抽樣分布和參數(shù)估計

抽樣分布和參數(shù)估計第一頁，共三十三頁，2022年，8月28日一、隨機抽樣每一個體被抽中的概率相同；最理想、最科學(xué)的抽樣方法；能保證樣本數(shù)據(jù)對總體的代表性；能有效控制抽樣誤差，將其限制在一定范圍內(nèi)。第一節(jié)抽樣分布概述第二頁，共三十三頁，2022年，8月28日第一節(jié)抽樣分布概述⑵抽樣分布是理論的概率分布，是統(tǒng)計推斷的理論依據(jù)。二、抽樣分布2.1定義總體分布：總體內(nèi)個體數(shù)值的頻數(shù)分布；樣本分布：樣本內(nèi)個體數(shù)值的頻數(shù)分布；抽樣分布：某一種統(tǒng)計量的概率分布。⑴抽樣分布是從同一總體內(nèi)抽取的不同樣本的統(tǒng)計量的概率分布。特點第三頁，共三十三頁，2022年，8月28日總體第四頁，共三十三頁，2022年，8月28日⑵從總體中隨機抽出容量為n的一切可能樣本的平均數(shù)之平均數(shù)等于總體平均數(shù)。⑴從正態(tài)總體中，隨機抽取的容量為n的一切可能樣本平均數(shù)的分布也呈正態(tài)分布。2.2樣本平均數(shù)的分布的特點第一節(jié)抽樣分布概述第五頁，共三十三頁，2022年，8月28日⑶容量為n的平均數(shù)在抽樣分布上的標(biāo)準(zhǔn)差（稱為標(biāo)準(zhǔn)誤SE），等于總體標(biāo)準(zhǔn)差除以n的方根：(公式6-5)隨著樣本容量的增大，樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差（標(biāo)準(zhǔn)誤）越小。第六頁，共三十三頁，2022年，8月28日4.雖然總體不是正態(tài)分布，如果樣本容量較大，反映總體μ和σ的樣本平均數(shù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，也接近正態(tài)分布。總體分布總體與樣本平均數(shù)分布的比較容量為100樣本平均數(shù)分布第七頁，共三十三頁，2022年，8月28日（5）樣本平均數(shù)的分布也可轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。第八頁，共三十三頁，2022年，8月28日例從一個均值=8，=0.6的總體中隨機選取容量為ｎ＝25的樣本。假定該總體不是很偏，求：(1)樣本均值小于7.9的近似概率;(2)樣本均值超過7.9的近似概率;(3)樣本均值在總體均值=8附近0.1范圍內(nèi)的概率.第九頁，共三十三頁，2022年，8月28日(1)(2)(3)第十頁，共三十三頁，2022年，8月28日一、定義參數(shù)估計：通過樣本統(tǒng)計量按統(tǒng)計學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，對所在總體參數(shù)特征進行估計，通過局部推論總體的情況?？傮w樣本隨機原則總體參數(shù)μ

σ

ρ

β統(tǒng)計量srb參數(shù)估計假設(shè)檢驗第二節(jié)參數(shù)估計概述總體參數(shù)的估計分為點估計和區(qū)間估計。第十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日二、點估計（1）用來對總體參數(shù)進行估計的樣本統(tǒng)計量叫做總體參數(shù)的估計量；將估計量在一個樣本中的取值直接作為總體參數(shù)的估計值，叫作點估計。（樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)的估計量；=60是的一個估計值）（2）對點估計優(yōu)劣進行評價時，主要看估計量的選擇是否最優(yōu)

第二節(jié)參數(shù)估計概述第十二頁，共三十三頁，2022年，8月28日

無偏性

如果一切可能個樣本統(tǒng)計量的值與總體參數(shù)值偏差的平均值為0，這種統(tǒng)計量就是總體參數(shù)的無偏估計量。例如：樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)的無偏估計量，樣本方差不是的無偏估計量；而

才是的無偏估計量有效性

當(dāng)總體參數(shù)不止有一種無偏估計量時，某一種估計量的一切可能樣本值的方差小者為有效性高，方差大者為有效性低。第十三頁，共三十三頁，2022年，8月28日一致性當(dāng)樣本容量無限增大時，估計量的值能越來越接近它所估計的總體參數(shù)值，這種估計是總體參數(shù)一致性估計量。充分性一個容量為n的樣本統(tǒng)計量,應(yīng)能充分地反映全部n個數(shù)據(jù)所反映的總體的信息。第十四頁，共三十三頁，2022年，8月28日（3）點估計的誤差估計值與參數(shù)的差叫誤差。當(dāng)不考慮其它因素的情況下，這個誤差僅由抽樣所造成，因而稱作抽樣誤差。無偏估計值抽樣誤差的平均值雖然為零，但任意一次點估計的抽樣誤差等于零的概率極小，因此有必要規(guī)定任意一次點估計時抽樣誤差的最大允許范圍。（所謂最大范圍一般指95%或99%次的抽樣誤差都不超出這個范圍）。

第十五頁，共三十三頁，2022年，8月28日例如，由樣本平均值估計總體平均值時，-稱作抽樣誤差，1.96或2.58即抽樣誤差的最大范圍。即：用作為的估計值時，抽樣誤差不超過1.96。

（同時要注意的是，這個結(jié)論有95%的把握，仍有5%犯錯誤的可能性）第十六頁，共三十三頁，2022年，8月28日三、區(qū)間估計

區(qū)間估計就是用一個區(qū)間去估計未知參數(shù)，它不具體指出總體參數(shù)等于什么，但能指出總體的未知參數(shù)落入某一區(qū)間的概率有多大。第十七頁，共三十三頁，2022年，8月28日區(qū)間估計的基本原理（以總體均值的估計為例）：﹡總體正態(tài)分布→樣本平均數(shù)抽樣分布也是正態(tài)分布→把樣本平均數(shù)的抽樣分布轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布﹡從總體中隨機抽取一個樣本，落入?yún)^(qū)間（，）的概率為１-α；第十八頁，共三十三頁，2022年，8月28日﹡一旦落入該區(qū)間，則以為中心的區(qū)間一定把總體均值包含進來；﹡因此，隨機抽取一個樣本，區(qū)間會以１-α的概率將總體均值包含在內(nèi)。其中：

α為犯錯誤的概率，１-α為置信水平，該區(qū)間稱作置信水平為１-α的置信區(qū)間第十九頁，共三十三頁，2022年，8月28日一、總體均值的區(qū)間估計

﹡1.1總體正態(tài)分布、總體方差已知

X服從正態(tài)分布，X～N(,2)總體均值的置信區(qū)間第三節(jié)總體平均數(shù)參數(shù)估計第二十頁，共三十三頁，2022年，8月28日例：某地區(qū)10歲全體女童身高歷年來標(biāo)準(zhǔn)差為6.25厘米，現(xiàn)從該地區(qū)隨機抽27名10歲女童，測得平均身高為134.2厘米，試估計該地區(qū)10歲全體女童平均身高的95％和99％置信區(qū)間。99％95％1.96σ2.58σ-1.96σ-2.58σ第二十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日99％95％1.96σ2.58σ-1.96σ-2.58σ解：⑴已知：σ為6.25cm，N為27，為134.2cm⑵根據(jù)0.95置區(qū)間時()得到0.95置信區(qū)間：同理得到0.99置信區(qū)間：cmcm第二十二頁，共三十三頁，2022年，8月28日﹡1.2總體正態(tài)分布、總體方差未知

這種條件下，從總體分布→樣本平均數(shù)的抽樣分布與總體方差是否已知無關(guān)，但這時要用Sn-1來替代，即

這時由于S是變量，對的轉(zhuǎn)換不再服從正態(tài)分布，而服從的是t分布，即第二十三頁，共三十三頁，2022年，8月28日t分布的特點⑴．形狀與正態(tài)分布曲線相似⑵．t分布曲線隨自由度不同而有一簇曲線⑶．自由度的計算：自由度是指能夠獨立變化的數(shù)據(jù)個數(shù)。⑷．查t分布表時，需根據(jù)自由度及相應(yīng)的顯著性水平，并要注意是單側(cè)數(shù)據(jù)還是雙側(cè)。第二十四頁，共三十三頁，2022年，8月28日2.12-2.120.0250.025df=162.120.025df=16雙側(cè)P=0.05單側(cè)P=0.025第二十五頁，共三十三頁，2022年，8月28日因為所以，總體平均值的置信區(qū)間為：

例：從某小學(xué)三年級隨機抽取12名學(xué)生，其閱讀能力得分為

28，32，36，22，34，30，33，25，31，33，29，26。試估計該校三年級學(xué)生閱讀能力總體平均數(shù)95％和99％的置信區(qū)間。第二十六頁，共三十三頁，2022年，8月28日解：12名學(xué)生閱讀能力的得分假定是從正態(tài)總體中抽出的隨機樣本，而總體標(biāo)準(zhǔn)差σ未知，在此條件下，對樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)換應(yīng)服從t分布。于是需用t分布來估計該校三年級學(xué)生閱讀能力總體平均數(shù)95％和99％的置信區(qū)間。第二十七頁，共三十三頁，2022年，8月28日由原始數(shù)據(jù)計算出樣本統(tǒng)計值為當(dāng)α

＝0.05時，因此，該校三年級學(xué)生閱讀能力得分95％的置信區(qū)間為：第二十八頁，共三十三頁，2022年，8月28日當(dāng)α

＝0.01時，因此，該校三年級學(xué)生閱讀能力得分99％的置信區(qū)間為：第二十九頁，共三十三頁，2022年，8月28日﹡1.3總體非正態(tài)分布、大樣本（n>30）

總體不是正態(tài)分布，樣本平均數(shù)的抽樣分布只是近似正態(tài)分布，這時在大樣本的條件下，對樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)換按近似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布處理。﹡1.4總體非正態(tài)分布、小樣本（n<30）

這種情況無法對總體平均值進行統(tǒng)計學(xué)估計第三十頁，共三十三頁，2022年，8月28日

例：在一項關(guān)于某省農(nóng)村中學(xué)教師月收入的調(diào)查中，隨機抽取的400名教師平均月收入為900元，標(biāo)準(zhǔn)差30元。試對該省農(nóng)村中學(xué)教師月平均收入進行區(qū)間估計（該省教師月收入不能認(rèn)為正態(tài)分布。設(shè)α=0.05）第三十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日二、總體