北理上課課件工程力學(xué)12-2c10cc11a

工程力學(xué)（A）北京理工大學(xué)理學(xué)院力學(xué)系韓斌(12-2)36/III2一點的變形有正應(yīng)變(線應(yīng)變)和切應(yīng)變(剪應(yīng)變)§10.6應(yīng)變分析1.某點處（單元體的）變形的描述——應(yīng)變

xyz1)正應(yīng)變——某方向的線段單位長度的改變量：2)切應(yīng)變——沿2個正交方向的線段構(gòu)成的直角的角度改變量：在直角坐標(biāo)下，可有沿3個坐標(biāo)軸方向的正應(yīng)變：故在直角坐標(biāo)下，兩兩正交方向的切應(yīng)變有3個：單位：弧度（無量綱）3某點處（某點的單元體上）全體應(yīng)變（正應(yīng)變和切應(yīng)變）——構(gòu)成該點單元體上的一個二階對稱應(yīng)變張量xyz可寫為：4在，坐標(biāo)下2.平面內(nèi)的應(yīng)變狀態(tài)(與平面應(yīng)力狀態(tài)所對應(yīng))單元體的相應(yīng)尺寸與應(yīng)變相乘得單元體的絕對變形量xyxyxy，5在，坐標(biāo)下，方向到方向夾角：某點各個方位上應(yīng)變的描述稱為該點的應(yīng)變狀態(tài)xyyx即，分別為該點沿方向的正應(yīng)變和切應(yīng)變，與平面應(yīng)力狀態(tài)的分析類似，若作變量代換，令：6二向應(yīng)力狀態(tài)的斜面應(yīng)力公式：(10.30)(10.31)書上二向應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)變分析公式：(10.63)(10.64)書上7類似，也可求出該點的主應(yīng)變，主應(yīng)變方向8實驗裝置——應(yīng)變花：3個應(yīng)變片沿一定角度組合起來可證明：在應(yīng)力或變形不是很大的情況下（線彈性范圍）主應(yīng)力與主應(yīng)變的方向是重合的?？捎糜趯嶒灉y定一點處的應(yīng)變狀態(tài)45°45°直角應(yīng)變花120°120°等角應(yīng)變花應(yīng)變分析公式的應(yīng)用實例：9單向胡克定律比例系數(shù)稱為材料的彈性模量

比例系數(shù)稱為泊松比

§11.7應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系1.單向應(yīng)力狀態(tài)橫向應(yīng)變縱向應(yīng)變1在線彈性、小變形范圍內(nèi)：10剪切胡克定律——切變模量

可證明2.純剪應(yīng)力狀態(tài)在線彈性、小變形范圍內(nèi)：11只有作用時3.廣義胡克定律（適用于任意的三向應(yīng)力狀態(tài)）只有作用時只有作用時

只有作用時:12故某點為任意應(yīng)力狀態(tài)時應(yīng)滿足：xyz書上P274—(10.71)~(10.76)13xy特別對于平面應(yīng)力狀態(tài)：僅有三個應(yīng)力分量，其余應(yīng)力分量為零，故由廣義胡克定律：且有：即平面應(yīng)力狀態(tài)會產(chǎn)生z方向的正應(yīng)變—使板的厚度發(fā)生變化14對主單元體，廣義胡克定律為：主軸3主軸2主軸1書上P274—(10.77)~(10.79)15已知一構(gòu)件表面一點的應(yīng)變：求該點的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。例題5§10

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題16解：則例題5§10

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題設(shè)xy17整理后例題5§10

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題平面應(yīng)力狀態(tài)下的廣義胡克定律18解：

例題6§10

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題由該點主方向上的廣義胡克定律：yx某點的應(yīng)力狀態(tài)為純剪切，在該點測得與x軸夾角為方向上的正應(yīng)變是，已知，求。由于純剪切的主方向為與x軸夾角±45o方向，主應(yīng)力為xy19取一體積為的單元體,受應(yīng)力作用變形。4.體積變形變形后的體積：各邊長的改變量為：單位體積的改變量代入廣義胡克定律體積應(yīng)變20令稱為該點應(yīng)力的平均應(yīng)力

設(shè)稱為體變模量

對非主單元體由于切應(yīng)變不改變單元體的體積，上式仍成立。則或體積應(yīng)變定律此時21證明彈性模量與切變模量、泊松比間的關(guān)系證明：取一純剪單元體(正方形)例題7§10

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題非零主應(yīng)力分別為：，-，主方向為±45o方向ABCDD’*22關(guān)于第10章基本概念的幾點注意：1.關(guān)于一點處的單元體及單元體三對表面上的應(yīng)力xy單元體每對表面的物理意義是該點沿某個方位截面切開后的左右兩個內(nèi)部截面——這兩個內(nèi)部截面上的內(nèi)力是作用力與反作用力。2.關(guān)于某點的應(yīng)力狀態(tài)及主應(yīng)力和主方向1）一點處的主應(yīng)力表示了該點處應(yīng)力狀態(tài)的本質(zhì)特征——用一點處的應(yīng)力狀態(tài)(6個應(yīng)力分量)表示時與坐標(biāo)系的選擇有關(guān)，但該點的內(nèi)力分布本質(zhì)上應(yīng)與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，即該點的3個主應(yīng)力及3個主方向是坐標(biāo)不變量。232）某一點處的應(yīng)力狀態(tài)的疊加變形體因受外力作用產(chǎn)生內(nèi)力及應(yīng)力，則在變形體內(nèi)部某一點，幾組外力共同引起的應(yīng)力可視為每組外力引起的應(yīng)力的疊加：疊加時應(yīng)在相同方位的單元體上將相同的應(yīng)力分量代數(shù)疊加=+xy243.關(guān)于廣義胡克定律：而單向胡克定律只適用于單向應(yīng)力狀態(tài)廣義胡克定律適用于任意應(yīng)力狀態(tài)單向胡克定律25§11軸向拉壓§11.1軸向拉壓的應(yīng)力和變形1.軸向拉壓時的應(yīng)力FF軸向拉壓外力：沿桿件軸線作用的外力內(nèi)力：橫截面上只有軸力FN分布內(nèi)力系的等效橫截面上內(nèi)力的分布如何？26觀察實驗：桿件拉伸時的變形FN=A27軸向拉壓時的平截面假設(shè)：（1）變形前的橫截面變形后仍為平面，仍垂直于桿的軸線。（2）縱向纖維互不擠壓。PFN=A由此得出軸向拉壓橫截面正應(yīng)力公式：(11.1)若軸力或橫截面積沿軸線變化FN=FN(x),A=A(x)

----單向受力假定。(11.2)階梯桿錐形桿28

除集中力作用點附近以外的大部分區(qū)域PP拉壓正應(yīng)力公式的適用范圍：——圣維南原理軸向拉壓單元體的應(yīng)力分析：面上的應(yīng)力：由§10斜面應(yīng)力公式當(dāng)=0時，當(dāng)=45o時，重要結(jié)論軸向拉壓時292.軸向拉壓時的變形由廣義胡克定律：xyzPPll變形僅為沿桿軸的尺寸變化及橫向尺寸變化桿件的縱向伸長量(11.3)(11.4)30若沿整個桿件，F(xiàn)N=常數(shù)，EA=常數(shù)，則(11.5)l的符號與FN相同EA——桿件的拉壓剛度若沿整個桿件FN或E，A為分段常數(shù)(11.6)llFNFNl1l2l3E1,A1E2,A2E3,A3FNFN31

已知：求解：畫軸力圖AB段軸力:例題1§11軸向拉壓例題AB段變形：32BC段軸力:由于例題1§11軸向拉壓例題BC段變形：33長l,重量為W的直桿AB，上端固定，桿的EA已知，求自重作用下桿中的最大應(yīng)力及B點的位移。例題2§11軸向拉壓例題解：1.軸力方程，軸力圖2.桿中應(yīng)力34例題2§11軸向拉壓例題若桿長1m，橫截面積A=100mm2，比重長l,重量為W的直桿AB，上端固定，