2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案

2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(B卷)一試一、填空題（每小題8分，共64分，）函數(shù)的值域是.已知函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.雙曲線的右半支與直線圍成的區(qū)域內(nèi)部（不含邊界）整點(diǎn)（縱橫坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)是.已知是公差不為的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，其中，且存在常數(shù)使得對(duì)每一個(gè)正整數(shù)都有，則.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為8，則它在這個(gè)區(qū)間上的最小值是.兩人輪流投擲骰子，每人每次投擲兩顆，第一個(gè)使兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于6者為勝，否則輪由另一人投擲.先投擲人的獲勝概率是.正三棱柱的9條棱長(zhǎng)都相等，是的中點(diǎn)，二面角,則.方程滿足的正整數(shù)解（x,y,z）的個(gè)數(shù)是.二、解答題（本題滿分56分）9.（16分）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，試求的最大值.10.（20分）已知拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中且.線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求面積的最大值.11.（20分）證明：方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，且存在唯一的嚴(yán)格遞增正整數(shù)數(shù)列，使得.解答1.提示：易知的定義域是，且在上是增函數(shù)，從而可知的值域?yàn)?2.提示：令，則原函數(shù)化為，即.由，，及知即.（1）當(dāng)時(shí)（1）總成立；對(duì)；對(duì).從而可知.3.9800提示：由對(duì)稱性知，只要先考慮軸上方的情況，設(shè)與雙曲線右半支于,交直線于，則線段內(nèi)部的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，從而在軸上方區(qū)域內(nèi)部整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.又軸上有98個(gè)整點(diǎn)，所以所求整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.4.提示：設(shè)的公差為的公比為，則（1），（2）（1）代入（2）得，求得.從而有對(duì)一切正整數(shù)都成立，即對(duì)一切正整數(shù)都成立.從而，求得，.5.提示：令則原函數(shù)化為,在上是遞增的.當(dāng)時(shí)，,，所以；當(dāng)時(shí)，，，所以.綜上在上的最小值為.6.提示：同時(shí)投擲兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于6的概率為，從而先投擲人的獲勝概率為.7.提示：解法一：如圖，以所在直線為軸，線段中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2，則，從而，.設(shè)分別與平面、平面垂直的向量是、，則由此可設(shè)，所以，即.所以.解法二：如圖，.設(shè)與交于點(diǎn)則.從而平面.過在平面上作,垂足為.連結(jié),則為二面角的平面角.設(shè),則易求得.在直角中，,即.又..8.336675提示：首先易知的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為.把滿足的正整數(shù)解分為三類：（1）均相等的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)顯然為1；（2）中有且僅有2個(gè)相等的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，易知為1003；(3)設(shè)兩兩均不相等的正整數(shù)解為.易知，所以，即.從而滿足的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為.9.解法一：由得.所以，所以.又易知當(dāng)（為常數(shù)）滿足題設(shè)條件，所以最大值為.解法二：.設(shè)，則當(dāng)時(shí)，..定點(diǎn)到線段的距離..當(dāng)且僅當(dāng)，即,或時(shí)等號(hào)成立.所以，面積的最大值為.11.令，則，所以是嚴(yán)格遞增的.又，故有唯一實(shí)數(shù)根.所以，.故數(shù)列是滿足題設(shè)要求的數(shù)列.若存在兩個(gè)不同的正整數(shù)數(shù)列和滿足，去掉上面等式兩邊相同的項(xiàng)，有，這里，所有的與都是不同的.不妨設(shè)，則，，矛盾.故滿足題設(shè)的數(shù)列是唯一的.加試1.（40分）如圖，銳角三角形ABC的外心為O，K是邊BC上一點(diǎn)（不是邊BC的中點(diǎn)），D是線段AK延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，直線BD與AC交于點(diǎn)N，直線CD與AB交于點(diǎn)M．求證：若OK⊥MN，則A，B，D，C四點(diǎn)共圓．2.（40分）設(shè)k是給定的正整數(shù)，．記，．證明：存在正整數(shù)m，使得為一個(gè)整數(shù)．這里，表示不小于實(shí)數(shù)x的最小整數(shù)，例如：，．3.（50分）給定整數(shù)，設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，記．求證：．4.（50分）一種密碼鎖的密碼設(shè)置是在正n邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處賦值0和1兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)，同時(shí)在每個(gè)頂點(diǎn)處涂染紅、藍(lán)兩種顏色之一，使得任意相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)字或顏色中至少有一個(gè)相同．問：該種密碼鎖共有多少種不同的密碼設(shè)置？解答1.用反證法．若A，B，D，C不四點(diǎn)共圓，設(shè)三角形ABC的外接圓與AD交于點(diǎn)E，連接BE并延長(zhǎng)交直線AN于點(diǎn)Q，連接CE并延長(zhǎng)交直線AM于點(diǎn)P，連接PQ．因?yàn)镻的冪（關(guān)于⊙O）K的冪（關(guān)于⊙O），同理，所以，故⊥．由題設(shè)，OK⊥MN，所以PQ∥MN，于是．①由梅內(nèi)勞斯（Menelaus）定理，得，②．③由①，②，③可得，所以，故△DMN∽△DCB，于是，所以BC∥MN，故OK⊥BC，即K為BC的中點(diǎn)，矛盾！從而四點(diǎn)共圓.注1：“P的冪（關(guān)于⊙O）K的冪（關(guān)于⊙O）”的證明：延長(zhǎng)PK至點(diǎn)F，使得，④則P，E，F(xiàn)，A四點(diǎn)共圓，故，從而E，C，F(xiàn)，K四點(diǎn)共圓，于是，⑤⑤-④，得P的冪（關(guān)于⊙O）K的冪（關(guān)于⊙O）．注2：若點(diǎn)E在線段AD的延長(zhǎng)線上，完全類似．2.記表示正整數(shù)n所含的2的冪次．則當(dāng)時(shí)，為整數(shù)．下面我們對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法．當(dāng)時(shí)，k為奇數(shù)，為偶數(shù)，此時(shí)為整數(shù)．假設(shè)命題對(duì)成立．對(duì)于，設(shè)k的二進(jìn)制表示具有形式，這里，或者1，．于是，①這里.顯然中所含的2的冪次為．故由歸納假設(shè)知，經(jīng)過f的v次迭代得到整數(shù)，由①知，是一個(gè)整數(shù)，這就完成了歸納證明．3.由知，對(duì)，有．注意到當(dāng)時(shí)，有，于是對(duì)，有，故．4.對(duì)于該種密碼鎖的一種密碼設(shè)置，如果相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)上所賦值的數(shù)字不同，在它們所在的邊上標(biāo)上a，如果顏色不同，則標(biāo)上b，如果數(shù)字和顏色都相同，則標(biāo)上c．于是對(duì)于給定的點(diǎn)上的設(shè)置（共有4種），按照邊上的字母可以依次確定點(diǎn)上的設(shè)置．為了使得最終回到時(shí)的設(shè)置與初始時(shí)相同，標(biāo)有a和b的邊都是偶數(shù)條．所以這種密碼鎖的所有不同的密碼設(shè)置方法數(shù)等于在邊上標(biāo)記a，b，c，使得標(biāo)有a和b的邊都是偶數(shù)條的方法數(shù)的4倍．設(shè)標(biāo)有a的邊有條，，標(biāo)有b的邊有條，．選取條邊標(biāo)記a的有種方法，在余下的邊中取出條邊標(biāo)記b的有種方法，其余的邊標(biāo)記c．由乘法原理，此時(shí)共有種標(biāo)記方法．對(duì)i，j求和，密碼鎖的所有不同的密碼設(shè)置方法數(shù)為．①這里