2020版江蘇高考數(shù)學(xué)名師大講壇一輪復(fù)習(xí)教程學(xué)案：第十四章空間向量第2課空間向量的坐標(biāo)表示與數(shù)量積

第2課_空間向量的坐標(biāo)表示與數(shù)量積____了解空間向量基本定理，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．理解空間向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)、運(yùn)算律及兩向量的夾角公式、兩點(diǎn)間距離公式、掌握空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)形式．能用向量的數(shù)量積判斷兩非零向量是否垂閱讀：選修21第～95頁(yè)解悟①平面向量基本定理與空向量基本定理的聯(lián)系與區(qū)別②空間向量的正交分解主要有什么作用；③空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則與平面向量的區(qū)別與聯(lián)系，二維向三維轉(zhuǎn)化；④數(shù)量積最后結(jié)果是數(shù)，數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示，如何合理選擇使用⑤解第頁(yè)例，第90頁(yè)，第92頁(yè)，第頁(yè)例，體會(huì)解題方法和規(guī)踐習(xí)：在教材空白處，完成第頁(yè)習(xí)第、、5題第91頁(yè)習(xí)第3、4、，第頁(yè)習(xí)第5、8題基礎(chǔ)診斷若量a＝2，－4)，＝(6，－，，則(2ab)·(＋b＝________．→→已知空間三點(diǎn)P(－－R(－PQR的夾角為_(kāi)_______已知＝1＝(－12)且k＋－直則的值為．如圖，在正方體BCD中M是DD的點(diǎn)，點(diǎn)O為面的111心，點(diǎn)為AB上任意一點(diǎn)，則異面直線與AM所角的大小為_(kāi)_______．1范例導(dǎo)航考向

利用數(shù)量積求夾角例如，空間四邊形OABC中＝8AB＝6AC＝，＝5，∠OAC＝45°，OAB，求OA與所角的余弦值．→→如圖，已知E是正方體BD的CD的點(diǎn)，試求向量A與的夾角111111的余弦值.考向

利用向量求線段的長(zhǎng)例2如正體BD的棱長(zhǎng)為1.M∈∈D⊥AC，11⊥D試求的．1已知空間三點(diǎn)A(0，，B(－，，6)，，，→→求AB，AC鄰邊的平行四邊形的面積；→→若＝3，且a與AB，AC垂直，求向量a的坐標(biāo).考向

利用向量證明平行、垂直例3在圖所示的長(zhǎng)方體ABCDABD中ABCD是邊長(zhǎng)為正方形，1O為AC與BD的點(diǎn)，BB＝，M是段B的點(diǎn)．求證：11BM∥平面DAC;1DO⊥面C.11如圖在方體BD中O為BD的點(diǎn)G是CC的中點(diǎn)求：1AO平面GBD.1自測(cè)反饋已知＝，4)，b＝，y，，若a＝a⊥，則x＋y值________已知在正四棱柱BCD中AAE為AA的點(diǎn)，則異面直線111與CD所成角的余弦值為_(kāi)_______．1已＝(213)＝－，42)＝(7，，若，bc三向量共面，則實(shí)數(shù)＝．(222222222222第空間向量的坐標(biāo)表示與數(shù)量積基礎(chǔ)診斷－解析：(2abb＝[(8，4，－－，－，6)]·[(4，2，4)(12－6＝－10，－，－，＝－16052＋0＝－212.→→→→解：由題意得PQ(1，1，＝(－1，，所以P＝＋＋→→→→→→＝－1.又|＝1＋1＋＝，＝（1＋0＋＝2，·＝|PQ||PRcos∠QPR，所以∠＝

－1→→＝－，所以Q與的夾角為2

解析ka＋b(＋(－12)＝(k－12)2－＝(220)－－1，＝2．又k＋ab直，所(k＋－)3(k－＋k－4k－7＝0解得＝解析：以點(diǎn)D為點(diǎn)DA為x軸DC為y軸DD為z軸建立空間直角坐1標(biāo)系．設(shè)正方體BD的棱長(zhǎng)為2AP＝t(0≤t2)，則A(2，00)，，，11→→→→，O(1，，，，2)AM＝－2，1)，＝，t－，，所AM·OP－2＋＋20，則異面直線OPAM所的角的大小為范例導(dǎo)航→→→例解析：為BCAC－，→→→→→所以O(shè)＝OA·(AC－AB)→→→→＝OA·ACOA·AB→→→→→→→→＝〈OA，AC〉－〈OA，〉＝84×cos－×6cos120°＝24－16，→→→→－162－2所以〈OABC＝＝＝，→→×→→3故O與夾角的余弦值為，－即直線OA與BC所角的余弦值為→→→解析：正方體的棱長(zhǎng)為，＝，＝，AA＝c1則a＝|b＝c＝，＝＝＝0.→→→→→又因?yàn)锳＝B＋＝AB＋AD＋，111112y＝，→1→2y＝，→1→3→→→→→＝＋DEDD＋D＝＋a111→→所以ACDE＋11

c＝→→5m又因?yàn)锳＝m，DE＝，11→→所以〈C，〉1

m·

2

＝m例2解析：圖，以A為點(diǎn)為x軸ADy軸，AA為軸立空間直角1坐標(biāo)系，則，，，C(1，，，D(0，，0)C，1，1)．1→→所以A＝，1，0)，D＝－1，，1)1→→設(shè)AMxAC(xx，≤x≤，→→CN＝y(tǒng)C＝(－y，0，－y)(0≤y≤1)，1→→→→→→則M＝－AM＝AC＋N－AM1＝，1，＋(－y，0，－－(x，x，＝－－y－x，－．→→→→由AC⊥MN，CD⊥MN1，＋－x＝，3得解y－（1y＝，所以M＝－，，，|MN|＝，所以MN的長(zhǎng)為

→→解析：(1)由意，可AB＝－，－1，，AC＝(1，－，2)，222z＝11112212222z＝11112212121212112→→→→AB·AC－2＋3＋1所以〈AB，AC＝＝＝，→→142→→3所以〈ABAC＝，→→→→→→3所以以A，為鄰邊的平行四邊形的面積為S|AB||AC|〈AB，AC〉＝×＝3.設(shè)＝(x，y，z).＋y＋＝，由題意，得－＋3＝0

x－3＋z＝，，1解得，，

z＝，所以＝，，或a＝－1，－1，1).例解析：建以點(diǎn)為點(diǎn)DA為x軸為y軸DD為z的空間直角1坐標(biāo)系，則點(diǎn)，，，D，02)，1→所以O(shè)＝(1，－1，2)．1又點(diǎn)，2，0)M(112)→→→所以M(－，－1，2)，則O＝BM.1又因?yàn)镺D與BM不線，1所以O(shè)D∥BM.1又平AC，BM1所以BM∥面DAC.1

平面DAC1連，B(2，，2)，，，0)，，2，0)1→→→→因?yàn)镺＝－1，－12)·(11，＝0OD·AC＝(－1－1，－2，，11＝0→→→→所以O(shè)⊥OB，⊥AC11即⊥OD⊥AC.11又OBAC＝OOB平面ABCAC平面C11所以O(shè)D⊥平面C.1點(diǎn)評(píng)：用直線的方向向量可以判定直線與直線平行和垂直．設(shè)直線l的方向向量v＝(a，b，)，l的方向向量＝(a，b，)則l∥lv∥va，b，＝k(，，)(R，l⊥lv⊥va＋bb＋＝0.→→→解析：圖，連結(jié)，設(shè)B＝a，＝，AA＝c，根據(jù)正方體的性質(zhì)知a＝，1111→→222221AOOG＋＋b222222222111→→222221AOOG＋＋b22222222211bc，a＝→→→→→→因?yàn)锳O＝A＋＝A＋(＋AD)c＋(ab，111→→→＝ADAB＝－，→→→1→→→＝OC＝＋)＋2＝(＋－c，所以AOBD＝c＋ab·(－)1＝·(b－a＋(a)·(－＝－＋|－)＝|－)，

1→→12

ab－c2＝(＋)＋c·(＋)－c4＝＋|－c＝，2所以O(shè)⊥BD⊥OG11又BDOG＝，平GBD，OG平面GBD所以⊥面GBD.1自測(cè)反饋－解因?yàn)閍＝4)＝a＝6，且⊥b所

2

＋4

2

＋x＝6＝4y＋2＝，解得x＝4，y＝－3或x＝－4，＝1，則＝或3.

10

解析：在正四棱柱BD中連結(jié)A，根據(jù)四棱柱的性質(zhì)，111∥設(shè)＝1，則AA＝2.因?yàn)闉锳A中，所以AE＝，A