高一數(shù)學(xué)等差數(shù)列備戰(zhàn)高考考點(diǎn)解析及例題輔導(dǎo)

等差數(shù)列

高考要求：

理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡單的實(shí)際問題

知識點(diǎn)歸納8

1，等差數(shù)列的定義：

①如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列

就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。

2,等差數(shù)列的判定方法：

②定義法：對于數(shù)列｛%｝,若a向-%=d（常數(shù)），則數(shù)列｛a“｝是等差數(shù)列。

③等差中項(xiàng)：對于數(shù)列｛??｝，若2a,用=an+a,"，則數(shù)列｛。“｝是等差數(shù)列，

3。等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：

④如果等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)是外,公差是d,則等差數(shù)列的通項(xiàng)為an=a,+（n-l）Jo

該公式整理后是關(guān)于n的一次函數(shù).

4等差數(shù)列的前n項(xiàng)和：

⑤w詈2⑥5,=呷+歿3

對于公式2整理后是關(guān)于n的沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù).

5。等差中項(xiàng):

⑥如果a,A,8成等差數(shù)列，那么A叫做a與匕的等差中項(xiàng)。即：4=史吆或

2

2A-a+b

在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮等差數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)

與后一-項(xiàng)的等差中項(xiàng)；事實(shí)上等差數(shù)列中某一項(xiàng)是與其等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)。

5。等差數(shù)列的性質(zhì):

⑦等差數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系:W%是等差數(shù)列的第n項(xiàng)，為是等差數(shù)列的第m項(xiàng),

且m公差為d,則有+（〃一根）d

⑧對于笠差數(shù)列｛%｝，若n+m=p+q,則a“+%〃+a”

也就是：at+an=a2+an_｝=%+an_2.....

⑨若數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，S?是其前n項(xiàng)的和，ZeN*,刃口Sk,S2k-Sk,S3k-S2k

成等差數(shù)列,如下圖所示：

g+。3+…+以,+”+1+:+°2&,+。2*+1+1.+43（

SkSzk-SkS3k-S2k

&奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的關(guān)系：

⑩設(shè)數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，S奇是奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和，S,是前n項(xiàng)的

和，則有如下性質(zhì)：

前n項(xiàng)的和S〃=S奇+S偶

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S偶-S奇=^d,其中d為公差；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則5奇一S偶=a中’5奇="：1a中，S偶=口］々中，=，

22S偶〃—1

ss+s

品「奇加=〃（其中a中是等差數(shù)列的中間一項(xiàng)）。

S奇-S（禺S奇-S偶

7。前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系:

?若等差數(shù)列｛%｝的前2〃-1項(xiàng)的和為S2?_1,等差數(shù)列物,｝的前2"-1項(xiàng)的和為

$2,1，則會=占叢.

題型講解?

例1如果一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354,前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為

32:27,求公差；

分析：等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)也成等差數(shù)列，等差數(shù)列中通項(xiàng)公式和前

n項(xiàng)和公式中五個(gè)量外,d,〃,S“,明,只要知道其中三個(gè)，就可以求其它兩個(gè)，而是基

本量.

解：設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為由,公差為d,則

12a.+-xl2xll-J=354

2

,1r12見+661=354ra,=2

<6(。［+d)H—x6x5?2d0c=><=><

12_325%—2d=0d=5

127

6%+—x6x5?2d//

I2

例2設(shè)等差數(shù)列｛a。｝的前n項(xiàng)和為Sn.已知a3=12,S12>0,S13<0.

(I)求公差d的取值范圍；

(Il)指出SiS,…S2,中哪一個(gè)值最大,并說明理由.

解：(I)依題意，有SQ=12q+I2“；2一0?d>0

〉

SQ=13%+13>(；3T)..”<0,即,2%+1Id0(1)

4+6d<0⑵

由a3=12,得ai=12—2d

24+7J>024

(3)將⑶式分別代入(1),(2)式，得\,：.——<J<-3.

3+d<07

(H)由d<0可知ai>a2>a3>***>ai2>ai3.

因此，若在lWn<12中存在自然數(shù)n,使得an>0,an+1<0,

則Sn就是S13,…,S12中的最大值。

由于S12=6(a6+a7)>0,Si3=13a7<0,即a6+a7>0,a7<0°

由此得a6>-a7>01因?yàn)閍6>0,a7<0,故在SiS,…,Sg中Se的值最大,

例3已知5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5,平方和為乙，求這5個(gè)數(shù)

9

解：設(shè)三個(gè)數(shù)為a,公差為d,則這5個(gè)數(shù)依次為±2d,a-d,a戶+d,a+2d依題意:

85

(a-2d產(chǎn)+(a-d)2+a，(a+d)2+(a+2d)2=—

9

且(a?2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5

22

即a+2d='且a=l

9

2

/.a=l且d二±—

3

當(dāng)€|=2三時(shí)，這5個(gè)數(shù)分別是一1乙1、士、1、5士、7-：

33333

當(dāng)￡|=一士2時(shí)，這5個(gè)數(shù)分別是7」、51、I->I

33333

S

例4等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和S且S5=-5,S"15,求數(shù)列｛」?｝的前n項(xiàng)和T”，

nn

解：設(shè)數(shù)列｛an｝的公差為d,首項(xiàng)為a1,

由已知得5al+10d=-5,10ai+45d=15

解得ai=-3,d=l

.,、n(n-l)127

??S—n(-3)+------------=_n~----n

n222

17

.s.=-n—

n22

J

2

SS1

???｛」｝是等差數(shù)列且首項(xiàng)為」=—3、公差為2

n12

.、n(n-1)11213

..Tn=nX(-3)H--------------o_=_n~------

2244

例5項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)之和為44,偶數(shù)項(xiàng)之和為33,求這個(gè)數(shù)列的中間

項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)。

解：設(shè)數(shù)列共2m+l(m￡N*)把該數(shù)列記為｛七｝。

依題意81+83+.......+a2m+i=44且82+84+.......+a2m=33

ITl

即一(32+32m)=33(1)

2

+1,、/、

——(ai+a2m)=44(2)

YYl3

(1)+(2)得-----=一，m=3代入(1)得a?+a2m=22

m+14

即該數(shù)列有7項(xiàng)，中間項(xiàng)為11。

例6在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列6（為,/）,尸2（々,％）…，匕（乙,）二）…，對一切正整數(shù)〃，

135

點(diǎn)?位于函數(shù)y=3x+?的圖象上，且2的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，-1為公差的等差

數(shù)列｛x,J.

⑴求點(diǎn)的坐標(biāo);

⑵設(shè)拋物線列G，C2，，3,…中的每一條的對稱軸都垂直于X軸，第〃條拋物線%的頂

點(diǎn)為匕，且過點(diǎn)?！埃?.2+1）,記與拋物線％相切于。〃的直線的斜率為心,求:

111

----++…d

占％2k2k3------kn-[k,

⑶設(shè)S={xlx=2x“,neN,〃21},T={yly=4y",〃21},等差數(shù)列{%}的任一項(xiàng)

%eScT,其中為是ScT中的最大數(shù)，一265<%（）<—125,求｛%｝的通項(xiàng)公式,

53

解(1)xn=+(n-1)x(-1)=-n-—

c13c5

=3-“+1=_3〃一丁

35

（2）「c”的對稱軸垂直于X軸，且頂點(diǎn)為心,

/2”+3、212n+5

.,.設(shè)c”的方程為：y=a(x+-----)----------

"24

把?！埃?,”2+］）代入上式，得4=1,

二.c”的方程為：y=+(2〃+3)x+〃~+1°

kn=yL=0=2?+3,

.i

=]=l(i

kn_ikn(2〃+1)(2〃+3)22n+12〃+3

-----1------F…4------=—[(----)+(-----)+…+(-------------)]

k、k?k.k.k,k?257792n+12〃+3

iLzJn-in

_11__1_1__1_

2(52〃+3，)-=10An+6

(3)S={xIx=-(In+3),?eN,n>1})

T={yIy=-(12〃+5),〃wN,“21}={yly=-2(6〃+1)-3,neN,n>1}

.?.SnT=T,T中最大數(shù)為=-17.

設(shè){%}公差為d,則al0=-17+9de(-265,-125),

由此得一24空8<d<—12,

9

又,/an&T：.d=6N*),

d--24,.,.=7-24/1(〃eN").

說明：本例為數(shù)列與解析幾何的綜合題，難度較大(1)、(2)兩間運(yùn)用幾何知識算出尤,

解決(3)的關(guān)鍵在于算出snr及求數(shù)列{q}的公差。

練習(xí):

1，數(shù)列｛aj是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列｛b?｝是首項(xiàng)為-2,公差為4的等差數(shù)列.若

a?=b?,則n的值為()

(A)4(B)5(C)6(D)7

2。在等差數(shù)列｛aj中，am=n,a?=m,貝ijam+n的值為()

(A)m+n(B)—(m+n)(C)—(m-n)(D)0

22

3。在等差數(shù)列｛aj中，若ai+a，i+a7=39,a2+a5+a8=33,則a3+ae+a9的值為()

(A)30(B)27(C)24(D)21

4一個(gè)直角三角形的三條邊成等差數(shù)列，則它的最短邊與最長邊的比為()

(A)4：5(B)5：13(C)3：5(D)12：13

5。在等差數(shù)列瓜｝中，Sm§,則猛的值為()

(A)0(B)S?+S?(C)2(S?+S?)(D)|(5,?+S?)

2

6。數(shù)歹ij｛an)的前n項(xiàng)和Sn=n+1是an=2n-l成立的()

(A)充分但不必要(B)必要但不充分

(C)充要條件(D)既不充分又不必要

7。一個(gè)凸n邊形內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，公差為5°,且最大角為160°,則n的值為()

(A)9(B)12(C)16(D)9或16

&在等差數(shù)列瓜｝中，Sp=q,Sq=q,Sp,Q的值為()

(A)p+q(B)-(p+q)(C)p2-q2(D)p2+q2

9。已知等差數(shù)列｛a?｝滿足ai+a2+...+a%=0,則()

(A)a[+a99>0(B)a^+agKO(C)a3+as7=0(D)ascFSO

10。若數(shù)列｛aj為等差數(shù)列，公差為L,且S*145,則az+a,……+a儂的值為()

2

145

(A)60(B)85(C)—(D)其它值

2一

11,已知數(shù)列｛a.｝的通項(xiàng)公式為a產(chǎn)㈠嚴(yán)(4n-3),則它的前100項(xiàng)之和為()

(A)200(B)-200(C)400(D)-400

12。若數(shù)列｛aj由ai=2,an+產(chǎn)a#2n(nN1)確定，則aioo的值為()

(A)9900(B)9902(C)9904(D)9906

1工已知等差數(shù)列瓜｝的公差為d,dwO,"d,若這個(gè)數(shù)列的前20項(xiàng)的和為S20=10M,則M等

于()

(A)a《+ai6(B)a.2o+d(C)2a」o+d(D)

14若關(guān)于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a^/7)的四個(gè)根可以組成首項(xiàng)為』的等差數(shù)列，則

4

a+b的值為()

(A)二3(B)1—1(C)1—3(D)3—1

8242472

15。數(shù)列｛a,J中，di~p,a?=q,a”+2+a”=2a“+i,則。

16?在等差數(shù)列［a,,｝中,已知az+ar+as+ag+aH=70,則a?=?

17在等差數(shù)列｛a,,｝中，S4=6,Ss=20,則Si產(chǎn)0

等差數(shù)列｛a“｝中，S3=S8,S2=S?,貝ljn-。

19。某露天劇場共有28排座位，第一排有24個(gè)，后一排比前一排增加兩個(gè)座位，則全劇場

共有座位個(gè)。

20,成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和為26,第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)積為22,則這四個(gè)數(shù)為

21。打一口深20米的井，打到第一米深處時(shí)需要40分鐘，從第一米深處打到第二米深處需

要50分鐘，以后每深一米都要比前一米多10分釗，，則打到最后一米深處要用小時(shí),

打完這口井總共川小時(shí)，

22.在項(xiàng)數(shù)為n的等差數(shù)列｛a.｝中，前三項(xiàng)之和為12,最后三項(xiàng)之和為132,前n項(xiàng)之和為

240,貝Un-,

23。已知數(shù)列底｝為等差數(shù)列，前30項(xiàng)的和為50,前50項(xiàng)的和為30,求前80項(xiàng)的和.

24已知數(shù)列｛a』的前n項(xiàng)和為Sn=n2+C（C為常數(shù)），求數(shù)列｛a。｝的通項(xiàng)公式，并判斷｛aj是不

是等差數(shù)列，

25。設(shè)等差數(shù)列｛a“｝的前n項(xiàng)和為S“b?=」-,且a3b3=LSS+S3=21,求be

S.2

2&已知數(shù)列｛aj為首項(xiàng)a―0,公差為dH0的等差數(shù)列,

aa

a｝a2a-,a3nn+\

27球從1到100中所有不被3及5整除的整數(shù)之和。

2&用分期付款方式購買家用電器一件，價(jià)格為1150,購買當(dāng)天先付150元，以后每月這一

天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率為1%,若交付150元以后的第一個(gè)月開始算分

期付款的第一個(gè)月，問分期付款的第十個(gè)月該交付多少錢？全部貸款付清后，買這件家電實(shí)

際花了多少錢？

參考答案:

題號12345678

答案BDBCADAB

題號91011121314

答案CBBBCD

15op+(2n-l)(q-p)16.1417J21&9101428

2025,8,11或11,8,5,22L一,45。

6

22JO

ai+a2+a3=12,au-2+au-i+an=132,相加彳導(dǎo)3(ai+a“)=144,ai+an=48,

23$50一530=a：*+a32+,??+aso

20(旬+牝0)=10m3|+%o)=10(%+a8O)=30-50=-20.

24當(dāng)n=l時(shí)，aHi=l+c

222

當(dāng)nN2時(shí),an=Sn-Sn-i=(n+c)-[(n+c)]-[(n-1)+C]=2n-L

c+1n-1

2n-1n>2

若C=0,an=2nT,此時(shí)an-an-i=2(n>2)｛an｝為等差數(shù)列。

若CWO,C+1W1,⑸｝不為等差數(shù)列。

(4+2d)

3x2d2

3q+

5x4

54+d+3g+=d=21

'2

由①