2021年福建省泉州市巖峰中學(xué)高一數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

2021年福建省泉州市巖峰中學(xué)高一數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.Ａ． Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．參考答案：A2.已知，，，則的大小關(guān)系是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A3.已知函數(shù)，則函數(shù)定義域是（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．Ｄ．參考答案：C略4.設(shè)全集，集合，集合，則（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C5.已知函數(shù)f(x)＝，則f(－1)的值是(

)．A．－2

B．－1

C．0

D．1參考答案：D6.設(shè)奇函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上是增函數(shù)，且f（﹣1）=﹣1，若函數(shù)f（x）≤t2﹣2at+1對(duì)所有的x∈[﹣1，1]都成立，則當(dāng)a∈[﹣1，1]時(shí)，t的取值范圍是(

)A．﹣2≤t≤2 B．C．t≥2或t≤﹣2或t=0 D．參考答案：C考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合．專題：探究型．分析：奇函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上是增函數(shù)，且f（﹣1）=﹣1，在[﹣1，1]最大值是1，由此可以得到1≤t2﹣2at+1，因其在a∈[﹣1，1]時(shí)恒成立，可以改變變量，以a為變量，利用一次函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化求解．解答：解：奇函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上是增函數(shù)，且f（﹣1）=﹣1，在[﹣1，1]最大值是1，∴1≤t2﹣2at+1，當(dāng)t=0時(shí)顯然成立當(dāng)t≠0時(shí)，則t2﹣2at≥0成立，又a∈[﹣1，1]令r（a）=﹣2ta+t2，a∈[﹣1，1]當(dāng)t＞0時(shí)，r（a）是減函數(shù)，故令r（1）≥0，解得t≥2當(dāng)t＜0時(shí)，r（a）是增函數(shù)，故令r（﹣1）≥0，解得t≤﹣2綜上知，t≥2或t≤﹣2或t=0故選C．點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)恒成立求參數(shù)的問題，此類題求解的關(guān)鍵是解題中關(guān)系的轉(zhuǎn)化，本題借助單調(diào)性確定最值進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這是不等式型恒成立問題常用的轉(zhuǎn)化技巧7.已知tanα=﹣2，其中α是第二象限角，則cosα=（）A．﹣ B． C．± D．﹣參考答案：A【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用．【分析】由tanα的值，以及α是第二象限角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可求出cosα的值．【解答】解：∵tanα=﹣2，其中α是第二象限角，∴cosα=﹣=﹣．故選：A．8.已知，若有，，則的取值范圍是

▲

。參考答案：略9.已知函數(shù)的一部分圖象如右圖所示，如果，則（

） A

B.C

D參考答案：C10.m，n，l為不重合的直線，α，β，γ為不重合的平面，則下列說法正確的是（）A．m⊥l，n⊥l，則m∥n B．α⊥γ，β⊥γ，則α⊥βC．m∥α，n∥α，則m∥n D．α∥γ，β∥γ，則α∥β參考答案：D【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】對(duì)4個(gè)命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：由m⊥l，n⊥l，在同一個(gè)平面可得m∥n，在空間不成立，故錯(cuò)誤；若α⊥γ，β⊥γ，則α與β可能平行與可能相交，故錯(cuò)誤；m∥α，n∥α，則m、n可能平行、相交或異面，故錯(cuò)誤；α∥γ，β∥γ，利用平面與平面平行的性質(zhì)與判定，可得α∥β，正確．故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知x、y、z均為正數(shù)，則的最大值為______________.參考答案：【分析】根據(jù)分子和分母的特點(diǎn)把變形為，運(yùn)用重要不等式，可以求出的最大值.【詳解】（當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào)）,（當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào)），因此的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了重要不等式，把變形為是解題的關(guān)鍵.12.已知，當(dāng)x=_______________時(shí)，.

參考答案：2或3.略13.函數(shù)的定義域是

。（用集合表示）參考答案：14.函數(shù)的值域?yàn)?/p>

．參考答案：15.（3分）若f（x）=x（|x|﹣2）在區(qū)間[﹣2，m]上的最大值為1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

．參考答案：[﹣1，+1]考點(diǎn)： 函數(shù)的最值及其幾何意義．專題： 計(jì)算題；作圖題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 作函數(shù)f（x）=x（|x|﹣2）的圖象，由圖象知當(dāng)f（x）=1時(shí)，x=﹣1或x=+1；從而由圖象求解．解答： 作函數(shù)f（x）=x（|x|﹣2）的圖象如下，當(dāng)f（x）=1時(shí)，x=﹣1或x=+1；故由圖象可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[﹣1，+1]．故答案為：[﹣1，+1]．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了函數(shù)的圖象的應(yīng)用及最值的求法，屬于基礎(chǔ)題．16.設(shè)非零向量，的夾角為，記，若，均為單位向量，且，則向量與的夾角為__________．參考答案：【分析】根據(jù)題意得到，，再根據(jù)向量點(diǎn)積的公式得到向量夾角即可.【詳解】由題設(shè)知，若向量，的夾角為，則，的夾角為.由題意可得，，.∵，，，，向量與的夾角為.故答案為：.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了向量數(shù)量積的應(yīng)用，以及向量夾角的求法，平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:(1)求向量的夾角，（此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.17.當(dāng)x滿足條件時(shí)，求出方程x2﹣2x﹣4=0的根．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況.在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車流密度（單位：輛/千米）的函數(shù).當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)，研究表明：當(dāng)時(shí)，車流速度是車流密度x的一次函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)車流密度為多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/每小時(shí)）可以達(dá)到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時(shí)）。參考答案：解：（1）由題意：當(dāng)；當(dāng)再由已知得故函數(shù)的表達(dá)式為………………6分（2）依題意并由（1）可得當(dāng)為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，其最大值為60×20=1200；當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立。所以，當(dāng)在區(qū)間[20，200]上取得最大值.綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間[0，200]上取得最大值即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時(shí).……………12分略19.（12分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1，直線B1C與平面ABC成30°角．（I）求證：平面B1AC⊥平面ABB1A1；（II）求直線A1C與平面B1AC所成角的正弦值．參考答案：考點(diǎn)： 平面與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．專題： 證明題．分析： （I）欲證平面B1AC⊥平面ABB1A1，關(guān)鍵是尋找線面垂直，而AC⊥平面ABB1A1，又AC?平面B1AC，滿足面面垂直的判定定理；（II）過A1做A1M⊥B1A1，垂足為M，連接CM，∠A1CM為直線A1C與平面B1AC所成的角，然后在三角形A1CM中求出此角的正弦值即可．解答： 解：（I）證明：由直三棱柱性質(zhì)，B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥AC，又BA⊥AC，B1B∩BA=B，∴AC⊥平面ABB1A1，又AC?平面B1AC，∴平面B1AC⊥平面ABB1A1．（II）解：過A1做A1M⊥B1A1，垂足為M，連接CM，∵平面B1AC⊥平面ABB1A，且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A，∴A1M⊥平面B1AC．∴∠A1CM為直線A1C與平面B1AC所成的角，∵直線B1C與平面ABC成30°角，∴∠B1CB=30°．設(shè)AB=BB1=a，可得B1C=2a，BC=，∴直線A1C與平面B1AC所成角的正弦值為點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了平面與平面垂直的判定，以及直線與平面所成的角，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力．20.已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx，（a，b為常數(shù)，且a≠0）滿足條件f（﹣x+5）=f（x﹣3），且方程f（x）=x有兩個(gè)相等的實(shí)根． （1）求f（x）的解析式； （2）是否存在實(shí)數(shù)m，n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]與[3m，3n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，請(qǐng)說明理由． 參考答案：【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值． 【專題】綜合題． 【分析】（1）由f（﹣x+5）=f（x﹣3），得函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1，又方程f（x）=x有兩相等實(shí)根，即ax2+（b﹣1）x=0有兩相等實(shí)根0，由此可求出a，b的值． （2）本題主要是借助函數(shù)的單調(diào)性確定出函數(shù)在[m，n]上的單調(diào)性，找到區(qū)間中那個(gè)自變量的函數(shù)值是3m，3n，由此建立方程求解，若能解出值，說明存在，否則不存在． 【解答】解：（1）∵f（﹣x+5）=f（x﹣3），∴f（x）的對(duì)稱軸為x=1， 即﹣=1即b=﹣2a． ∵f（x）=x有兩相等實(shí)根，∴ax2+bx=x， 即ax2+（b﹣1）x=0有兩相等實(shí)根0， ∴﹣=0， ∴b=1，a=﹣， ∴f（x）=﹣x2+x． （2）f（x）=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+≤， 故3n≤，故m＜n≤， 又函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1，故f（x）在[m，n]單調(diào)遞增則有f（m）=3m，f（n）=3n， 解得m=0或m=﹣4，n=0或n=﹣4，又m＜n，故m=﹣4，n=0． 【點(diǎn)評(píng)】本題考點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)考查綜合利用函數(shù)的性質(zhì)與圖象轉(zhuǎn)化解題，（1）中通過有相等的0根這一特殊性求參數(shù)；（2）中解法入手最為巧妙，根據(jù)其圖象開口向下這一性質(zhì)，求出函數(shù)的最大值，利用最大值解出參數(shù)n的取值范圍，從而結(jié)合對(duì)稱軸為x=1得出函數(shù)在區(qū)間[m，n]單調(diào)性，得到方程組，求參數(shù)，題后應(yīng)好好總結(jié)每個(gè)小題的轉(zhuǎn)化規(guī)律． 21.如圖，在半徑為2，圓心角為的扇形金屬材料中剪出一個(gè)四邊形MNQP，其中M、N兩點(diǎn)分別在半徑OA、OB上，P、Q兩點(diǎn)在弧上，且OM=ON，MN∥PQ．（1）若M、N分別是OA、OB中點(diǎn)，求四邊形MNQP面積的最大值．（2）PQ=2，求四邊形MNQP面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】HN：在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型；HW：三角函數(shù)的最值．【分析】（1）設(shè)∠AOP=∠BOQ=θ∈（0，），則∠POQ=﹣2θ，且此時(shí)OM=ON=1，利用分割法，即可求四邊形MNQP面積的最大值．（2）PQ=2，可知∠POQ=，∠AOQ=∠BOP=，利用分割法，即可求四邊形MNQP面積的最大值．【解答】解：（1）連接OP，OQ，則四邊形MNQP為梯形．設(shè)∠AOP=∠BOQ=θ∈（0，），則∠POQ=﹣2θ，且此時(shí)OM=ON=1，四邊形MNQP面積S=sinθ+sinθ+×2sin（﹣2θ）﹣=﹣4sin2θ+2sinθ+，∴sinθ=，S取最大值；（2）設(shè)OM=ON=x∈（0，2），由PQ=2可知∠POQ=，∠AOQ=∠BOP=，∴sin=，∴四邊形MNQP面積S=x+x+﹣x2=﹣x2+x+，∴x=，S取最大值為．22.如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA1，D為BC的中點(diǎn)．（1）證明：A1B⊥平面AB1C；（2）求直線A1D與平面AB1C所成的角的大小．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）證明A1A⊥AC．AC⊥A1B．推出AB1⊥A1B．即可證明A1B⊥平面AB1C．（2）連結(jié)A1C，設(shè)AB1∩A1B=O，連CO，交A1D于G．說明G為△A1BC的重心．推出∠A1GO是A1D與平面AB1C所成的角．設(shè)AB=AC=AA1=1，在Rt△A1OG中，求解直線A1D與平面AB1C所成的角為60°．【解答】（1）證明：圖1所示，因?yàn)锳1A⊥平面ABC，則A1A⊥AC．又AC⊥AB，則AC⊥平面AA1B1B，所以