高考試題-數(shù)學(xué)理

2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（海南卷）

理科數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)（理）試題頭說(shuō)明：

本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，其中第II卷第22—24題為選

考題，其它題為必考題.考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上.在本試卷上答題無(wú)效.考試結(jié)

束后，將本試卷和答題卡一并交回.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、

準(zhǔn)考證號(hào)，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上.

2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)；非選

擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚.

3.請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效.

4.保持卡面清潔，不折疊，不破損.

5.做選考題時(shí)，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂

?

參考公式：

樣本數(shù)據(jù)X1，X2，…，X”的標(biāo)準(zhǔn)參錐體體積公式

V=-Sh

3

其中亍為樣本平均數(shù)其中S為底面面積，h為高

柱體體積公式球的表面積、體積公式

V=ShS=4nR：丫=一兀/?’

3

其中S為底面面積，h為高其中R為球的半徑

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.已知函數(shù)y=2sin（（yx+⑼3>0））在區(qū)間［0,2句的圖像如下：

那么。=()

11

A.1B.2C.-D.-

23

z?—2z

2.已知復(fù)數(shù)Z=貝——-=()

z-1

A.2iB.—2iC.2D.—2

3.如果等腰三角形的周長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的5倍，那么它的頂角的余弦值為()

4.設(shè)等比數(shù)列｛為｝的公比q=2,前c項(xiàng)和為

貝山二()

的

5.刪

6.已知0]>02>。3>0,則使得(1一。/)2<1(1=1,23)都成立的X取值范圍是()

21(1)(21

A.0,—B.0,—C.0)—D.0,—

a

JaJ、03>k)

3—sin70°

7.)

2-cos210°

72

A.B.2D.

222

8.平面向量。,b共線的充要條件是()

A.a，b方向相同B.a,b兩向量中至少有一個(gè)為零向量

32GR,b=AaD.存在不全為零的實(shí)數(shù)4,%，+

9.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參加?

天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外兩位前面.不同的安排方法共有()

A.20種B.30種C.40種D.60種

10.由直線x=，,x=2,曲線y=l■及X軸所圍圖形的面積為(

)

2X

1517

A.——B.C.-In2D.21n2

4T2

11.己知點(diǎn)P在拋物線=4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)。(2,-1)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離

之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

A.f—1jB.f—>1jC.(L2)D.(1,—2)

12.刪

第n卷

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題?第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做

答.第22題?第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.已知向量Q=（0,—,11）,b=（4,10）,|癡+“=屈且入〉0,貝iJ4=.

14.設(shè)雙曲線工-二=1的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F.過(guò)點(diǎn)F平行雙曲線的一條漸近線的直線

916

與雙曲線交于點(diǎn)B,則△AFB的面積為.

15.一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面.已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同?個(gè)球面

上，且該六棱柱的體積為三，底面周長(zhǎng)為3,則這個(gè)球的體積為

8------------

16.從甲、乙兩品種的棉花中各抽測(cè)了25根棉花的纖維長(zhǎng)度（單位：mm）,結(jié)果如下：

甲品種：271273280285285287292294295301303303307

308310314319323325325328331334337352

乙品種：284292295304306307312313315315316318318

320322322324327329331333336337343356

由以上數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)了如下莖葉圖

甲乙

3127

7550284

5422925

8733130467

94031235568

8

855332022479

741331367

343

ccr-r

根據(jù)以上莖葉圖，對(duì)甲、乙兩品種棉花的纖維長(zhǎng)度作比較，寫(xiě)出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論:

;

②.

三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

17.（本小題滿分12分）

已知｛《｝是一個(gè)等差數(shù)列，且4=1，%=—5.

（I）求｛4｝的通項(xiàng)?！?；

（II）求｛4｝前0項(xiàng)和5”的最大值.

18.（本小題滿分12分）

如圖，已知點(diǎn)P在正方體A6CO—A'6'C'。'的對(duì)角線8。上，ZPDA=60°.

（I）求OP與CC'所成角的大小；

（II）求DP與平面A4'。'。所成角的大小.

19.（本小題滿分12分）

48兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量X1和X2.根據(jù)市場(chǎng)分析，X1和X2的分布列分別

（I）在A,B兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬(wàn)元，丫1和丫2分別表示投資項(xiàng)目A和8所獲得的利潤(rùn),

求方差DY1，。丫2；

（II）將x（0W其100）萬(wàn)元投資A項(xiàng)目，100—X萬(wàn)元投資B項(xiàng)目，/（X）表示投資A項(xiàng)目

所得利潤(rùn)的方差與投資B項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差的和.求一（X）的最小值，并指出x為何值時(shí),

/（X）取到最小值.

（注：D（aX+b）=a2DX）

20.（本小題滿分12分）

在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓G：=+==1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為G,后.F2也是

a~b~

拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為G與Cz在第一象限的交點(diǎn)，且|MFzl=?.

3

(I)求Q的方程；

(II)平面上的點(diǎn)N滿足赤=詬+麗，直線l〃MN,且與G交于A,B兩點(diǎn)，若

OAOB=0,求直線/的方程.

21.(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)/(x)=ax+—L(a,/>eZ),曲線y=/(x)在點(diǎn)(2,/(2))處的切線方程為y=3.

x+b

(i)求y(x)的解析式:

(H)證明：函數(shù)y=/(x)的圖像是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形，并求其對(duì)稱(chēng)中心；

(III)證明：曲線y=/(x)上任一點(diǎn)的切線與直線x=l和直線*x所圍三角形的面積為定值,

并求出此定值.

請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.做答時(shí)，用

2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑.

22.(本小題滿分10分)選修4—1：幾何證明選講

如圖，過(guò)圓。外一點(diǎn)〃作它的一條切線，切點(diǎn)為A,過(guò)A點(diǎn)作直線AP垂直直線。M,垂

足為P.

(I)證明：OMOP=OA2；

(II)N為線段4P上一點(diǎn)，直線N8垂直直線。N,且交圓。于8點(diǎn).過(guò)8點(diǎn)的切線交直

線ON于K.證明：ZOKM=90°.

23.(本小題滿分10分)選修4—4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程

x怎一戊

已知曲線G：〈(。為參數(shù))，曲線C2：

[y=sin。

(I)指出C1，C2各是什么曲線，并說(shuō)明C1與C2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù);

(H)若把C1，C2上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都?jí)嚎s為原來(lái)的一半，分別得到曲線G'，.型G'，C；

的參數(shù)方程.C；與公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)和C1與。2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否相同？說(shuō)明你的理由?

24.(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講

已知函數(shù)/(刈=卜_8|_卜_4|.

(I)作出函數(shù)y=/(x)的圖像；

(II)解不等式|x—8|—|x—4|>2.

參考答案

BBDCABCDADAC

(13)3(14)一(15)—

153

(16).1.乙品種棉花的纖維平均長(zhǎng)度大于甲品種棉花的纖維平均長(zhǎng)度(或：乙品種棉花的纖

維長(zhǎng)度普遍大于甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度)。

2.甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度較乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度更分散.(或：乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度較

甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度更集中(穩(wěn)定).甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度的分散程度比乙品種棉花的纖

維長(zhǎng)度的分散程度更大).

3.甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度的中位效為307mm,乙品種棉花的纖誰(shuí)長(zhǎng)度的中位數(shù)為318mm

4.乙品種棉花的纖堆長(zhǎng)度基本上是對(duì)稱(chēng)的.而且大多集中在中間(均值附近).甲品種棉

花的纖維長(zhǎng)度除一個(gè)特殊值(352)外.也大致對(duì)稱(chēng).其分布較均勻.

三、解答題

(17)解：

,、fa,+J=1

(1)設(shè)｛4｝的公差為d,由已知條件，5,解出6=3,d=—2,

所以Qa=%-l)d=-2n+5o

(2)Sn=na1+—--d=-n~+4〃=4-(〃-2)

所以"=2時(shí)，取到最大值4。

(18)解:

如圖，以。為原點(diǎn)，D4為單位長(zhǎng)度建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z。

則方=(i,o,o),dF=(o,o,i).

連結(jié)80,8力

在平面58'。'。中，延長(zhǎng)。P交"。'于

設(shè)麗=W，M,1)(M>0),

由已知(而，萬(wàn)耳=60°,

由方麗=|網(wǎng)西cos(甌西

可得2M=12m2+1。

解得機(jī)=也，所以而=(Y2,Yl,i

222

也xO+也xO+lxl/T

(I)因?yàn)閏os<DH,CC'>=2------'------=—,

lxV22

所以＜麗，頁(yè)＞=45°.

即。尸與CC'所成的角為45°.

(II)平面AA'D'D的一個(gè)法向量是DC=(0,10).

^-xO+^^x1+1x0.

因?yàn)閏os<DH,DC>-----------------=—,

lxV22

所以＜。”,。。＞=60".

可得DP與平面AA'D'D所成的角為30°.

19.解：

(I)由題設(shè)可知外和與的分布列分別為

=(5—6)2乂0.8+(10—6)2然0.2=4,

嗎=2x0.2+8x0.5+12x0.3=8,

"=(2—8)2x0.2+(8—8>X0.5+(12-8)2X0.3=12.

100—x

(II)f(x)=D

1002

x100-X2

IDY

t+IDY

ibo1002

=磊[,+3(]00_》)2]

=(4x2-600.r+3X10()2),

當(dāng)了=膽=75時(shí)，/(x)=3為最小值.

2x4

20.解:

(I)由。2：y2=4x知6(1,0).

設(shè)%),M在G上，因?yàn)閨加入|=|，所以玉+1=1,

組一2_2顯

得芯=§,%=.

M在G上，且橢圓C的半焦距c=l,于是

48,

<9/3b?消去。2并整理得

b-=a2-1.

9aJ37/+4=0,

解得a=2(a=］不合題意，舍去).

3

22

故橢圓G的方程為?+1~=1?

(H)由何+麗=而知四邊形是平行四邊形，其中心為坐標(biāo)原點(diǎn)。，

因?yàn)?〃MN,所以/與0M的斜率相同，

276

故/的斜率女=一尚一=指.

3

設(shè)/的方程為y=J4(x—m).

3x2+4y2=12,

由《消去y并化簡(jiǎn)得

y=y/6(x-m)f

9x2-16mx+8優(yōu)2-4=0.

設(shè)A(』，％),B(X2,必)，

16m8m2-4

%+工2=丁，百次2二--—?

因?yàn)?。A_LOB,所以玉4=0?

x}x24-y}y2-XjX2+6(玉-m)(x2-m)

2

-lxyx2-6m(x}+x2)+6m

Sm2-4/16/72/

=7--------om----+6m2

99

12c八

二一(14加2-28)=0.

所以m=±^2.

此時(shí)A=(l6m了-4x9(8m2-4)>0,

故所求直線/的方程為y=Jdx—26，或>=?+26.

21.解：

1

(I)fM

。+與2

2aH-----=1,(

十口2+b.。=1，

于是《[解Z得IM！

1八》=—L

a-------7=0,i

因q,Z?eZ,故/(x)=xd----.

x-1

(H)證明：已知函數(shù)%=%，都是奇函數(shù).

X

所以函數(shù)g(x)=x+，也是奇函數(shù)，其圖像是以原點(diǎn)為中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形.

X

而/(x)=x-l+」一+1.

X-1

可知，函數(shù)g(x)的圖像按向量a=(1,1)平移，即得到函數(shù)/(X)的圖像，故函數(shù)/(X)的圖像

是以點(diǎn)(1,1)為中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形.

(1、

(III)證明：在曲線上任取一點(diǎn)X。，x0+----

、/一1,

由/'(玉,)=1----J知，過(guò)此點(diǎn)的切線方程為

—*■)

%一九0+111Z\

y一―-——七一=1-------T(尤一%).

/-1[_(%-1);

令X=1得y=泡土1,切線與直線x=l交點(diǎn)為1,互擔(dān)].

X。-1(XO-1J

令y=x得y=2x()-1,切線與直線y=x交點(diǎn)為(2x0-l,2x0-1).

直線x=1與直線y=x的交點(diǎn)為(1,1).

從而所圍三角形的面積為-■—1