高考試題-數(shù)學理

2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（海南卷）

理科數(shù)學

數(shù)學（理）試題頭說明：

本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，其中第II卷第22—24題為選

考題，其它題為必考題.考生作答時，將答案答在答題卡上.在本試卷上答題無效.考試結

束后，將本試卷和答題卡一并交回.

注意事項：

1.答題前，考生務必先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，認真核對條形碼上的姓名、

準考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上.

2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號；非選

擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚.

3.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.

4.保持卡面清潔，不折疊，不破損.

5.做選考題時，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂

?

參考公式：

樣本數(shù)據X1，X2，…，X”的標準參錐體體積公式

V=-Sh

3

其中亍為樣本平均數(shù)其中S為底面面積，h為高

柱體體積公式球的表面積、體積公式

V=ShS=4nR：丫=一兀/?’

3

其中S為底面面積，h為高其中R為球的半徑

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.已知函數(shù)y=2sin（（yx+⑼3>0））在區(qū)間［0,2句的圖像如下：

那么。=()

11

A.1B.2C.-D.-

23

z?—2z

2.已知復數(shù)Z=貝——-=()

z-1

A.2iB.—2iC.2D.—2

3.如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為()

4.設等比數(shù)列｛為｝的公比q=2,前c項和為

貝山二()

的

5.刪

6.已知0]>02>。3>0,則使得(1一。/)2<1(1=1,23)都成立的X取值范圍是()

21(1)(21

A.0,—B.0,—C.0)—D.0,—

a

JaJ、03>k)

3—sin70°

7.)

2-cos210°

72

A.B.2D.

222

8.平面向量。,b共線的充要條件是()

A.a，b方向相同B.a,b兩向量中至少有一個為零向量

32GR,b=AaD.存在不全為零的實數(shù)4,%，+

9.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加?

天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外兩位前面.不同的安排方法共有()

A.20種B.30種C.40種D.60種

10.由直線x=，,x=2,曲線y=l■及X軸所圍圖形的面積為(

)

2X

1517

A.——B.C.-In2D.21n2

4T2

11.己知點P在拋物線=4x上，那么點P到點。(2,-1)的距離與點P到拋物線焦點距離

之和取得最小值時，點P的坐標為()

A.f—1jB.f—>1jC.(L2)D.(1,—2)

12.刪

第n卷

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題?第21題為必考題，每個試題考生都必須做

答.第22題?第24題為選考題，考生根據要求做答.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.已知向量Q=（0,—,11）,b=（4,10）,|癡+“=屈且入〉0,貝iJ4=.

14.設雙曲線工-二=1的右頂點為A,右焦點為F.過點F平行雙曲線的一條漸近線的直線

916

與雙曲線交于點B,則△AFB的面積為.

15.一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直底面.已知該六棱柱的頂點都在同?個球面

上，且該六棱柱的體積為三，底面周長為3,則這個球的體積為

8------------

16.從甲、乙兩品種的棉花中各抽測了25根棉花的纖維長度（單位：mm）,結果如下：

甲品種：271273280285285287292294295301303303307

308310314319323325325328331334337352

乙品種：284292295304306307312313315315316318318

320322322324327329331333336337343356

由以上數(shù)據設計了如下莖葉圖

甲乙

3127

7550284

5422925

8733130467

94031235568

8

855332022479

741331367

343

ccr-r

根據以上莖葉圖，對甲、乙兩品種棉花的纖維長度作比較，寫出兩個統(tǒng)計結論:

;

②.

三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分12分）

已知｛《｝是一個等差數(shù)列，且4=1，%=—5.

（I）求｛4｝的通項?！埃?/p>

（II）求｛4｝前0項和5”的最大值.

18.（本小題滿分12分）

如圖，已知點P在正方體A6CO—A'6'C'。'的對角線8。上，ZPDA=60°.

（I）求OP與CC'所成角的大??；

（II）求DP與平面A4'。'。所成角的大小.

19.（本小題滿分12分）

48兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X1和X2.根據市場分析，X1和X2的分布列分別

（I）在A,B兩個項目上各投資100萬元，丫1和丫2分別表示投資項目A和8所獲得的利潤,

求方差DY1，。丫2；

（II）將x（0W其100）萬元投資A項目，100—X萬元投資B項目，/（X）表示投資A項目

所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和.求一（X）的最小值，并指出x為何值時,

/（X）取到最小值.

（注：D（aX+b）=a2DX）

20.（本小題滿分12分）

在直角坐標系xOy中，橢圓G：=+==1（a>b>0）的左、右焦點分別為G,后.F2也是

a~b~

拋物線C2：y2=4x的焦點，點M為G與Cz在第一象限的交點，且|MFzl=?.

3

(I)求Q的方程；

(II)平面上的點N滿足赤=詬+麗，直線l〃MN,且與G交于A,B兩點，若

OAOB=0,求直線/的方程.

21.(本小題滿分12分)

設函數(shù)/(x)=ax+—L(a,/>eZ),曲線y=/(x)在點(2,/(2))處的切線方程為y=3.

x+b

(i)求y(x)的解析式:

(H)證明：函數(shù)y=/(x)的圖像是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；

(III)證明：曲線y=/(x)上任一點的切線與直線x=l和直線*x所圍三角形的面積為定值,

并求出此定值.

請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.做答時，用

2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑.

22.(本小題滿分10分)選修4—1：幾何證明選講

如圖，過圓。外一點〃作它的一條切線，切點為A,過A點作直線AP垂直直線。M,垂

足為P.

(I)證明：OMOP=OA2；

(II)N為線段4P上一點，直線N8垂直直線。N,且交圓。于8點.過8點的切線交直

線ON于K.證明：ZOKM=90°.

23.(本小題滿分10分)選修4—4；坐標系與參數(shù)方程

x怎一戊

已知曲線G：〈(。為參數(shù))，曲線C2：

[y=sin。

(I)指出C1，C2各是什么曲線，并說明C1與C2公共點的個數(shù);

(H)若把C1，C2上各點的縱坐標都壓縮為原來的一半，分別得到曲線G'，.型G'，C；

的參數(shù)方程.C；與公共點的個數(shù)和C1與。2公共點的個數(shù)是否相同？說明你的理由?

24.(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講

已知函數(shù)/(刈=卜_8|_卜_4|.

(I)作出函數(shù)y=/(x)的圖像；

(II)解不等式|x—8|—|x—4|>2.

參考答案

BBDCABCDADAC

(13)3(14)一(15)—

153

(16).1.乙品種棉花的纖維平均長度大于甲品種棉花的纖維平均長度(或：乙品種棉花的纖

維長度普遍大于甲品種棉花的纖維長度)。

2.甲品種棉花的纖維長度較乙品種棉花的纖維長度更分散.(或：乙品種棉花的纖維長度較

甲品種棉花的纖維長度更集中(穩(wěn)定).甲品種棉花的纖維長度的分散程度比乙品種棉花的纖

維長度的分散程度更大).

3.甲品種棉花的纖維長度的中位效為307mm,乙品種棉花的纖誰長度的中位數(shù)為318mm

4.乙品種棉花的纖堆長度基本上是對稱的.而且大多集中在中間(均值附近).甲品種棉

花的纖維長度除一個特殊值(352)外.也大致對稱.其分布較均勻.

三、解答題

(17)解：

,、fa,+J=1

(1)設｛4｝的公差為d,由已知條件，5,解出6=3,d=—2,

所以Qa=%-l)d=-2n+5o

(2)Sn=na1+—--d=-n~+4〃=4-(〃-2)

所以"=2時，取到最大值4。

(18)解:

如圖，以。為原點，D4為單位長度建立空間直角坐標系。-孫z。

則方=(i,o,o),dF=(o,o,i).

連結80,8力

在平面58'。'。中，延長。P交"。'于

設麗=W，M,1)(M>0),

由已知(而，萬耳=60°,

由方麗=|網西cos(甌西

可得2M=12m2+1。

解得機=也，所以而=(Y2,Yl,i

222

也xO+也xO+lxl/T

(I)因為cos<DH,CC'>=2------'------=—,

lxV22

所以＜麗，頁＞=45°.

即。尸與CC'所成的角為45°.

(II)平面AA'D'D的一個法向量是DC=(0,10).

^-xO+^^x1+1x0.

因為cos<DH,DC>-----------------=—,

lxV22

所以＜。”,。。＞=60".

可得DP與平面AA'D'D所成的角為30°.

19.解：

(I)由題設可知外和與的分布列分別為

=(5—6)2乂0.8+(10—6)2然0.2=4,

嗎=2x0.2+8x0.5+12x0.3=8,

"=(2—8)2x0.2+(8—8>X0.5+(12-8)2X0.3=12.

100—x

(II)f(x)=D

1002

x100-X2

IDY

t+IDY

ibo1002

=磊[,+3(]00_》)2]

=(4x2-600.r+3X10()2),

當了=膽=75時，/(x)=3為最小值.

2x4

20.解:

(I)由。2：y2=4x知6(1,0).

設%),M在G上，因為|加入|=|，所以玉+1=1,

組一2_2顯

得芯=§,%=.

M在G上，且橢圓C的半焦距c=l,于是

48,

<9/3b?消去。2并整理得

b-=a2-1.

9aJ37/+4=0,

解得a=2(a=］不合題意，舍去).

3

22

故橢圓G的方程為?+1~=1?

(H)由何+麗=而知四邊形是平行四邊形，其中心為坐標原點。，

因為1〃MN,所以/與0M的斜率相同，

276

故/的斜率女=一尚一=指.

3

設/的方程為y=J4(x—m).

3x2+4y2=12,

由《消去y并化簡得

y=y/6(x-m)f

9x2-16mx+8優(yōu)2-4=0.

設A(』，％),B(X2,必)，

16m8m2-4

%+工2=丁，百次2二--—?

因為。A_LOB,所以玉4=0?

x}x24-y}y2-XjX2+6(玉-m)(x2-m)

2

-lxyx2-6m(x}+x2)+6m

Sm2-4/16/72/

=7--------om----+6m2

99

12c八

二一(14加2-28)=0.

所以m=±^2.

此時A=(l6m了-4x9(8m2-4)>0,

故所求直線/的方程為y=Jdx—26，或>=?+26.

21.解：

1

(I)fM

。+與2

2aH-----=1,(

十口2+b.。=1，

于是《[解Z得IM！

1八》=—L

a-------7=0,i

因q,Z?eZ,故/(x)=xd----.

x-1

(H)證明：已知函數(shù)%=%，都是奇函數(shù).

X

所以函數(shù)g(x)=x+，也是奇函數(shù)，其圖像是以原點為中心的中心對稱圖形.

X

而/(x)=x-l+」一+1.

X-1

可知，函數(shù)g(x)的圖像按向量a=(1,1)平移，即得到函數(shù)/(X)的圖像，故函數(shù)/(X)的圖像

是以點(1,1)為中心的中心對稱圖形.

(1、

(III)證明：在曲線上任取一點X。，x0+----

、/一1,

由/'(玉,)=1----J知，過此點的切線方程為

—*■)

%一九0+111Z\

y一―-——七一=1-------T(尤一%).

/-1[_(%-1);

令X=1得y=泡土1,切線與直線x=l交點為1,互擔].

X。-1(XO-1J

令y=x得y=2x()-1,切線與直線y=x交點為(2x0-l,2x0-1).

直線x=1與直線y=x的交點為(1,1).

從而所圍三角形的面積為-■—1