高考試題-數(shù)學理(寧夏卷)

2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學（寧夏）

本試卷分第I卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩部分.第n卷第22題為選考題,

其他題為必考題.考生作答時，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效.考試結(jié)束后,

將本試卷和答題卡一并交回.

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，認真核對條形碼上的準

考證號、姓名，并將條形碼粘貼在指定位置上.

2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號;

非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或炭素筆書寫，字體工整，筆跡清楚.

3.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.

4.保持卡面清潔，不折疊，不破損.

5.作選考題時，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的

標號涂黑.

參考公式：

樣本數(shù)據(jù)占，,乙的標準差錐體體積公式

軻F+—+(…力V^-Sh

3

其中最為樣本平均數(shù)其中S為底面面積、h為高

柱體體積公式球的表面積、體積公式

，4,

V=ShS=4nR2,丫=一?；?

3

其中S為底面面積，h為高其中R為球的半徑

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.已知命題P：VXER,sinxWl,則（）

A.-np:GR,sinxN1B.—:VxGR,sinxN1

C.-np:GR,sinx>1D.—^p:VxGR,sinx>1

13

2.已知平面向量Q=(1,1),ft=(L—1),則向量一Q—b=()

22

A.(—2,—1)B.(—2,1)

C.(-1,0)D.(—1,2)

JT

3.函數(shù)y=sin[2x-g在區(qū)間—上,兀的簡圖是（）

2

y

n

o33-1

~26

A.B.

yy

兀>

兀0xHi兀

2623

c.D.

4.已知｛4｝是等差數(shù)列,Go=10,其前10項和Si0=70,則

其公差d=()

A.--B.cD

3~3I-1

5.如果執(zhí)行右面的程序框圖，那么輸出的S)

A.2450B.2500

C.2550D.2652

6.已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點為方，

點《(即/),P2(x2,y2),呂（工3,％）在拋物線上，

且2々=玉+退，則有（)

B.附『+照叫2

A,悶+|%=閥|

C.2上⑷=|咐|+忻圖D?閥「=閥?|陽

a,b,y成等差數(shù)列，x,c,d,y成等比數(shù)列，則（“+：」的

7.已知x>0,y>0,x,

最小值是（）

A.0B.1C.2D.4

8.已知某個幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標出

的尺寸（單位：cm）,可得這個幾何體的體積是

)

40003

A.----cm

3

80003

B.----cm

3

C.2000cm3

D.4000cm3

則cosa+sintz的

值為（）

不

21~T

10.曲線y=e?”在點（4e2）處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（)

A.-e2B.4e2C.2e2D.e2

2

11.甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次，三人的測試成績?nèi)缦卤?/p>

甲的成績乙的成績丙的成績

環(huán)數(shù)78910環(huán)數(shù)78910環(huán)數(shù)78910

頻數(shù)5555頻數(shù)6446頻數(shù)4664

4,52,S3分別表示甲、乙、丙三名運動員這次測試成績的標準差，則有（）

A.*>M>V2B.s2>S]>S3

C.S]>s2>S3D.S2>S3>S]

12.一個四棱錐和一個三棱錐恰好可以拼接成一個三棱柱，這個四棱錐的底面為正方形，且

底面邊長與各側(cè)棱長相等，這個三棱錐的底面邊長與各側(cè)棱長也都相等.設(shè)四棱錐、三棱錐、

三棱柱的高分別為九，為，“，則4：飽：打=（）

A.存1:1B.73:2:2C.73:2:V2D.0:2:百

第II卷

本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題一第21題為必考題，每個試題考生都必須

做答，第22題為選考題，考生根據(jù)要求做答.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.已知雙曲線的頂點到漸近線的距離為2,焦點到漸近線的距離為6,則該雙曲線的離心

率為.

14.設(shè)函數(shù)"X）=（"+1）（"+"）為奇函數(shù),則。=.

X

15.i是虛數(shù)單位，-5+10<=.（用4+方的形式表示，a,Z>eR）

3+4z----------

16.某校安排5個班到4個工廠進行社會實踐，每個班去一個工廠，每個工廠至少安排一個

班，不同的安排方法共有種.（用數(shù)字作答）

三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分12分）

如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底8在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與。.現(xiàn)

測得N8CO=a,ZBDC=/3,CD=s,并在點C測得塔頂A的仰角為氏求塔高

18.（本小題滿分12分）

如圖，在三棱錐S-ABC中，側(cè)面S48與側(cè)面S4c均為等邊

三角形，NB4c=90°,。為BC中點.

（I）證明：SO_L平面ABC；

（II）求二面角A—SC—3的余弦值.

B

19.（本小題滿分12分）

在平面直角坐標系中,經(jīng)過點（0.V2）且斜率為k的直線/與橢圓三+丁=1有兩個不

同的交點P和。.

（I）求Z的取值范圍；

（II）設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為AB,是否存在常數(shù)%,使得向量

OP+OQ與AB共線？如果存在，求女值；如果不存在，請說明理由.

20.(本小題滿分12分)

如圖，面積為S的正方形A8CD中有一個不規(guī)則的圖形M,可按下面方法估計M的面積:

在正方形ABCD中隨機投擲〃個點，若〃個點中有機個點落入M中，則M的面積的估計

值為‘S,假設(shè)正方形A6C￡＞的邊長為2,M的面積為1,并向正方形A8CO中隨機投

n

擲10000個點，以X表示落入M中的點的數(shù)目.D

(I)求X的均值EX；

(II)求用以上方法估計M的面積時，M的面積的估計值與實際

值之差在區(qū)間(-0.03,0.03)內(nèi)的概率.

附表：PGtQXaooooxOWxcnsiw

(=oA

k2424242525742575

P(k)0.04030.04230.95700.9590

21.(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)/(X)=ln(x+cz)+x2

(I)若當x=—1時，/(x)取得極值，求a的值，并討論/(幻的單調(diào)性;

e

(H)若/(x)存在極值，求。的取值范圍，并證明所有極值之和大于In^.

22.請考生在A,B,C三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.作答時，

用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號涂黑.

22.A(本小題滿分10分)選修4一1：幾何證明選講

如圖，已知AP是。的切線，P為切點，AC是0

的割線，與0交于B,C兩點，圓心。在NB4C的

內(nèi)部，點M是BC的中點.

(I)證明AP,O,"四點共圓；

(II)求NQ4A/+NAPM的大小.

C

22.B(本小題滿分10分)選修4一4：坐標系與參數(shù)方程

。］和O2的極坐標方程分別為p=4cos6,/?=-4sin9.

(i)把a和Q的極坐標方程化為直角坐標方程;

(H)求經(jīng)過0廠O2交點的直線的直角坐標方程.

22.C(本小題滿分10分)選修4-5；不等式選講

設(shè)函數(shù)/(x)=|2x+lk|x-4|.

(I)解不等式，(x)>2；

(II)求函數(shù)y=/(x)的最小值.

2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學試題參考答案（寧夏）

一、選擇題

1.c2.D3.A4.D5.C6.C

7.D8.B9.C10.D11.B12.B

填空題

13.314.15.l+2i16.240

三、解答題

17.解：在△68中,Z.CBD=n—a-/3.

CD

由正弦定理得——

sinZBDCsinZCBD

叱““CDsinZBDC^?sinB

所以EC==

sinZ.CBDsin(a+/3)

在中，AB=BCtanZACB=5，tan^sm^.

sin(a+/7)

18.證明：

(I)由題設(shè)AB=AOSB=SC=1s4,連結(jié)。4,△ABC

/y

為等腰直角三角形，所以0A=08=0C=,且

2

AOI.BC,又△SBC為等腰三角形，故SOL3C,且

6

SO^—SA,從而aV+SO'-SAt

2

所以△SOA為直角三角形，SO1AO.

又AOBO=O.

所以SO，平面ABC.

（II）解法一：

取SC中點M,連結(jié)AMO.,由（I）知SOQC=SA,得

OMl.S,CALM.

...NOM4為二面角A—SC—3的平面角.

由4OLBC,AO±SO,SO3。=0得40_1_平面58。.

所以AOLOM,又4加=迫￡4,

2

故sinZAMO=也=年=

AM63

所以二面角A-SC-B的余弦值為也.

3

解法二：

以。為坐標原點，射線0804分別為x軸、y軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標系

O-xyz.

設(shè)8(1,0,0),則。(一1,。0),4(0,1,0),5(0,0,1).

：.MO'SC=0,MA'SC=0.

故MO±SC,MAISC,<MO,MA>等于二面角

A—SC-B的平面角.

皿MO-MAG

cos<MO,MA>=?-------1=——，

n3

所以二面角A—SC—3的余弦值為Y二.

3

19.解：（I）由已知條件，直線/的方程為曠=日+血,

2

代入橢圓方程得二+（區(qū)+/）2=1.

2

整理得2+2&區(qū)+i=o①

直線/與橢圓有兩個不同的交點P和。等價于△=8公一4（；+%2）=4公一2＞0,

初/旦,近旬1垃

解得左＜一-—或人＞——.即人的取值范圍為一8,_

22

(n)設(shè)P(X[,y),Q(X2,%)，則OP+OQ=(玉+毛，X+%)，

限叵k

由方程①，%+無2=

1+2公

③

又,+%=k(%+X2)+25/2.

而A(0,O),3(0,1),AB=(-V2,l).

所以。尸+OQ與AB共線等價于％+與=一&(y+%)，

將②③代入上式，解得左=也

2

由(I)知k一旦或k)旦,故沒有符合題意的常數(shù)人.

22

20.解:

每個點落入M中的概率均為p=；.

依題意知乂~8(10000,；).

(I)EX=10000x-=2500.

4

(II)依題意所求概率為-0.03<一工一x4-l<0.03

I10000)

P\-0.03<^^x4-1<0.03|=P(2425<X<2575)

I10000J

2574

=EGooo。X0.25'xO^i0000-'

1=2426

25742425

EGooooxO.25'X0.75",-XG'oooox0.25,x0.75mxM

/=2426/=0

=0.9570-0.0423=0.9147.

21.解：

(I)f'(x)=-^—+2x,

x+a

3

依題意有［(一1)=0,故。=；.

2x2+3x+1(2x+l)(x+l)

從而f\x)=

33

XH—x+-

22

/(X)的定義域為,"l，+83

,當—5<x<-1時，/'(%)>0；

當—l<x<-一時，f\x)<0；

當x>—,時，f\x)>0.

從而，/(X)分別在區(qū)間(―3，-11(一；，+8)單調(diào)增加，在區(qū)間(一1，—；)單調(diào)減少.

2x2+2ox+l

(II)y(x)的定義域為+8),r(x)

x+a

方程2/+2以+1=0的判別式△=4/一8.

(i)若A<0,即一起<。(夜，在/(x)的定義域內(nèi)/(x)〉0,故/(x)的極值.

(ii)若△=(),則。一血或。=-V2.

若a=6,XG(-"+8),/，(無)=(垃.二)一.

x+yjl

萬(5、

當X=-----時，/'(X)=0>當X€-yfi,-----時，/'(x)〉0,所以/(幻

2I2,38)

無極值.

若。=一及，xe(0,+8),r(x)=(?1二)>0，/(X)也無極值.

x-\j2

(iii)若△>(),即。>血或。<-夜，則2x?+2ax+1=I有兩個不同的實根

-a-yja1-2-a+y/a2-2

x.=-----------.x,=------------.

122

當。<一行時，x]<-a,x2<-a,從而/'(x)有.f(x)的定義域內(nèi)沒有零點，故f(x)無極

值.

當a>血時，玉>一。，々>一。，/'(尤)在/(處的定義域內(nèi)有兩個不同的零點，由根值

判別方法知/(%)在x=*x=々取得極值.

綜上，.f(x)存在極值時，。的取值范圍為("+8).

/(幻的極值之和為

9717e

/(Xj)+/(x2)=ln(Xj+。)+玉+ln(x2+a)+x2=In—+a-—1>l-ln2=In—.

22.A

(I)證明：連結(jié)。P,OM.

因為AP與。相切于點P,所以O(shè)PLAP.

因為M是。的弦8C的