國高中數(shù)學聯(lián)賽廣東省預賽參考答案

2022年全國高中數(shù)學聯(lián)賽廣東省預賽參考答案（考試時間：2022年9月3日上午10∶00—11∶20）一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分．把答案填在橫線上．1.設數(shù)列滿足，則.答案：8041.由題意，，，且∴，.∴，∴.2.不等式對一切成立，則實數(shù)a的取值范圍為.答案：或.由題意，，即對成立.令∴解得.3.已知定義在正整數(shù)集上的函數(shù)滿足以下條件：(1)，其中為正整數(shù)；(2).則.答案：2023066.在(1)中，令得，.①令得，.②令，并利用(2)得，.③由③②得，.代入①得，∴.4.方程一共有個解.答案：4.方程的所有解為；方程的所有解為；方程的所有解為；方程的所有解為；方程的所有解為；一般地，方程的所有解為.5.設半徑為10厘米的球中有一個棱長為整數(shù)（厘米）的正方體,則該正方體的棱長最大等于.答案：11厘米.設正方體的棱長為，因為正方體的對角線長不大于球的直徑，所以，，即，∴，即.6.一個玻璃杯的內(nèi)壁是由拋物線繞y軸旋轉而構成的.請問能接觸到杯底的球的半徑最大是.答案：.過拋物線頂點與球心作截面，設球的半徑為，由.由題意，方程沒有非零實數(shù)解.∴7.計算：.答案：.原式.8.10名學生站成一排，要給每名學生發(fā)一頂紅色、黃色或者藍色的帽子，要求每種顏色的帽子都要有，且相鄰的兩名學生帽子的顏色不同.則滿足要求的發(fā)帽子的方法共有種.答案：1530.推廣到一般情形，設個學生按題設方式排列的方法數(shù)為,則，，.從而，.∴.二、解答題：本大題共3小題，共56分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1．（本小題滿分16分）若是大于2的正整數(shù)，求的最小值.解：當時， 假設時,則當時，因此，所求最小值為.2．（本小題滿分20分）在一條線段上隨機獨立地取兩點，然后從這兩點處把線段分成三段.請問得到的三條新線段能構成三角形的概率是多少？解：令a,b和c為一個三角形的三邊，則a+b>c,b+c>a和c+a>b.不妨設開始時的線段為區(qū)間[0,1]，并且隨機選取的兩點為x和y，其中0<x<y<1.如下圖所示，“成功”的區(qū)域是由不等式，和圍成的三角形，面積為，而整個區(qū)域的面積為（因為y>x）.∴.答：得到的三條新線段能構成三角形的概率是.3．（本小題滿分20分）數(shù)列滿足，當時有.證明：對所有整數(shù)，有.證法1：證明：由已知得，在上式中以代替得到，兩式相減得，此式對所有整數(shù)均成立.設，則由于，故應在與之間.由于，故.因此當時，均有，故，證畢.證法2：證明：用歸納法證明加強命題：an≥EQ\F(n+2,10)n≥3．1當n=3,4時，a3=1≥EQ\F(5,10),a4=EQ\F(2,3)≥EQ\F(6,10)．結論成立．2假設當n－1時結論成立，當n+1時，an+1=EQ\F(2,n)a0+a1+…+an－1=EQ\F(2,n)1+a3+a4+…+an－1>EQ\F(2,n)1+EQ\F(5,10)+EQ\F(6,10)+…+EQ\F(n+1,10)=EQ\F(2,n)1+EQ\F(n+6n－3,20)=EQ\F(2,n)EQ\F(n2+3n+2,20)>EQ\F(n+3,10)．所以結論對n+1時亦成立．由歸納法原理及1,2可知an≥