數(shù)列的新定義

22五考點8數(shù)列的新定義22．由下面四個圖形中的點數(shù)分別給出了四個數(shù)列的前四項，將每個圖形的層數(shù)增加得到這四個數(shù)列的后繼項．按圖中多邊形的邊數(shù)依次稱這些數(shù)列“三角形數(shù)列、四形數(shù)列…，將構(gòu)圖邊數(shù)增加到n可到邊形數(shù)”，記它的第r項為Pn，r第圖YRN2（1求使得P（，r）36的小r的值；（2試推導P（，r）于、r的析式；（3是否存在這樣“n邊形數(shù)”，它的任意連續(xù)兩項的和均為完全平方數(shù)．若存在，指出所有滿足條件的數(shù)列，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．【考點歸納推理．【解）題意得，r）=1+2+…+r

r(r2

，令

rr2

＞，即r+r－＞，解得r∴最小的r．（2設(shè)n邊數(shù)列所應(yīng)的圖形中第r層的點數(shù)為

r

，則P，r）=

1r

，從圖中可以得出：后一層的點在－2條上增加了一點，另兩邊上的點數(shù)不變，所以

r

r

=n－，

1

，所以

{}r

是首項為1公為n的差數(shù)列，所以P（nr）=+

(nr(r2

；（3）P（n，r+1+P（n，r）=(－2）r+2r，時滿足題意；而結(jié)論要對于任意的正整數(shù)r都立，則－）

r

2

r的別式必須為0∴44（－2）=0，∴，故滿足題意的數(shù)列為三形數(shù)列．對于給數(shù)列

n

實常數(shù)pq使

cn

pcn

（p對于任意的∈

N

*都成立，我們稱這個數(shù)列

n

類列．

）五考點）（）若

，nn

n，

*

，判斷數(shù)列

n

n

M類數(shù)列，并說明理由；（2若數(shù)列

n

類列，則數(shù)列

n

n

n

n

是否一定是M類列，若是的，加以證明；若不是，說明理由；（）若數(shù)列

n

，1nn

N

*數(shù)列

項和為n

S

n

，求

S

n

的表達式，并判斷

n

M類列．【考點數(shù)列的應(yīng)用．【解）為

n

n

，即，，所以

類；nn

n

，即，q=0，

類數(shù)．n（2因為

n

類”，以

n

n

，

n

n

，所以

n

n

n

n

，因此，

n

類列．因為

n

類列，所以

n

，an

n

，所以

ann

nn

n

2

，當時

n

是M類列；當q≠0時，

n

不是M類數(shù)”（3當n為數(shù)時，（n

3

）

2

n

，當n為奇數(shù)時，

S

n

（

22

n

3所以S=n

kZkZ

．當n為偶數(shù)時

n

=

Sn

n

=

2

n

（

2

）=

n

，當n為奇數(shù)時，

n

=

Sn

n

=

2

（

2n

）

（n

≥

時也適合，所以n

,ZZ

，假設(shè)

類數(shù)列，n當n為偶數(shù)時，

n

2nn

，當n為奇數(shù)時，

n

n

pap=2，=3n

234561n1n五考點8數(shù)列的新定義234561n1n兩種情況矛盾，所以

n

M數(shù)列．我們規(guī)：對于任意實數(shù)A若存在數(shù)列

n

x（x得A

axx2x123

n

，則稱數(shù)A可表示成x進制形式，簡記為：A

x1

2

3

n

n

．如：A=

，則表示是一個2制形式的數(shù)，且A=（×22．（1已知=1x中≠0將表成x進制的簡記形式．（2若數(shù)列

n

1

，

ak

11

k

,kN

，n

=

123n3

（n

否存在實常數(shù)和，對于任意的n∈

N

，

bn

總成立？若存在，求出p和q；若不存在，說明理由．（3若常數(shù)t滿t≠0＞

，

n

=

tn

nn

dlimndn

．【考點數(shù)列與函數(shù)的綜合；數(shù)列的極限．【解）=1x）x

則=

x

；（2

aa2

11,2,a2

，∵

∴

an

1111n

1nn∴

a

n

1111n

n

（∈

N

的數(shù)列，n假設(shè)存在實常數(shù)p和q，對于任意的n

N

，

bpn

總成立，則

n

=

1

2

3

3

3

3

nnnn1,|1五考點8nnnn1,|1=

2

12

22352

3n

3

=

2

12

2

3

6

3n

=

2

12n17

，∴

p

2,7

．即存在實常數(shù)

p

2,7

，對于任意的∈

N

，

bpn

總成立；（3

12t3t2tnnnn

tn

Ctt3t4nnnt

t

4

nn

t

n=

0tnnn

t

2

3ttn]nntt

，∴

limn

nn

limn

,|1|

，即

limn

nn

1,t

．若數(shù)列{

n

}每一項都不為零，且對于任意的n

N

*

，都有

anan

=（為常數(shù)稱數(shù)列{

n

}類等比數(shù)列”已知數(shù){

n

}足：

1

=b（

R，b≠0于任意的

N

*

，都有

bn

n

．（1求證：數(shù)列{}“類等比數(shù)列；n（2若{

n

}單調(diào)遞增數(shù)列，求實數(shù)的值范圍；（3設(shè)數(shù){}前項為S，試探討nn

limn∞

Snbn

是否存在，說明理由．【考點數(shù)列的應(yīng)用；等比數(shù)列的性質(zhì)．【解）明：∵

n

n

，∴

n

n

n

，∴

bbnnb2nnn

，∴數(shù)列{}類比數(shù)列；n

2五考點8數(shù)列的新定義2（2∵

1

，

n

n

，∴

41

，∴b=n

n，n為n2n

，∵數(shù)列{}單調(diào)遞增數(shù)列，n∴

≤≤2k

，即

b

4，理得b2bbb

，解得

2≤2

，∴實數(shù)取值范圍為[

，2]（3結(jié)論：當=

時

Slimn∞bnn

，否則不存在．理由如下：由（2）可知

n

=

nnn2n

，①當

（

*

）時，bnn22k

4)bb

，bn1

)22k

k(1))

)4(2))b

，∴

Slimlim∞∞

44b))bb()b

44

2

；②當k（k

N

*

）時，bn2k

44(2bb

，bn13

)b)222k

=

1k4b)b)b

，Slimn∞∞n