2022年數(shù)學一輪復習精品模擬試題第47講直線平面垂直的判定及其性質(zhì)

第四十七講直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)班級姓名考號日期得分一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號填在題后的括號內(nèi).)1.教室內(nèi)任意放一支筆直的鉛筆，則在教室的地面上必存在直線與鉛筆所在的直線()A.平行 B.相交C.異面 D.垂直解析：這支鉛筆與地面存在三種位置關系，若在地面內(nèi)，則C排除；若與地面平行則B排除；若與地面相交，則A排除，選D.答案：D2.若m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個不同的平面，則下列命題中的真命題是()A.若m?β，α⊥β，則m⊥αB.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，則α∥βC.若m⊥β，m∥α，則α⊥βD.若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γ解析：兩平面垂直并不能得到一個平面內(nèi)的任一直線都與另一平面垂直，故A為假命題；以三棱柱的側面和側棱為例知B為假命題；若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γ或β∥γ，故D為假命題；若m∥α，則α中必存在直線l與m平行，又m⊥β，∴l(xiāng)⊥β，故α⊥β，故選C.答案：C3.(改編題)設P是△ABC所在平面外一點，P到△ABC各頂點的距離相等，而且P到△ABC各邊的距離也相等，那么△ABC()A.是非等腰的直角三角形B.是等腰直角三角形C.是等邊三角形D.不是A、B、C所述的三角形解析：設O是點P在平面ABC內(nèi)的射影，因為P到△ABC各頂點的距離相等，所以O是三角形的外心，又P到△ABC各邊的距離也相等，所以O是三角形的內(nèi)心，故△ABC是等邊三角形，選C.答案：C4.把等腰直角△ABC沿斜邊上的高AD折成直二面角B—AD—C，則BD與平面ABC所成角的正切值為()\r(2)\f(\r(2),2)\f(\r(3),3)解析：如圖，在面ADC中，過D作DE⊥AC，交AC于點E.連接BE，因為二面角B—AD—C為直二面角，所以BD⊥平面ADC，故BD⊥AC.由以上可知，AC⊥平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC，故∠DBE就是BD與平面ABC所成角，在Rt△DBE中，易求tan∠DBE＝eq\f(\r(2),2)，故選B.答案：B5.如圖，已知△ABC為直角三角形，其中∠ACB＝90°，M為AB的中點，PM垂直于△ACB所在平面，那么()＝PB>PC＝PB<PC＝PB＝PC≠PB≠PC解析：∵M為AB的中點，△ACB為直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA＝PB＝PC.選C.答案：C6.(2022·鄭州質(zhì)檢)在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將菱形沿對角線AC折起，使折起后BD＝1，則二面角B－AC－D的余弦值為()\f(1,3)\f(1,2)\f(2\r(2),3)\f(\r(3),2)解析：在原圖中連接AC與BD交于O點，則AC⊥BD，在折起后的圖中，由四邊形ABCD為菱形且邊長為1，則DO＝OB＝eq\f(\r(3),2)，由于DO⊥AC，因此∠DOB就是二面角B－AC－D的平面角，由BD＝1得cos∠DOB＝eq\f(OD2＋OB2－DB2,2OD·OB)＝eq\f(\f(3,4)＋\f(3,4)－1,2×\f(\r(3),2)×\f(\r(3),2))＝eq\f(1,3)，故選A.答案：A二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上.)7.正四棱錐S—ABCD的底面邊長為2，高為2，E是邊BC的中點，動點P在表面上運動，并且總保持PE⊥AC，則動點P的軌跡的周長為.解析：如圖，取CD的中點F、SC的中點G，連接EF，EG，F(xiàn)G，EF交AC于點H，易知AC⊥EF，又GH∥SO，∴GH⊥平面ABCD，∴AC⊥GH，∴AC⊥平面EFG，故點P的軌跡是△EFG，其周長為eq\r(2)＋eq\r(6).答案：eq\r(2)＋eq\r(6)8.如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當AF＝時，CF⊥平面解析：由題意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可.令CF⊥DF，設AF＝x，則A1F＝3a－x由Rt△CAF∽Rt△FA1D，得eq\f(AC,A1F)＝eq\f(AF,A1D)，即eq\f(2a,3a－x)＝eq\f(x,a)，整理得x2－3ax＋2a2解得x＝a或x＝2a答案：a或29.α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題：.解析：由題意構作四個命題：(1)①②③?④；(2)①②④?③；(3)①③④?②；(4)②③④?①.易判斷(3)、(4)為真，應填m⊥α，n⊥β，α⊥β?m⊥n(或m⊥n，m⊥α，n⊥β?α⊥β).答案：①③④?②；②③④?①評析：本題為條件和結論同時開放的新穎試題.10.(2022·東城目標檢測)過正三棱錐的側棱與底面中心作截面，已知截面是等腰三角形，若側面與底面所成的角為θ，則cosθ的值是.解析：本題考查二面角的求法.設側面與底面所成的角為θ，如圖，O為中心，∴θ＝∠SPB，又△SPB為等腰三角形，有兩種情況：(1)SP＝PB，∴OP＝eq\f(1,3)SP?cosθ＝eq\f(OP,SP)＝eq\f(1,3)；(2)SB＝PB，則SP＝eq\r(SC2－PC2)＝eq\r(SB2－PC2)＝eq\r(PB2－PC2)＝eq\r((\f(\r(3),2)AC)2－(\f(1,2)AC)2)＝eq\f(\r(2),2)AC，又BP＝eq\f(\r(3),2)AC，OP＝eq\f(1,3)BP，∴cosθ＝eq\f(OP,SP)＝eq\f(\r(6),6)，綜上可得：cosθ的值是eq\f(1,3)或eq\f(\r(6),6).答案：eq\f(1,3)或eq\f(\r(6),6)三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟.)11.如圖(1)，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中點，如圖(2)，將△ABE沿AE折起，使二面角B—AE—C成直二面角，連接BC，BD，F(xiàn)是CD的中點，P是棱BC的中點.(1)求證：AE⊥BD；(2)求證：平面PEF⊥平面AECD；(3)判斷DE能否垂直于平面ABC？并說明理由.分析：由條件可知△ABE為正三角形，要證AE⊥BD，可證明AE垂直于BD所在的平面BDM，即證AE⊥平面BDM；可用判定定理證明平面PEF⊥平面AECD；對于第(3)問可采用反證法證明.解：(1)證明：取AE中點M，連接BM，DM.∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中點，△ABE與△ADE都是等邊三角形.∴BM⊥AE，DM⊥AE.∵BM∩DM＝M，BM，DM?平面BDM.∴AE⊥平面BDM.∵BD?平面BDM，∴AE⊥BD.(2)證明：連接CM，EF交于點N，連接PN，如圖.∵ME∥FC，且ME＝FC，∴四邊形MECF是平行四邊形.∴N是線段CM的中點.∵P是線段BC的中點，∴PN∥BM.∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD.又∵PN?平面PEF，∴平面PEF⊥平面AECD.(3)DE與平面ABC不垂直，證明：假設DE⊥平面ABC，則DE⊥AB，∵BM⊥平面AECD.∴BM⊥DE.∵AB∩BM＝B，AB，BM?平面ABE，∴DE⊥平面ABE.∴DE⊥AE，這與∠AED＝60°矛盾.∴DE與平面ABC不垂直.評析：翻折與展開是一個問題的兩個方面，不論是翻折還是展開，均要注意平面圖形與立體圖形中各個對應元素的相對變化，元素間大小與位置關系，哪些不變，哪些變化，這是至關重要的.12.如圖所示，已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分別是AC、AD上的動點，且eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0<λ<1).(1)求證：不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；(2)當λ為何值時，平面BEF⊥平面ACD？解：(1)證明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BC且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0<λ<1)，∴不論λ為何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，又∵EF?平面BEF，∴不論λ為何值，恒有平面BEF⊥平面ABC.(2)由(1)知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC，∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝eq\r(2)，AB＝eq\r(2)tan60°＝eq\r(6)，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(7)，由AB2＝AE·AC得AE＝eq\f(6,\r(7))，∴λ＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(6,7)，故當λ＝eq\f(6,7)時，平面BEF⊥平面ACD.13.如圖，在矩形ABCD中，AB＝2BC，P、Q分別為線段AB、CD的中點，EP⊥平面ABCD.(1)求證：DP⊥平面EPC；(2)問在EP上是否存在點F使平面AFD⊥平面BFC？若存在，求出eq\f(FP,AP)的值.解：(1)證明：∵EP⊥平面ABCD，∴EP⊥DP，又ABCD為矩形，AB＝2BC，P、Q為AB、CD中點，∴PQ⊥DC且PQ＝eq\f(1,2)DC，∴DP⊥PC，∵EP∩PC＝P，∴DP⊥平面EPC.(2)如圖，假設存在F使平面