2021高三數(shù)學(xué)第2章 第9講函數(shù)模型及其應(yīng)用含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2021高三人教B版數(shù)學(xué)一輪（經(jīng)典版）課時作業(yè)：第2章第9講函數(shù)模型及其應(yīng)用含解析課時作業(yè)1．某物體一天中的溫度T（單位:℃）是時間t的函數(shù)：T（t)＝t3－3t＋60，當(dāng)t＝0時表示中午12時，其后t取正值,則上午8時的溫度是(）A．8℃ B．112℃C．58℃ D．18℃答案A解析由題意得上午8時t＝－4，因此T＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8，故選A．2．小明騎車上學(xué)，開始時勻速行駛,途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是(）答案C解析出發(fā)時距學(xué)校最遠(yuǎn)，先排除A;中途交通堵塞停留,距離沒變，再排除D；堵塞停留后比原來騎得快，因此排除B．3．（2019·蚌埠模擬)某種動物的繁殖數(shù)量y(單位:只）與時間x（單位:年)的關(guān)系式為y＝alog2（x＋1)，若這種動物第1年有100只，則到第7年它們發(fā)展到（）A．300只 B．400只C．500只 D．600只答案A解析由題意，得100＝alog2(1＋1），解得a＝100，所以y＝100log2（x＋1)，當(dāng)x＝7時，y＝100log2（7＋1）＝300，故到第7年它們發(fā)展到300只．4．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4）,要使存留的污垢不超過1%，則至少要洗的次數(shù)是(參考數(shù)據(jù)lg2≈0.3010)(）A．3 B．4C．5 D．6答案B解析設(shè)至少要洗x次，則eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f（3，4)))x≤eq\f(1,100),∴x≥eq\f(1,lg2)≈3。322，因此至少需洗4次．故選B．5．（2019·遼寧五校聯(lián)考）一個人以6米/秒的速度去追趕停在交通燈前的汽車，當(dāng)他離汽車25米時交通燈由紅變綠,汽車開始變速直線行駛(汽車與人前進方向相同)，汽車在時間t秒內(nèi)的路程為s＝eq\f（1，2）t2米，那么,此人()A．可在7秒內(nèi)追上汽車B．可在9秒內(nèi)追上汽車C．不能追上汽車，但期間離汽車的最近距離為14米D．不能追上汽車，但期間離汽車的最近距離為7米答案D解析已知s＝eq\f（1,2）t2，車與人的間距d＝(s＋25）－6t＝eq\f（1,2）t2－6t＋25＝eq\f(1,2)(t－6）2＋7.當(dāng)t＝6時，d取得最小值7.故選D．6．已知甲、乙兩車由同一起點同時出發(fā),并沿同一路線（假定為直線）行駛，甲、乙兩車的速度曲線分別為v甲和v乙，如圖所示，那么對于圖中給定的t0和t1，下列判斷中一定正確的是（）A．在t1時刻,甲車在乙車前面B．t1時刻后，甲車在乙車后面C．在t0時刻，兩車的位置相同D．t0時刻后,乙車在甲車前面答案A解析由圖象可知，曲線v甲比v乙在0~t0，0～t1與t軸所圍成的圖形面積大，則在t0,t1時刻,甲車均在乙車前面．故選A．7．(2019·北京高考)在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1＝eq\f(5，2）lgeq\f（E1,E2），其中星等為mk的星的亮度為Ek(k＝1,2）．已知太陽的星等是－26.7，天狼星的星等是－1。45，則太陽與天狼星的亮度的比值為（）A．1010.1 B．10。1C．lg10.1 D．10－10.1答案A解析由題意知，m1＝－26。7，m2＝－1.45，代入所給公式得－1.45－(－26.7)＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2），所以lgeq\f(E1，E2）＝10.1,所以eq\f(E1,E2）＝1010。1.故選A．8．某公司在甲、乙兩地銷售同一種品牌汽車，利潤(單位：萬元）分別為L1＝5。06x－0。15x2，L2＝2x，其中x為銷售量（單位：輛)．若該公司在這兩地共銷售15輛汽車，則能獲得的最大利潤為(）A．45.606萬元 B．45。6萬元C．45.56萬元 D．45。51萬元答案B解析依題意可設(shè)在甲地銷售了x輛汽車，則在乙地銷售了(15－x）輛汽車，總利潤S＝L1＋L2＝5.06x－0。15x2＋2（15－x）＝－0.15x2＋3。06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋45。606(0≤x≤15且x∈N），所以當(dāng)x＝10時，Smax＝45.6.故選B．9．(2019·烏蘭察布模擬)某公司租地建倉庫,已知倉庫每月占用費y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月貨物的運費y2與倉庫到車站的距離成正比．據(jù)測算，如果在距離車站10千米處建倉庫,這兩項費用y1，y2分別是2萬和8萬，那么要使這兩項費用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站(）A．5千米處 B．4千米處C．3千米處 D．2千米處答案A解析設(shè)倉庫建在離車站x千米處，則y1＝eq\f(k1,x），y2＝k2x,根據(jù)給出的初始數(shù)據(jù)可得k1＝20，k2＝0.8,兩項費用之和為y＝eq\f(20，x)＋0。8x≥8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時,等號成立．10．(2019·武漢模擬）國家規(guī)定個人稿費納稅辦法為：不超過800元的不納稅;超過800元而不超過4000元的按超過部分的14%納稅；超過4000元的按全稿酬的11％納稅．若某人共納稅420元,則這個人的稿費為(）A．3000元 B．3800元C．3818元 D．5600元答案B解析由題意可建立納稅額y關(guān)于稿費x的函數(shù)解析式為y＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（0，x≤800，,0.14（x－800)，800<x≤4000，，0。11x，x〉4000，))顯然由0。14·(x－800)＝420，可得x＝3800.11．(2019·南昌模擬）近年來，“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便,某共享單車公司計劃在甲、乙兩座城市共投資120萬元,根據(jù)行業(yè)規(guī)定，每座城市至少要投資40萬元，由前期市場調(diào)研可知:甲城市收益P（單位：萬元）與投入a（單位：萬元)滿足P＝3eq\r（2a)－6,乙城市收益Q(單位：萬元)與投入A(單位：萬元）滿足Q＝eq\f(1，4)A＋2，則投資兩座城市收益的最大值為()A．26萬元 B．44萬元C．48萬元 D．72萬元答案B解析設(shè)在甲城市投資x萬元，在乙城市投資（120－x）萬元，所以總收益f（x)＝3eq\r(2x）－6＋eq\f(1,4）(120－x）＋2＝－eq\f（1,4）x＋3eq\r（2x）＋26，由題意，知eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x≥40，，120－x≥40,）)解得40≤x≤80.令t＝eq\r(x）,則t∈［2eq\r(10)，4eq\r(5）]，所以y＝－eq\f(1，4)t2＋3eq\r(2）t＋26＝－eq\f（1，4）（t－6eq\r(2）)2＋44，當(dāng)t＝6eq\r(2)，即x＝72時，y取得最大值44，所以當(dāng)甲城市投資72萬元，乙城市投資48萬元時，總收益最大，且最大收益為44萬元．故選B．12．（2019·深圳模擬)某校甲、乙兩食堂某年1月份的營業(yè)額相等，甲食堂的營業(yè)額逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的營業(yè)額也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份兩食堂的營業(yè)額又相等,則本年5月份（)A．甲食堂的營業(yè)額較高B．乙食堂的營業(yè)額較高C．甲、乙兩食堂的營業(yè)額相同D．不能確定甲、乙哪個食堂的營業(yè)額較高答案A解析設(shè)甲、乙兩食堂1月份的營業(yè)額均為m，甲食堂的營業(yè)額每月增加a（a>0)，乙食堂的營業(yè)額每月增加的百分率為x,由題意可得，m＋8a＝m×(1＋x)8，則5月份甲食堂的營業(yè)額y1＝m＋4a，乙食堂的營業(yè)額y2＝m×(1＋x）4＝eq\r(m（m＋8a)），因為yeq\o\al（2,1）－yeq\o\al（2,2)＝（m＋4a）2－m（m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故本年5月份甲食堂的營業(yè)額較高．13．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2000萬元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬元．又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，K(Q)＝40Q－eq\f(1，20)Q2，則總利潤L(Q）的最大值是________萬元．答案2500解析由已知得L（Q）＝K(Q）－10Q－2000＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(40Q－\f（1，20）Q2))－10Q－2000＝－eq\f（1，20)(Q－300)2＋2500，所以當(dāng)Q＝300時，L（Q）max＝2500(萬元）．14．（2020·銀川月考）大氣溫度y（℃)隨著距離地面的高度x(km)的增加而降低,當(dāng)在高度不低于11km的高空時氣溫幾乎不變．設(shè)地面氣溫為22℃，大約每上升1km大氣溫度降低6℃,則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為________.答案y＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(22－6x，0≤x〈11，,－44，x≥11))解析由題意,知y關(guān)于x為分段函數(shù)，x＝11為分界點，易得其解析式為y＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(22－6x，0≤x〈11，，－44,x≥11.)）15．(2019·唐山模擬）在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園（陰影部分)，則其邊長x為________m。答案20解析設(shè)矩形花園的寬為ym，則eq\f（x,40)＝eq\f(40－y,40),即y＝40－x，矩形花園的面積S＝x（40－x）＝－x2＋40x＝－(x－20）2＋400，當(dāng)x＝20m時，面積最大．故填20。16．(2019·四川德陽診斷)將甲桶中的aL水緩慢注入空桶乙中，tmin后甲桶中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線y＝aent.假設(shè)過5min后甲桶和乙桶的水量相等,則n的值為________；若再過mmin甲桶中的水只有eq\f（a,4）L，則m的值為________.答案eq\f(1,5）lneq\f（1,2)5解析∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函數(shù)y＝f(t)＝aent滿足f(5)＝ae5n＝eq\f(1，2）a，可得n＝eq\f(1,5）lneq\f(1，2）；由n＝eq\f(1，5）lneq\f（1,2）,得f（t）＝a·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)))eq\f（t,5),設(shè)kmin后甲桶中的水只有eq\f(a，4）L,則f(k)＝a·eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)）)eq\f（k，5）＝eq\f(a,4),所以eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，2)）)eq\f(k，5）＝eq\f（1,4）,解得k＝10,所以m＝k－5＝5(min）．17．某公司制訂了一個激勵銷售人員的獎勵方案：當(dāng)銷售利潤不超過10萬元時，按銷售利潤的15％進行獎勵;當(dāng)銷售利潤超過10萬元時,若超出A萬元，則額外獎勵2log5(A＋1)萬元．記獎金為y（單位：萬元),銷售利潤為x（單位：萬元)．(1)寫出該公司激勵銷售人員的獎勵方案的函數(shù)模型;(2)如果業(yè)務(wù)員小李獲得3。5萬元的獎金，那么他的銷售利潤是多少萬元？解(1)由題意，得該公司激勵銷售人員的獎勵方案的函數(shù)模型為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0。15x，0≤x≤10,,1.5＋2log5(x－9），x〉10。))(2)由（1),知當(dāng)x∈[0,10]時,0≤0.15x≤1.5,因為業(yè)務(wù)員小李獲得3。5萬元的獎金，即y＝3.5，所以x〉10，因此1.5＋2log5(x－9）＝3.5,解得x＝14.所以業(yè)務(wù)員小李的銷售利潤是14萬元．18．（2019·鄭州模擬）已知某物體的溫度θ（單位：攝氏度)隨時間t(單位：分鐘）的變化規(guī)律：θ＝m·2t＋21－t（t≥0，并且m>0）．(1）如果m＝2，求經(jīng)過多少分鐘，物體的溫度為5攝氏度;(2）若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍．解（1）若m＝2，則θ＝2·2t＋21－t＝2eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2t＋\f（1,2t)）),當(dāng)θ＝5時，2t＋eq\f（1，2t)＝eq\f（5，2），令2t＝x≥1，則x＋eq\f(1,x）＝eq\f(5,2），即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝eq\f（1，2）(舍去），此時t＝1。所以經(jīng)過1分鐘,物體的溫度為5攝氏度．(2）物體的溫度總不低于2攝氏度，即θ≥2恒成立，亦即m·2t＋eq\f(2,2t)≥2?m≥2eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2t)－\f(1，22t）))恒成立．令eq\f（1，2t)＝x，則0<x≤1，不等式化為m≥2（x－x2）,由于x－x2≤eq\f（1，4)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(當(dāng)x＝\f(1，2），即t＝1時取等號))，所以m≥eq\f(1,2).19．(2019·河北石家莊一模)已知某公司生產(chǎn)某款手機的年固定成本為40萬美元，每生產(chǎn)1萬只還需另投入16萬美元．設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機x萬只并全部銷售完,每萬只的銷售收入為R（x）萬美元，且R（x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（400－6x，0〈x≤40，，\f(7400,x)－\f(40000，x2），x〉40。）)(1)寫出年利潤W(萬美元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬只）的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬只時，該公司在該款手機的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．解（1)當(dāng)0〈x≤40時,W＝xR(x)－(16x＋40）＝－6x2＋384x－40，當(dāng)x>40時，W＝xR（x）－(16x＋40）＝－eq\f(40000,x）－16x＋7360.所以W＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－6x2＋384x－40,0〈x≤40，，－\f(40000，x)－16x＋7360，x>40。））(2)①當(dāng)0<x≤40時，W＝－6（x－32）2＋6104，所以當(dāng)x＝32時，W取得最大值，Wmax＝6104；②當(dāng)x>40時，W＝－eq\f(40000，x)－16x＋7360，由于eq\f（40000，x）＋16x≥2eq\r（\f(40000，x)×16x)＝1600，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(40000,x)＝16x，即x＝50∈（40，＋∞)時,取等號，所以W取最大值,為5760.綜合①②，當(dāng)x＝32時，W取最大值,為6104。20．(2019·沈陽模擬)一片森林原來面積為a，計劃每年砍伐一些樹,且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為保護生態(tài)環(huán)境,森林面積至少要保留原面積的eq\f（1,4），已知到今年為止，森林剩余面積為原來的eq\f（\r(2)，2)。（1)求每年砍伐面積的百分比；（2