狀態(tài)空間模型

-.z.引言狀態(tài)空間模型是應(yīng)用狀態(tài)空間分析法對動態(tài)系統(tǒng)所建立的一種數(shù)學(xué)模型,它是應(yīng)用現(xiàn)代控制理論對系統(tǒng)進(jìn)展分析和綜合的根底。狀態(tài)空間模型由描述系統(tǒng)的動態(tài)特性行為的狀態(tài)方程和描述系統(tǒng)輸出變量與狀態(tài)變量間變換關(guān)系的輸出方程組成。在經(jīng)典控制理論中，采用n階微分方程作為對控制系統(tǒng)輸入量u〔t〕和輸出量y〔t〕之間的時域描述，或者在零初始條件下，對n階微分方程進(jìn)展Laplace變換，得到傳遞函數(shù)作為對控制系統(tǒng)的頻域描述，"傳遞函數(shù)〞建立了系統(tǒng)輸入量U(s)=L[u(t)]和輸出量Y(s)=L[y(t)]之間的關(guān)系。傳遞函數(shù)只能描述系統(tǒng)的外部特性，不能完全反映系統(tǒng)內(nèi)部的動態(tài)特征，并且由于只考慮零初始條件，難以反映系統(tǒng)非零初始條件對系統(tǒng)的影響?，F(xiàn)代控制理論是建立在"狀態(tài)空間〞根底上的控制系統(tǒng)分析和設(shè)計理論，它用"狀態(tài)變量〞來刻畫系統(tǒng)的內(nèi)部特征，用"一階微分方程組〞來描述系統(tǒng)的動態(tài)特性。系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型描述了系統(tǒng)輸入、輸出與內(nèi)部狀態(tài)之間的關(guān)系，提醒了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的運(yùn)動規(guī)律，反映了控制系統(tǒng)動態(tài)特性的全部信息。龍格-庫塔(Runge-Kutta)方法是一種在工程上應(yīng)用廣泛的高精度單步算法。由于此算法精度高，采取措施對誤差進(jìn)展抑制，所以其實現(xiàn)原理也較復(fù)雜。該算法是構(gòu)建在數(shù)學(xué)支持的根底之上的。標(biāo)準(zhǔn)四階龍格——庫塔法的根本思想龍格和庫塔提出了一種間接地運(yùn)用Taylor公式的方法，即利用y(*)在假設(shè)干個待定點上的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值做出線性組合式，選取適當(dāng)系數(shù)使這個組合式進(jìn)Taylor展開后與y(*i+1)的Taylor展開式有較多的項到達(dá)一致，從而得出較高階的數(shù)值公式，這就是龍格—庫塔法的根本思想。一、實驗原理龍格——庫塔法龍格—庫塔法是仿真中應(yīng)用最廣泛的方法。它以泰勒展開公式為根底，用函數(shù)f的線性組合代替f的高階導(dǎo)數(shù)項，防止了高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，又提高了精度。泰勒公式的階次取得越高，龍格—庫塔法所得的誤差等級越低，精度越高。最常用的是四階龍格—庫塔法，它雖然有一定的時間損耗，但比梯形法要快，而且與其它方法比擬，其誤差比歐拉法高三個數(shù)量級，比預(yù)估—校正法高兩個數(shù)量級，是自啟動的。它之所以廣泛用于仿真上，還有不可無視的優(yōu)點：編程容易、改變步長方便、穩(wěn)定性好。龍格庫塔方法的理論根底來源于泰勒公式和使用斜率近似表達(dá)微分，它在積分區(qū)間多預(yù)計算出幾個點的斜率，然后進(jìn)展加權(quán)平均，用做下一點的依據(jù)，從而構(gòu)造出了精度更高的數(shù)值積分計算方法。如果預(yù)先求兩個點的斜率就是二階龍格庫塔法，如果預(yù)先取四個點就是四階龍格庫塔法。一階常微分方程可以寫作：y'=f(*,y),使用差分概念。(Yn+1-Yn)/h=f(*n,Yn)推出〔近似等于，極限為Yn'〕Yn+1=Yn+h*f(*n,Yn)另外根據(jù)微分中值定理，存在0<t<1,使得Yn+1=Yn+h*f(*n+th,Y(*n+th))這里K＝f(*n+th,Y(*n+th))稱為平均斜率，龍格庫塔方法就是求得K的一種算法。利用這樣的原理，經(jīng)過復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)〔過于繁瑣省略〕，可以得出截斷誤差為O(h^5)的四階龍格庫塔公式：K1＝f(*n,Yn);K2=f(*n+h/2,Yn+(h/2)*K1);

K3=f(*n+h/2,Yn+(h/2)*K2);

K4=f(*n+h,Yn+h*K3);

Yn+1=Yn+h*(K1+2K2+2K3+K4)*(1/6);Smulink介紹Simulink是MATLAB軟件包之一，用于可視化的動態(tài)系統(tǒng)仿真，它適用于連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)，也適用線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。它采用系統(tǒng)模塊直觀地描述系統(tǒng)典型環(huán)節(jié)。因此可十分方便地建立系統(tǒng)模型而不需要花較多時間編程。正由于這些特點，Simulink廣泛流行，被認(rèn)為是最受歡送的仿真軟件。Simulink實際上是面向構(gòu)造的系統(tǒng)仿真軟件。利用Simulink進(jìn)展系統(tǒng)仿真的步驟是：〔1〕啟動Simulink，進(jìn)人Simulink窗口；〔2〕在Simulink窗口下，借助Simulink模塊庫，創(chuàng)立系統(tǒng)框圖模樣并調(diào)整模塊參數(shù)；〔3〕設(shè)置仿真參數(shù)后，啟動仿真；〔4〕輸出仿真結(jié)果。二、設(shè)備和儀器微型計算機(jī)、MATLAB軟件三、設(shè)計方法運(yùn)行MATLAB，在MATLAB窗口中按SimuLink按鈕，啟動SimuLink庫瀏覽器，在瀏覽器窗口上選createanewmodem命令，得到一個空模型，從Library:SimuLink窗口中找到需要的模塊，將這些模塊拖到空模型窗口中。將空模型窗口中的排好，并按要求連接。在保存好的模型窗口中，選Simulation\Paramters命令設(shè)置各模塊的參數(shù)和仿真參數(shù)。給模型取一個名字，保存起來。選Simulation\Start命令，進(jìn)展仿真。四、設(shè)計過程啟動Simulink窗口及模型庫用戶首先進(jìn)入MATLABMAND窗口，鍵人Simulink，立即彈出Simulink模塊庫窗口，如圖3-1所示。圖3-1Simulink模塊庫系統(tǒng)框圖模型的建立系統(tǒng)框圖模型建立的過程如下：1、建立模型窗口建立新的模型窗口常有四種方法：〔1〕在MATLABMAND窗口下，鍵人Simulink，彈出Simulink模塊庫窗口同時，也彈出一個Untitled窗口，該窗口為未取名的模擬窗口，用戶可在該窗口下建立新的系統(tǒng)框圖模型?！?〕在Simulink窗口下，用鼠標(biāo)選取菜單[File]中[New]子菜單的[Model]后，會彈出一個Untitled窗口，如圖3-2所示，該窗口供用戶建立系統(tǒng)框圖模型。圖3-2Untitled模型窗口〔3〕假設(shè)模型文件已存在，Simulink窗口下，選擇菜單[File]中[Open]命令，輸入文件名，即翻開一個已存在的方框圖模型。2、選取模塊或模塊組在建立框圖模型過程中，需進(jìn)展如拷貝、刪除模塊等操作，必須首先選擇模塊或模塊組，具體操作如下：〔1〕在模型或模塊庫的窗口內(nèi)，找出所需模塊圖標(biāo)，用鼠標(biāo)左鍵單擊。圖標(biāo)四角出現(xiàn)黑圓點，表示該模塊已被選中。〔2〕在模型或模塊庫窗口內(nèi)，用鼠標(biāo)左鍵在窗口矩形邊界兩個對角單擊一下，即生成一個邊界框?qū)⑺鑾讉€模塊圖標(biāo)包圍，松開鼠標(biāo)，則邊界框內(nèi)模型和連接線出現(xiàn)黑圓點，表示這些模型〔包括在連接線〕均被選中。用同樣方法可以選取一個系統(tǒng)框圖模塊的全部模塊。3、模塊拷貝及刪除用戶在建立自己模型時候，常常需要從Simulink模塊庫，其他模塊庫或其他模型窗口復(fù)制所需的模塊并移動至自己的模型窗口內(nèi)。有兩種操作方法；鼠標(biāo)拖動方法和菜單命令法。介紹一種如下。鼠標(biāo)拖動法如下：〔1〕翻開模塊庫窗口或模型窗口?！?〕將鼠標(biāo)移至要拷貝的模塊圖標(biāo)上，按下鼠標(biāo)左鍵并保持?！?〕移動鼠標(biāo)將模塊圖標(biāo)拖至目標(biāo)模型窗口一定位置?！?〕松開鼠標(biāo)左鍵，模塊圖標(biāo)保存在目標(biāo)模擬窗口內(nèi)，模塊拷貝完成。模塊的刪除有兩種方法：〔1〕選取要刪除的模型，從[Edit]菜單中選取[Clear]或[Cut]令，用[Cut]命令刪除的模塊允許使用[Paste]粘貼在另一個地方?！?〕選取要刪除的模塊，并按[Del]鍵。Simulink允許模塊更名，圖標(biāo)大小改變、模塊圖標(biāo)移動、模塊圖標(biāo)旋轉(zhuǎn)等操作。模塊圖標(biāo)旋轉(zhuǎn)快捷鍵是CTRL+R。4、模塊參數(shù)設(shè)置用鼠標(biāo)雙擊待設(shè)置參數(shù)的模塊圖標(biāo)，翻開模塊對話框，按對話框欄目中提供的信息，輸入或改變模塊參數(shù)。按[Close]，模塊參數(shù)設(shè)置或修改完成。5、模塊連接線模塊之間的連接線是信號線，每根連接線都表示標(biāo)量或向量信號的傳輸，連接線的箭頭表示信號流向。連接線把一個模塊的輸出端口和另一個模塊的輸入端口連接起來，也可以利用分支線把一個模塊的輸出端口和幾個模塊的輸人端口連接起來。6、模型文件取名及保存一旦把模型窗口上各模型連接起來，一個系統(tǒng)方框圖模型建立工作就已完成。選擇模型窗口[File]菜單中[Saveas]命令，彈出對話框，填人模型文件名。系統(tǒng)仿真運(yùn)行系統(tǒng)仿真運(yùn)行常有兩種方法進(jìn)展：1、Simulink模型窗口下的仿真運(yùn)行在Simulink模型窗口下進(jìn)展仿真操作簡單、直觀，不必記憶命令的語法規(guī)則，人機(jī)交互方式選擇或修改仿真參數(shù)，模型參數(shù)等。具體操作如下：〔1〕翻開系統(tǒng)模型窗口?！?〕從菜單[Simulation]中選取[Parameters]，彈出仿真參數(shù)對話框。如圖3-3所示。圖3-3仿真參數(shù)對話框〔3〕應(yīng)用仿真參數(shù)在通過SimulationPrameters對話框設(shè)置或修改好仿真參數(shù)后，準(zhǔn)備應(yīng)用到用戶模型仿真中，按對話框中[Apply]鍵，再按對話框中[Close]鍵，關(guān)閉對話框?！?〕仿真開場和停頓從[Simulation]菜單中選取[Start]命令，仿真立即開場運(yùn)行，這時[Start]變?yōu)閇Stop]。假設(shè)要停頓仿真，從[Simulation]菜單中選擇[Stop]，仿真運(yùn)行立即停頓。假設(shè)要使仿真運(yùn)行暫停，可從[Simulation]菜單中選擇[Pause]，這時[Pause]變?yōu)閇Continue]。假設(shè)要使仿真繼續(xù)運(yùn)行，選擇[Continue]。仿真結(jié)果輸出1、利用Scope模塊在仿真期間，Scope模塊還具有放大、縮小功能以便更清晰顯示感興趣的區(qū)域，Scope模塊還可將數(shù)據(jù)存儲在丁作空間〔Workspace〕內(nèi)。利用*Y圖形模型，可顯示兩個變量之間變化軌跡。2、利用變量返回值利用Connectionl模塊子庫的Out模塊，建立如圖3-4的模型。仿真運(yùn)行后，輸出量yout保存在工作空間內(nèi)，可供用戶調(diào)用，繪制輸出軌跡。圖3-4Out模塊應(yīng)用3、利用ToWorkspace模塊建立如圖3-4所示的Simulink模型，模型中采用兩個ToWorkspace模塊，一個用于記錄時間變量t，一個用來記錄變量y。變量名t和y通過翻開ToWorkspace模塊對話框填入。ToWorkspace只能承受一個輸入變量。仿真完畢后，在MATLABMAND窗口下，鍵入plot〔t，y〕可觀察輸出y的軌跡。仿真結(jié)果可以以數(shù)據(jù)文件的形式存起來，有兩種方法：〔1〕利用MATLABMAND窗口，鍵入ty=[ty]；savetyydout.dat-Ascii圖3-4ToWorkspace模塊應(yīng)用〔2〕利用ToFile模塊。仿真結(jié)果課程設(shè)計心得體會經(jīng)過這次課程設(shè)計，我對MATLAB有了較深的認(rèn)識，它在數(shù)學(xué)方面，繪圖方面都有較龐大的系統(tǒng)，特別是這次課程設(shè)計的Simulink系統(tǒng)的繪圖功能讓我認(rèn)識到MATLAB的功