圖形的認(rèn)識(shí)第8講圓的有關(guān)性質(zhì)

好好學(xué)習(xí)，天天向上好好學(xué)習(xí)，天天向上【知識(shí)梳理】第八節(jié)【知識(shí)梳理】第八節(jié)圓的有關(guān)性質(zhì)【方法技巧】1、根據(jù)垂徑定理及其推論可知，對(duì)于一個(gè)圓和一條直徑來說，如果具備了以下五個(gè)條件中的任的劣弧。【方法技巧】2、圓周角定理及其推論與弧、弦、圓心角的關(guān)系類似，其前提都是在同圓或者等圓中，運(yùn)用圓經(jīng)常要用到圓周角定理及其推論?！究键c(diǎn)突破】考點(diǎn)一：垂徑定理及其推論【考點(diǎn)突破】例1、如圖為⊙O的弦，半徑OD⊥AB于點(diǎn)C．若AB=8，CD=2，則⊙O的半徑長為（ ）A．B．3C．4D．5變式如圖是⊙O的直徑于若則⊙O的半徑A．B．3C．4D．5A．cmB．cmC．cmD．cmA．cmB．cmC．cmD．cm卻安然無恙．如圖，若橋跨度AB約為40米，主拱高CD約10米，求橋弧AB所在圓的半徑．變式3、如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于點(diǎn)E．（2）若（2）若CD=，AE=2，求⊙O的半徑．例2如圖梯形ABCD中以BC上一點(diǎn)O為圓心的圓經(jīng)過、D兩點(diǎn)，且∠AOD=90°，則圓心O到弦AD的距離是（ ）A．cmB．cmC．cmD．cm變式、如圖，已知的半徑為10，弦AB長為16，則點(diǎn)OA．cmB．cmC．cmD．cmA．3 B．4 C．5 D．6變式2、如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OA，AB=12，⊙O半徑為10．求OC點(diǎn)E，F(xiàn)OEF∥AB．若EF=16，直接寫出EFAB例3、如圖的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E．若∠B=60°，AC=3，則CD的長為（ ）A．6B．C．D．3變式、如圖的直徑CD垂直弦AB于點(diǎn)E，且CE=2，DE=8，則ABA．6B．C．D．3變式、如圖的直徑CD過弦AB的中點(diǎn)E，∠BCD=15°，⊙O的半徑為10，則AB= ．A．B．C．D．例如圖點(diǎn)P是⊙O的弦AB上任一（與均不重合點(diǎn)C在⊙O上已知AB=8，設(shè)與xA．B．C．D．變式，D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線變式，D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以ADA．2B．C．D．3變式2如圖在平面直角坐標(biāo)系xOy中以原點(diǎn)O為圓心的圓過點(diǎn)直線y=kx﹣3k+4與⊙O交于BC兩點(diǎn)，則弦A．2B．C．D．3A．22B．24C．10A．22B．24C．10D．12例1、如圖是上的三個(gè)點(diǎn)，如果那么∠BOC的度數(shù)是（ ）A．60°B．45°C．30°D．15°變式、如圖是△ABC的外接圓，連結(jié)OA、OB，且點(diǎn)CO在弦AB的同側(cè)，若則∠ACB的度數(shù)為（ ）A．50°B．45°C．30°D．40°變式2、已知如圖，在⊙O中，弦BC平行于半徑OA，AC交BO于M，∠C=25°．求∠AMB的度數(shù)．例2如圖正三角形ABC內(nèi)接于圓動(dòng)點(diǎn)P在圓周的劣弧AB上且不與重合則等于（ ）A．30° B．60° C．90° D．45°變式1、如圖，∠ABD的三個(gè)頂點(diǎn)在∠O上，AB是直徑，點(diǎn)C在∠O上，且∠ABD=52°，則∠BCD等于（ ）A．32° B．38° C．52° D．66°變式如圖B是O的直徑弦C與B相交于點(diǎn)則∠ABD的度數(shù)為（ ）A．50° B．60° C．70° D．90°例3、如圖，四邊形ABCD是∠O的內(nèi)接四邊形，∠DAB=64°，則∠BCD的度數(shù)是（ ）A．64° B．90° C．136°D．116°變式、在圓內(nèi)接四邊形ABCD中的度數(shù)之比可能是（ ）A．1：2：3：4 B．4：2：1：3 C．4：2：3：1 D．1：3：2：4變式、如圖，四邊形ABCD是∠O的內(nèi)接四邊形則∠AOC的度數(shù)為 ．考點(diǎn)三：弧、弦、圓心角的關(guān)系例1、如圖所示，在∠ABC中，∠A=70°，∠O截∠ABC的三條邊所得的弦長相等，則∠BOC的度數(shù)為（ ）A．125°B．130°C．135°D．160°是∠ODBE∠AOE的度數(shù)度．例2、∠O中，M為 的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）例2、∠O中，M為 的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）、在∠O中，C的中點(diǎn)是 上的任一點(diǎn)（與點(diǎn)AC不重合），則（）

B．AB=2AMD．AB與2AM的大小不能確定變式變式、如圖所示，∠O中，AB=BC，且 ： =3：4，則．A．AC+CB=AD+DBB．AC+CB＜AD+DBC．AC+CB＞AD+DBD．AC+CB與AD+DB的大小關(guān)系不確定【分層訓(xùn)練】<A如圖是⊙O的直徑弦AD與BE交于點(diǎn)下列三角形中外心不是點(diǎn)O的【分層訓(xùn)練】<AA．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE如圖，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以點(diǎn)C為圓心為半徑的圓AB于點(diǎn)D，則BD的長為 ．如圖水平放置的圓柱形排水管道的截面直徑是其中水面的寬AB為則排水管內(nèi)的深度為 m．4．如圖，點(diǎn)、BC在半徑為9的⊙O上， 的長為2π，則∠ACB4．如圖，點(diǎn)、BC在半徑為9的⊙O上， 的長為2π，則∠ACB的大小是．（1）求 的長．（2）求弦BD的長．（1）求 的長．如圖，四邊形ABCD，點(diǎn)EACEC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度數(shù)；（2）求證：∠1=∠2．<B組>1．如圖，正方形ABCD和正△AEF都內(nèi)接于⊙O，EF與BC、CD分別相交于點(diǎn)G、H，則的值是A．B．1．如圖，正方形ABCD和正△AEF都內(nèi)接于⊙O，EF與BC、CD分別相交于點(diǎn)G、H，則的值是A．B．C．D．22把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開2把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開圖中的虛線表示折痕則 的度數(shù)（）3．3．沿弦ABO，點(diǎn)P上一點(diǎn)，則∠APB的度數(shù)為A．45°B．30°C．75°D．60°如圖1，小敏利用課余時(shí)間制作了一個(gè)臉盆架，圖2是它的截面圖，垂直放置的臉盆與架子交點(diǎn)為A，B，AB=40cm，臉盆的最低點(diǎn)C到AB的距離為10cm，則該臉盆的半徑為 cm．如圖的半徑是2，直線l與⊙O相交于B兩點(diǎn)N是⊙O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直l的異側(cè)，若∠AMB=45°，則四邊形MANB面積的最大值是 ．如圖，A，P，B，CAPC=∠CPB=60°，AP，CBD．（2）若∠PAC=90°，AB=2（2）若∠PAC=90°，AB=2PDABCADBC于點(diǎn)OECF∥BD．求證：BE=CE；試判斷四邊形BFCD若BC=8，AD=10，求CDE．8．已知：⊙O上兩個(gè)定點(diǎn)A，B和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)C，D，AC與BD交于點(diǎn)E．（2）如圖（2）如圖2，若 =，ADOAD?AC=2BD?BC；參考答案（3）3，若AC⊥BD，點(diǎn)OAD2，求BC參考答案【考點(diǎn)突破】考點(diǎn)一：垂徑定理及其推論【考點(diǎn)突破】∴AC=AB=×8=4，例1、解：∵⊙O的弦AB=8，半徑OD⊥AB，∴AC=AB=×8=4，設(shè)⊙Or，則OC=r﹣CD=r﹣2，連接OA，在Rt△OAC中，OA2=OC2+AC2，即r2=（r﹣2）2+42，解得r=5．故選D．變式1、解：連接OA，∴AE=AB=×10=5cm，∵CDOE，AB=10cm，∴AE=AB=×10=5cm，∵CE：ED=1：5，∵AE2+OE2=OA2，即52∵AE2+OE2=OA2，即52+（2x）2=（3x）2，解得x=cm，∴OA=3x=3cm．故選C．∴OA=3x=3cm．變式2、解：根據(jù)垂徑定理，得AD=AB=20米．設(shè)圓的半徑是R，根據(jù)勾股定理，變式2、解：根據(jù)垂徑定理，得AD=AB=20米．得R2=202+（R﹣10）2，解得R=25（米）．答：橋弧AB所在圓的半25米．變式3、（1）證明：如圖．∵OC=OB，∴∠BCO=∠B．∵∠B=∠D，∴∠BCO=∠D；∴CE=CD=×4=2∴CE=CD=×4=2，在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，∴r2=（2）2+（r﹣2）∴r2=（2）2+（r﹣2）2，解得：r=3，∴⊙O的半徑為3．例2、解：以BC上一點(diǎn)O為圓心的圓經(jīng)過A、D兩點(diǎn)，則OA=OD，△AOD是等腰直角三角形．易證△ABO≌△OCD，則OB=CD=4cm．在直角△ABO中，根據(jù)勾股定理得到OA2=20；OP=OA?sin45°=OP=OA?sin45°=cm．故選：B．、解：過圓心、解：過圓心O作OF⊥ABF，則AF=AB=8，OF===6，O到弦ABD．變式2、解：（1）∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于點(diǎn)C，AB=12，由勾股定理得：OC==由勾股定理得：OC===8；（2）如圖1，此時(shí)EF與AB之間的距離是14，理由是：連接OE，∵EF∥AB，OC⊥AB，∴ED=DF=∴ED=DF=×16=8，RtODEOD==6，EFABRtODEOD==6，EF與AB理由是：連接OE，∵EF∥AB，OC⊥AB，∴ED=DF=∴ED=DF=×16=8，RtODEOD==6，EFABEFAB14RtODEOD==6，∴∠ACB=90°，∴BC==∴BC==，∴CE=BCsin60°=×∴CE=BCsin60°=×=，∴CD=2CE=3．故選D．變式1、解：∵CE=2，DE=8，∴OB=5，∴OE=3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，得BE=4，∴AB=2BE=8．故答案為：8．變式2、解：連接OB，∵∠BCD與∠BOD是同弧所對(duì)的圓周角與圓心角，∴∠BOD=2∠BCD=2×15°=30°，∴AB⊥CD， = ，∵點(diǎn)E是弦AB的中點(diǎn)，∴AB⊥CD， = ，∴AB=2AE，∠AOD=∠BOD=30°，∴∠AOB=60°，∵AO=BO，∴△AOB是等邊三角形，∵⊙O的半徑為10，∴OA=AB=BO=10．故答案為：10．例4、解：延長CP交⊙O于點(diǎn)D，∵PC⊥OP，∴PC=PD，∵PC?PD=PA?PB，∴PC2=PA?PB，∵AB=8，BP=x，PC2=y，∴AP=8﹣x，則y=x（8﹣x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16．故該函數(shù)圖象為開口向下的拋物線，且頂點(diǎn)為（4，16）．故選A．變式1、解：由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時(shí)，直徑AD最短，Rt△ADBRt△ADBABC=45°，AB=2，由圓周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，∴AD=BD=2，即此時(shí)圓的直徑為2，由圓周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，Rt△EOHEH=OE?sin∠EOH=1×Rt△EOHEH=OE?sin∠EOH=1×=，∴EF=2EH=．變式2、解：對(duì)于直線y=kx﹣3k+4，當(dāng)x=3時(shí)，y=4，OH=3，DH=4，OD==5．故直線y=kx﹣3k+4恒經(jīng)過點(diǎn)記為點(diǎn)DDH⊥xOH=3，DH=4，OD==5．∵點(diǎn)A（13，0），∴OA=13，∴OB=OA=13．BCBC2BD=2=2×=2×12=24．故選：B．考點(diǎn)二：圓周角定理及其推論例1、解：∵∠BOC與∠BAC是同弧所對(duì)的圓心角與圓周角，∠BAC=30°，∴∠BOC=2∠BAC=60°．故選A．變式1、解：∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABO=50°，∴∠ACB=∴∠ACB=∠AOB=40°．故選D．變式2、解：∵BC∥OA，∠C=25°，∴∠A=∠C=25°，在⊙O中，∵∠O=2∠C，∴∠O=50°，又∵∠AMB=∠A+∠O，∴∠AMB=75°．例2、解：∠∠ABC正三角形，∠∠A=60°，．故選B．變式1、解：∠AB是∠O的直徑，∠∠ADB=90°，∠∠ABD=52°，∠∠A=90°﹣∠ABD=38°；．．變式2、解：∠∠ABD、∠ACD是同弧所對(duì)的圓周角，∠∠ABD=∠ACD=60°．故選B．例3、解：∠四邊形ABCD是∠O的內(nèi)接四邊形，∠∠DAB+∠BCD=180°，又∠DAB=64°，∠∠BCD=116°，故選：D．變式1、解：∠圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，∠∠A+∠C=∠B+∠D=180°，∠∠A：∠B：∠C：∠D變式2、解：∠四邊形ABCD是∠O的內(nèi)接四邊形，∠∠D=180°﹣∠B=45°，由圓周角定理得，∠AOC=2∠D=90°，故答案為：90°．考點(diǎn)三：弧、弦、圓心角的關(guān)系例1、解：連接OB，OC．∠∠ABC中∠A=70°，∠O截∠ABC的三條邊所得的弦長相等，∠∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3= ∠∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3= （180°﹣70°）=55°，∠∠BOC=180°﹣（∠1+∠3）=180°﹣55°=125°．故選A．變式1、解：由C、D是BE的兩個(gè)等分點(diǎn)，∠COD=35°知，∠BOC=∠DOE=∠COD=35°，∠∠EOB=105°，∠∠EOB+∠EOA=180°，變式、解變式、解在∠O中，AB=BC，且 ： =3：4，∠=3x，則 =3x，=4x，×360°=144°．故答案為：×360°=144°．∠M為 的中點(diǎn)，例2、解：連接∠M為 的中點(diǎn)，∠AM=BM，∠AM+BM＞AB，2A．故選C．變式1、解：如圖；以C為圓心，AC為半徑作圓，交BD的延長線于E，連接AE、CE；∠CB=CE，∠∠CBE=∠CEB；∠∠DAC=∠CBE，∠∠DAC=∠CEB；∠AC=CE，∠∠CAE=∠CEA，∠∠CAE﹣∠DAC=∠CEA﹣∠CED，即∠DAE=∠DEA；∠AD=DE；∠EC+BC＞BE，EC=AC，BE=BD+DE=AD+BD，∠AC+BC＞BD+AD；故選C．【分層訓(xùn)練】<A組>【分層訓(xùn)練】的三個(gè)頂點(diǎn)不都在圓上，故外心不是點(diǎn)O的是△ACFCE⊥ABE．∵∠B=180°﹣∠A﹣∠ACB=180°﹣20°﹣130°=30°，∴CE= BC=1，BE=CE= ，在Rt△BCE中，∵∠CEB=90°∴CE= BC=1，BE=CE= ，∵CE⊥BD，∴BD=2EB=2．2∴BD=2EB=2．2．解：如圖，過OOC⊥AB，CDEOA=0.5m，AB=0.8m，∵OC⊥AB，∴AC=BC=0.4m，在Rt△AOC中，OA2=AC2+OC2，∴OC=0.3m，則CE=0.3+0.5=0.8m，故答案為：0.8．∵2π，、OB∵2π，∴=2π，∴∴=2π，∴∠ACB= ∠AOB=20°∴∠ACB= ∠AOB=20°．20°．，，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°，∵，在Rt△ABC∵，∴∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，∴的長=．（2）∵CD∴的長=．∴∠ACD=∠BCD，∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD，∴∠ABD=∠BAD=45°，BD=AB×sin45°=10×．在BD=AB×sin45°=10×．6．（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39°，∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；（2）證明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，∵∠BAE=∠BDC=∠CBD，∴∠1=∠2．<B組>，解：如圖，連接AC、BDOF，，設(shè)⊙O的半徑是r，則OF=r，∵AOEAF∴∠OAF=60°÷2=30°，∵OA=OF，∴，∴，∴FI=r?sin60°=，∴FI=r?sin60°=，∴EF=，∴OI=，CI=r﹣∴EF=，∴OI=，CI=r﹣=，∴，∴=，∴=，即則的值是．由題意可得：EO=BO，AB∥DC，解：如圖所示：連接BO，過點(diǎn)OOE⊥AB由題意可得：EO=BO，AB∥DC，故故150°．故選：C．解：作半徑OC⊥ABD，連結(jié)OA、OB，如圖，∵將⊙O沿弦AB折疊，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，∴OD=OC=∴OD=OC=OA，∴∠OAD=30°，又OA=OB，∴∠OBA=30°，∴∠APB=∴∠APB=∠AOB=60°．故選D．解；如圖，設(shè)圓的圓心為O，連接OA，OC，OCAB交于點(diǎn)D，設(shè)⊙OR，∴AD=DB=∴AD=DB=AB=20，∠ADO=90°，在RT△AOD中，∵OA2=OD2+AD2，∴R2=202+（R﹣10）2，∴R=25．故答案為25．解：過點(diǎn)OOC⊥ABC，于D、EOA、OB、DA、DBEA、EB，如圖，∵∠AMB=45°，∴∠AOB=2∠AMB=90°，∴AB=OA=2∴AB=OA=2，∵S四邊形MANB=S△MAB+S△NAB，∴當(dāng)M點(diǎn)到AB的距離最大，△MAB的面積最大；當(dāng)N點(diǎn)到AB的距離最大時(shí)，△NAB的面積最大，此時(shí)四邊形MANB面積的最大值=S=S +S =四邊形此時(shí)四邊形MANB面積的最大值=S=S +S =四邊形DAEB △DAB △EABAB?CD+AB?CE=AB（CD+CE）=AB?DE=×2×4=4．故答案為：4．6．（1）證明：∵∠ABC=∠APC，∠BAC=∠BPC，∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，（2）解