剛體運動學和剛體轉動慣量

關于剛體運動學和剛體轉動慣量第一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日第四章剛體的轉動引言物體的形狀和大小不發(fā)生變化，即物體內(nèi)任意兩點之間的距離都保持不變——剛體。說明1)理想化的力學模型；2)任何兩點之間的距離在運動過程中保持不變；3)剛體可以看成是無數(shù)質(zhì)點組成的質(zhì)點系剛體可以看成一個包含由大量質(zhì)點、而各個質(zhì)點間距離保持不變的質(zhì)點系。第二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日4－1剛體的定軸轉動一、剛體運動1、平動當剛體中所有點的運動軌跡都保持完全相同時，或者說剛體內(nèi)任意兩點間的連線總是平行于它們的初始位置間的連線時，剛體的運動叫作平動。2、轉動剛體中所有的點都繞同一條直線作圓周運動，這種運動稱為轉動。這條直線叫作轉軸。平動是剛體的一種基本運動形式，剛體做平動時，剛體上所有點運動都相同，可用其上任何一點的運動來代表整體的運動。第三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日瞬時轉軸：轉軸隨時間變化——一般轉動固定轉軸：轉軸不隨時間變化——剛體定軸轉動定軸轉動的特點：各質(zhì)點都作圓周運動；各質(zhì)點圓周運動的平面垂直于軸線，圓心在軸線上；各質(zhì)點的矢徑在相同的時間內(nèi)轉過的角度相同。

OvP×ω,αrr定軸剛體參考方向θz第四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日3、剛體的一般運動一個汽車輪子在地上的滾動A、B、C、…各點的運動都不相同繞過o軸的轉動oABCoo輪子的平動ABCoABCoABABCCo剛體的運動＝平動＋轉動第五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日二、剛體轉動的角速度和角加速度角位置θ角速度ω角加速度α·pro轉動平面第六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日三、勻變速轉動當剛體定軸轉動時，如果在任意相等的時間間隔內(nèi)，角速度的增量都是相等的，這種變速轉動叫做勻變速轉動。角加速度

角速度

角位移角位置

四、角量與線量的關系速度切向加速度法向加速度oPvr第七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日例題、一轉動的輪子由于摩擦力矩的作用，在5s內(nèi)角速度由15rad/s勻減速地降到10rad/s

。求：(1)角加速度；(2)在此5s內(nèi)轉過的圈數(shù)；(3)還需要多少時間輪子停止轉動。解根據(jù)題意，角加速度為恒量。(1)利用公式(2)利用公式5秒內(nèi)轉過的圈數(shù)(3)再利用第八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日4－2力矩轉動定律轉動慣量一、力矩1、引入外力對剛體轉動的影響，與力的大小、方向和作用點的位置有關。力通過轉軸：轉動狀態(tài)不改變力離轉軸遠：容易改變力離轉軸近：不易改變2、力對點的力矩rFOrFMθ第九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日3、力對轉軸的力矩情況1：力與軸平行，則M=0力對O點的力矩在通過O點的軸上的投影稱為力對轉軸的力矩情況2：剛體所受的外力F在垂直于轉軸的平面內(nèi)力臂：轉軸和力的作用線之間的距離d稱為力對轉軸的力臂。力矩：力的大小與力臂的乘積，稱為力F對轉軸的力矩。M=FdrodF第十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日情況3：若力F不在垂直與轉軸的平面內(nèi)與轉軸平行的分力F2，在垂直與轉軸平面內(nèi)的分力F1只有分力F1才對剛體的轉動狀態(tài)有影響。4、合力矩F1F2Fn結論：合力矩對于每個分力的力矩之和。5、單位N·moPzprF1FF2第十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日二、轉動定律1、一個質(zhì)點的情況法向力Fn=man，通過轉軸，力矩為零切向力Ft=mat=mrα對轉軸的力矩為M=Ftr=mr2α質(zhì)點的角加速度與質(zhì)點所受的力矩成正比2、內(nèi)力矩dff’兩個內(nèi)力的合力矩為零。推廣：剛體的內(nèi)力力矩之和為零。第十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日3、剛體的情況把剛體看成是由許多質(zhì)點所組成的，對于質(zhì)點i，假設它的質(zhì)量為△mi，所受的外力為Fi，內(nèi)力為fi，則其中Mi為外力矩和內(nèi)力矩之和。合力矩＝外力矩之和＋外力矩之和=外力矩之和=M第十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日定義轉動慣量轉動定律：剛體繞定軸轉動時，剛體的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉動慣量成反比。說明：1)合外力矩和轉動慣量都是相對于同一轉軸而言的；2)轉動定律的地位與質(zhì)點動力學中牛頓第二定律相當，是解決剛體定軸轉動問題的基本方程。第十四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日三、轉動慣量1、定義

剛體的轉動慣量等于剛體上各質(zhì)點的質(zhì)量與各質(zhì)點到轉軸距離平方的乘積之和。2、說明

轉動慣量是標量；轉動慣量有可加性；單位：kg·m2

3、轉動慣量的計算若質(zhì)量連續(xù)分布若質(zhì)量離散分布

y

rix

z

yi

xi

mi

Δ第十五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日例2、求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉動慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。RO解：dm例1、求長為L、質(zhì)量為m的均勻細棒對圖中不同軸的轉動慣量。ABLXABL/2L/2CX解：取如圖坐標，dm=dx第十六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日例2、求質(zhì)量為m、半徑為R均勻圓盤的轉動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán),Rrdr第十七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日例3、內(nèi)半徑為R1

外半徑為R2

質(zhì)量為m的勻質(zhì)中空圓柱繞其對稱軸的轉動慣量第十八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日例4、質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)薄球殼繞過中心軸的轉動慣量在球面取一圓環(huán)帶，半徑第十九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日例5、質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)球體繞過球心軸的轉動慣量把球體看作無數(shù)個同心薄球殼的組合

第二十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日4、幾種剛體的轉動慣量垂直于桿的軸通過桿的中心J=Ml2/12

桿的端點J=Ml2/3對通過盤心垂直盤面的轉軸J=MR2/2

5、影響剛體轉動慣量的因素剛體的總質(zhì)量；剛體的質(zhì)量分布；轉軸位置。第二十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日四、平行軸定理推廣：若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，相距為d，剛體對其轉動慣量為J，則有——平行軸定理J＝JC＋md

2。說明：1)通過質(zhì)心的軸線的轉動慣量最??；2)平行軸定理可以用來計算剛體的轉動慣量。ABLXABL/2L/2CXccodJJco第二十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日*垂直軸定理

對于薄板剛體，若建立坐標系Oxyz，其中z軸與薄板垂直，Oxy平面在薄板內(nèi)，則薄板剛體對z軸的轉動慣量等于對x軸的轉動慣量和對y軸的轉動慣量之和

yx

z

圓盤

R

C

m第二十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日小結剛體的概念剛體的平動和轉動剛體轉動的角速度和角加速度力矩轉動定律轉動慣量幾種剛體的轉動慣量垂直于桿的軸通過桿的中心J=Ml2/12垂直于桿的軸通過桿的端點J=M