān)系,并準(zhǔn)確地計算出客戶滿意度指數(shù).其中模型的創(chuàng)建和模型的參數(shù)估計是研究的關(guān)鍵問題,但是,從文獻檢索情況來看,目前3收稿日期:2021202112基金項目:湖南省科技廳科研資助項目(2021FJ3055作者簡介:向堅持(19712,男,湖南桑植人,湖南師范大學(xué)副教授,中南大學(xué)商學(xué)院博士研究生,主要研究方向為管理信息系統(tǒng),客戶關(guān)系管理,WEB挖掘等.國內(nèi)外學(xué)者從客戶關(guān)系視角研究創(chuàng)建客戶滿意度模型并對模型參數(shù)估計方法適用性的研究還很少.因此,本文試圖在現(xiàn)有客戶滿意度模型及參數(shù)估計方法的基礎(chǔ)上,從客戶關(guān)系管理視角,結(jié)合結(jié)構(gòu)方程理論和企業(yè)客戶關(guān)系管理實際應(yīng)用情況,提出一種新的客戶滿意度結(jié)構(gòu)方程模型,并對常用軟件中提供的各種參數(shù)估計方法進行探討,以便在今后滿意度測評中,針對不同的客戶滿意度模型和實際調(diào)研數(shù)據(jù)情況,選擇合適的參數(shù)估計方法.1結(jié)構(gòu)方程模型1.1結(jié)構(gòu)方程模型結(jié)構(gòu)方程模型(StructuralEquationModel,SEM是一種建立、估計和檢驗因果關(guān)系模型的多元統(tǒng)計分析技術(shù),整合了因子分析、路徑分析和多重線性回歸分析等方法[2].結(jié)構(gòu)方程模型可分為結(jié)構(gòu)模型(StructuralModel和測量模型(MeasurementModel2部分.結(jié)構(gòu)模型反映潛變量(LatentVariable之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系,測量模型描述潛變量與顯變量(ManifestVariable,觀測變量之間的關(guān)系.顯變量(觀測變量含有隨機誤差和系統(tǒng)誤差,前者指測量上的不準(zhǔn)確性行為,后者反映指標(biāo)同時測量潛變量以外的特性,隨機誤差和系統(tǒng)誤差統(tǒng)稱為測量誤差,但潛變量不含這些誤差.(1結(jié)構(gòu)模型對于潛變量之間的關(guān)系,可寫成如下結(jié)構(gòu)方程:η=Bη+Γξ+ζ,(1其中,η是內(nèi)生潛變量(,ξ是外生潛變量(ExogenousObservable,,;B為內(nèi)生潛變量系數(shù)矩陣,描述了內(nèi)生潛變量η;,描述了外生潛變量ξ對內(nèi)生潛變量η的影響;ζ為結(jié)構(gòu)方程的殘差項,反映了.(2測量模型對于指標(biāo)與潛變量之間的關(guān)系,通常寫成如下測量方程:X=Λxξ+δ,Y=Λyη+ε.其中X是外生潛變量ξ的觀測變量;Λx為觀測變量X與外生潛變量ξ之間的關(guān)系矩陣,由X在ξ上的因子載荷矩陣構(gòu)成;δ是X的測量誤差;Y是內(nèi)生潛變量η的觀測變量;Λy為觀測變量Y與內(nèi)生潛變量η之間的關(guān)系矩陣,由Y在η上的因子載荷矩陣構(gòu)成;ε是Y的測量誤差.1.2結(jié)構(gòu)方程模型的構(gòu)建結(jié)構(gòu)方程模型的建立過程一般有5個主要步驟,即模型設(shè)定(ModelSpecification、模型識別(ModelI2dentification、模型參數(shù)估計(ModelParameterEstimation、模型評價(AssessmentofModelFit和模型修正(ModelModification[3].①模型設(shè)定.根據(jù)已有的理論知識、經(jīng)驗和研究主題,構(gòu)建理論模型.首先是潛變量的確定和可測變量的選擇,然后分別構(gòu)建結(jié)構(gòu)模型和測量模型,包括明確各潛變量與潛變量之間的關(guān)系,各個潛變量與可測變量之間的作用方向等.②模型識別.模型識別是判定模型中每一個待估計的參數(shù)是否能由觀測數(shù)據(jù)求出唯一的估計值.如果方程中的自由參數(shù)有一個不能由觀測數(shù)據(jù)估計得到,則方程不可識別,否則,模型可以識別.結(jié)構(gòu)方程模型常用的識別法則有t規(guī)則、兩步規(guī)則和MIMIC規(guī)則等.③模型參數(shù)估計.模型參數(shù)估計通過對樣本統(tǒng)計量的計算得到總體待估參數(shù)的估計值.模型參數(shù)估計有多種方法,常用的有極大似然法、非加權(quán)最小二乘法、廣義最小二乘法、主成分回歸分析法、偏最小二乘法等.④模型評價.考察模型是否能充分地對觀測數(shù)據(jù)進行解釋,評價模型是否是一個理想的模型相當(dāng)復(fù)雜,整個過程需要進行多種檢驗.既需要對模型中的參數(shù)進行檢驗,又需要對測量方程和結(jié)構(gòu)方程進行檢驗,還需要考慮整個模型的擬合程度(ModelFit.⑤模型修正.如果模型效果不理想,就需要對模型進行修正,模型修正后,再對修正的模型進行檢驗,根據(jù)檢驗結(jié)果判斷是否還需要進一步調(diào)整模型.模型修正包括提出先驗?zāi)Ｐ?建立測量方程模型,并對模型檢查標(biāo)準(zhǔn)誤差、標(biāo)準(zhǔn)化殘差、修正指數(shù)、參數(shù)期望改變值、χ2及各種擬合指數(shù)等.本文擬在結(jié)構(gòu)方程模型理論基礎(chǔ)上,重點對客戶滿意度的理論模型構(gòu)建和模型參數(shù)估計方法進行深入探討.23湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報第32卷2客戶滿意度結(jié)構(gòu)方程模型學(xué)者對客戶滿意度進行了廣泛研究,提出了不同的客戶滿意度模型.OliverRichard(1980提出的“期望-不一致(Expectation2Disconfirmation”模型[4],該模型認(rèn)為,客戶在消費過程中或結(jié)束后,會根據(jù)自身的期望,以及所感知到的產(chǎn)品或服務(wù)的實際表現(xiàn)與期望的不一致情況進行評價.如果產(chǎn)品或服務(wù)的實際表現(xiàn)超過期望,客戶就會滿意,反之客戶就會不滿意.Churchill(1982等人[5]在此基礎(chǔ)上進一步提出,客戶的感知表現(xiàn)也將直接影響客戶滿意度.OliverRichard(1993[6]在此前研究基礎(chǔ)上進一步將客戶的情感因素納入到客戶滿意度模型,提出了“聯(lián)合認(rèn)知和增補情感的客戶滿意/不一致(CombinedCognitiveandAffect2AugmentedCS/DModel”模型.在對客戶滿意度理論模型定性研究的基礎(chǔ)上,學(xué)者開始對客戶滿意度模型進行定量研究,其主要研究影響客戶滿意度的因素,即通過構(gòu)建客戶滿意度模型,選擇合適的定量方法,生成客戶滿意度指數(shù)(CustomerSatisfactionIndex,CSI.1989年,瑞典建立了世界上第1個客戶滿意度模型:瑞典客戶滿意度指數(shù)模型(SCSB.該模型將客戶期望、質(zhì)量感知、客戶滿意度、客戶抱怨和客戶忠誠5模型[7].之后,美國、德國、加拿大、日本、.美國客戶滿意度指數(shù)模型(ACSI研究中心和美國質(zhì)量協(xié)會共同研究并于1994[8].14個觀測變量(顯變量組成,6個潛變量分別為:、、客戶抱怨和客戶忠誠.14個觀測變量如下:3個觀測變量測量;3個觀測變量測量;價值感知由給定價格下對質(zhì)量2個觀測變量測量;客戶滿意度有3個觀測變量:總體滿意度、對預(yù)期的滿足和與理想的差距;客戶抱怨由客戶投訴或客戶抱怨測量;客戶忠誠包含2個觀測變量即對價格的承受能力和再購買意愿.ACSI模型各組成變量之間的聯(lián)系呈現(xiàn)因果關(guān)系,不僅可以總結(jié)客戶對以往消費經(jīng)歷的滿意程度,還可以通過評價客戶的購買態(tài)度,預(yù)測企業(yè)長期的經(jīng)營業(yè)績.圖1美國客戶滿意度指數(shù)模型根據(jù)客戶滿意度測評的基本原理和客戶關(guān)系管理基本理論,結(jié)合國內(nèi)外客戶滿意度指數(shù)模型,本文提出了如圖2所示的客戶滿意度結(jié)構(gòu)方程模型.本模型由6個潛變量和18個觀測變量構(gòu)成.6個潛變量即客戶期望、客戶感知、客戶細(xì)分、客戶滿意度、客戶忠誠和客戶流失.客戶細(xì)分為外生潛變量,客戶價值可分為高價值客戶、中價值客戶、低價值客戶和負(fù)價值客戶4個觀測變量;客戶期望、客戶感知、客戶滿意度、客戶忠誠和客戶流失均為內(nèi)生潛變量.減低客戶期望,提高客戶感知可以有效提高客戶滿意度.影響客戶期望的因素除了客戶細(xì)分結(jié)果外,還有客戶經(jīng)驗、競爭者水平、口碑效應(yīng)和突發(fā)事件影響,將這4個因素作為潛變量“客戶期望”的觀測變量;客戶感知包括客戶感知利得和客戶感知成本2個觀測變量,當(dāng)客戶感知利得大于客戶感知成本時,會提高客戶滿意度;客戶滿意度包括3個觀測變量即單項滿意度、總體滿意度和理想的差距;客戶流失由客戶挽回率和客戶流失率2個觀測變量測量;客戶忠誠包括重復(fù)購買、價格承受能力和口碑推薦3個觀測變量.33第2期向堅持等:基于結(jié)構(gòu)方程模型的客戶滿意度建模及參數(shù)估計方法圖2客戶滿意度結(jié)構(gòu)方程模型本模型引入客戶細(xì)分潛變量,大量的實踐表明不同類型的客戶對客戶期望有著顯著的區(qū)別,不同類型的客戶對客戶感知同樣有著顯著的差異,客戶細(xì)分的結(jié)果對客戶感知、客戶期望和客戶滿意度有著直接的影響.客戶滿意度直接影響客戶忠誠和客戶流失,高滿意度的客戶更有可能成為忠誠的客戶,不滿意的客戶更有可能導(dǎo)致客戶抱怨或者客戶投訴,導(dǎo)致客戶流失.忠誠的客戶具有更高的價格忍耐力和客戶保持,有效降低客戶流失.3客戶滿意度模型參數(shù)估計方法3.1結(jié)構(gòu)方程模型的參數(shù)估計3:,.,為保證模型是可識別的,通常盡量減少自由參數(shù),,過程設(shè)定固定參數(shù)以減少自由參數(shù)的個數(shù).限制參數(shù)是未知的,,以減少自由參數(shù)的個數(shù),使模型可以識別.結(jié)構(gòu)方程模型的參數(shù)估計過程與傳統(tǒng)統(tǒng)計方法有所不同.傳統(tǒng)統(tǒng)計方法進行參數(shù)估計時,是以實際觀測值與模型估計值之間的差值最小化為目標(biāo);結(jié)構(gòu)方程模型參數(shù)估計是從∑=∑(θ出發(fā),∑是觀測變量之間的總體協(xié)方差矩陣,∑(θ是假設(shè)含有參數(shù)θ的協(xié)方差矩陣.被觀測的協(xié)方差(即樣本協(xié)方差減去被預(yù)測的協(xié)方差,得到殘差,參數(shù)估計過程就是使用特殊的擬合函數(shù)使該殘差很小.以樣本協(xié)方差S代替總體協(xié)方差∑,使由假設(shè)模型得到的協(xié)方差矩陣∑(θ與S盡可能接近,其接近程度可以用擬合函數(shù)F(S,∑(θ表示.選擇不同的參數(shù)估計方法,其使用的擬合函數(shù)不同,得到的結(jié)果也可能不一樣.3.2結(jié)構(gòu)方程模型常用的參數(shù)估計方法結(jié)構(gòu)方程模型的參數(shù)估計方法很多,在實際應(yīng)用中可以借助一些軟件來實現(xiàn),目前流行的結(jié)構(gòu)方程軟件有AMOS、LISREL等.AMOS提供的參數(shù)估計方法有最大似然估計法(MaximumLikelihood,ML、非加權(quán)最小二乘法(UnweightedLeastSquares,ULS、廣義最小二乘法(GeneralizedLeastSquares,GLS、漸進自由分布(AsymptoticallyDistribution2Free,ADF標(biāo)準(zhǔn)法和自由尺度最小二乘法(Scale2FreeLeastSquares,SFLS.LISREL提供了最大似然估計法(ML、非加權(quán)最小二乘法(ULS、廣義最小二乘法(GLS、廣義加權(quán)最小二乘法(WeightedLeastSquares,WLS和對角加權(quán)最小二乘法(DiagonallyWeightedLeastSquares,DWLS.在實際應(yīng)用中,很多人選擇如AMOS軟件默認(rèn)的最大似然估計法(ML進行參數(shù)估計,對于不同方法的優(yōu)劣缺乏研究.本文對AMOS和LISREL軟件中最常用的3種方法:最大似然估計法(ML、非加權(quán)最小二乘法(ULS和廣義最小二乘法(GLS進行探討,研究不同估計方法優(yōu)缺點和適用性,以得到使擬合函數(shù)值最優(yōu)的參數(shù)估計,提高模型的擬合度.(1最大似然估計法(ML最大似然估計法的擬合函數(shù)為:FML=log|∑(θ|+tr[S∑-1(θ]-log|S|-(p+q,(2其中,tr[S∑-1(θ]是矩陣[S∑-1(θ]的對角線元素之和;log|∑(θ|是矩陣∑(θ的行列式的對43湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報第32卷數(shù);log|S|是矩陣S的行列式的對數(shù);p、q分別是內(nèi)生和外生觀測變量的個數(shù).矩陣∑(θ和S越接近,則log|∑(θ|和log|S|越接近,tr[S∑-1(θ]則越接近tr[I],即越接近p+q,從而使FML逼近最小.采用最大似然估計法要求觀測變量為連續(xù)變量且服從正態(tài)分布,偏態(tài)分布會導(dǎo)致參數(shù)估計效果很差以及錯誤的標(biāo)準(zhǔn)誤差和偏高的值.要使矩陣∑(θ和S更接近,需要大樣本且∑(θ存在逆矩陣,如果∑(θ不存在則無法求解.(2非加權(quán)最小二乘法(ULS非加權(quán)最小二乘估計法的擬合函數(shù)為:FULS=2tr[(S-∑(θ2],(3其中,S-∑(θ為殘差矩陣.使FULS達到最小的估計稱為非加權(quán)最小二乘估計.要使FULS達到最小,必須使(S-∑(θ2最小,也就是使矩陣∑(θ中的每一個元素與矩陣S中對應(yīng)的元素差距最小.非加權(quán)最小二乘估計對觀測變量的分布不作限定,不要求觀測變量總體服從正態(tài)分布因而一般情況下得不到參數(shù)估計的標(biāo)準(zhǔn)誤差,無法進行參數(shù)的顯著性檢驗.ULS,并非總體真值的漸近有效估計,有的軟件給出ULS估計的誤差,.(3廣義最小二乘法(GLSFGLS2]-1}2(4FG2[I-∑(θS-1]2,(5其中,S-∑(θ為殘差矩陣,W是一個加權(quán)矩陣,是一個正定矩陣或依概率收斂于正定矩陣的隨機矩陣.使FGLS達到最小的估計稱為廣義最小二乘估計.實際應(yīng)用中通常取W-1=S-1(S-1為樣本協(xié)方差矩陣,使廣義最小二乘估計法的擬合函數(shù)變?yōu)槿缡?5所示,即FGLS以S-1為加權(quán)矩陣.廣義最小二乘法的觀測變量服從多元正態(tài)分布,具有量綱不變性.在大樣本下,GLS估計是一致估計,且漸近有效,當(dāng)加權(quán)矩陣W=I,ML估計成為GLS估計的特例,FGLS與FML很接近,估計的結(jié)果也很接近.3種參數(shù)估計方法都是通過構(gòu)造一個模型估計協(xié)方差與樣本協(xié)方差的擬合函數(shù),然后采用迭代方法得到使擬合函數(shù)值最優(yōu)的參數(shù)估計.3種方法的估計都具有一致性,但不同的方法適用于不同的情況.當(dāng)多元正態(tài)性假設(shè)不成立或變量分布具有偏度時,ML和GLS方法的估計是近似有效的.可以采用2種處理方法,一是首先對觀測變量的抽樣數(shù)據(jù)進行變換,使其近似于正態(tài)分布,然后用ML和GLS方法處理;二是采用有偏參數(shù)估計方法,如ULS方法,但需要大樣本以得到一致估計.也可采用偏最小二乘法(PartialLeast2SquaresMethod,PLS處理.偏最小二乘法(PLS也是一種流行的結(jié)構(gòu)方程模型參數(shù)估計方法,具有收斂速度快,可以處理非線性關(guān)系、非正態(tài)分布、小樣本指標(biāo)[9],是將主成分分析與多元回歸相結(jié)合進行迭代估計的一種多元數(shù)據(jù)分析方法.4應(yīng)用案例本文以某小型零售企業(yè)為實證對象,通過在該企業(yè)網(wǎng)站上發(fā)放客戶滿意度調(diào)查問卷表采集數(shù)據(jù).共收集問卷248份,通過有效性篩選,確定樣本數(shù)據(jù)231份.采用AMOS7進行模型設(shè)定、模型估計和模型評價,建立了圖3所示的模型路徑圖.從信度檢驗來看,各潛變量Cronbachα系數(shù)的值均大于0.7,模型的整體Cronbachα系數(shù)的值為0.926,說明模型中各結(jié)構(gòu)變量的觀測變量具有很好的一致性,模型具