2021高三數(shù)學(xué)第12章 第3講 合情推理與演繹推理含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2021高三人教B版數(shù)學(xué)一輪（經(jīng)典版）課時(shí)作業(yè)：第12章第3講合情推理與演繹推理含解析課時(shí)作業(yè)1．(2019·合肥模擬）正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x）＝sin（x2＋1）是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin（x2＋1)是奇函數(shù),以上推理(）A．結(jié)論正確 B．大前提不正確C．小前提不正確 D．全不正確答案C解析因?yàn)閒(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)，所以小前提不正確．故選C。2．（2019·武漢高三調(diào)研)一名法官在審理一起珍寶盜竊案時(shí)，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下，甲說(shuō):“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙說(shuō)“我沒(méi)有作案，是丙偷的"；丙說(shuō)：“甲、乙兩人中有一人是小偷”；丁說(shuō)：“乙說(shuō)的是事實(shí)”．經(jīng)過(guò)調(diào)查核實(shí)，四人中有兩人說(shuō)的是真話，另外兩人說(shuō)的是假話，且這四人中只有一人是罪犯,由此可判斷罪犯是（）A．甲 B．乙C．丙 D．丁答案B解析由題可知，乙、丁兩人的觀點(diǎn)一致，即同真同假，假設(shè)乙、丁說(shuō)的是真話，那么甲、丙兩人說(shuō)的是假話，由乙說(shuō)的是真話，推出丙是罪犯,由甲說(shuō)的是假話，推出乙、丙、丁三人不是罪犯,顯然兩個(gè)結(jié)論相互矛盾,所以乙、丁兩人說(shuō)的是假話，而甲、丙兩人說(shuō)的是真話，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．3．觀察下列等式：1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此規(guī)律，第n個(gè)等式結(jié)果為（)A．(2n）2 B．(2n＋1）2C．(2n－1)2 D．(n－1）2答案C解析由題中的數(shù)字規(guī)律很容易得出第n個(gè)等式為n＋（n＋1)＋(n＋2）＋…＋(3n－2)＝(2n－1）2.4．（2019·廣東茂名五校聯(lián)盟第一次聯(lián)考）36的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因?yàn)?6＝22×32,所以36的所有正約數(shù)之和為（1＋3＋32）＋（2＋2×3＋2×32）＋(22＋22×3＋22×32)＝（1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91.參照上述方法，可求得500的所有正約數(shù)之和為（）A．988 B．1032C．1092 D．1182答案C解析類比36的所有正約數(shù)之和的求法,可知500的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到:因?yàn)?00＝22×53，所以500的所有正約數(shù)之和為（1＋2＋22)（1＋5＋52＋53）＝1092。5．（2019·湖南省三湘名校第二次聯(lián)考）2018年9月24日,阿貝爾獎(jiǎng)和菲爾茲獎(jiǎng)雙料得主、英國(guó)著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學(xué)界的震動(dòng),在1859年,德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼向科學(xué)院提交了題目為《論小于某值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)》的論文并提出了一個(gè)命題，也就是著名的黎曼猜想，在此之前，著名數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究過(guò)這個(gè)問(wèn)題，并得到小于數(shù)字x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)大約可以表示為π(x）≈eq\f（x，lnx)的結(jié)論．若根據(jù)歐拉得出的結(jié)論,估計(jì)10000以內(nèi)的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)為(素?cái)?shù)即質(zhì)數(shù)，lge≈0。43429,計(jì)算結(jié)果取整數(shù))(A．1089 B．1086C．434 D．145答案B解析由題意，得π(10000）≈eq\f(10000，ln10000）＝eq\f（2500,ln10)，由對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得ln10＝eq\f(1，lge）,即π（10000)≈1085.725≈1086。故選B.6．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的論割圓術(shù)中有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割,則與圓周合體而無(wú)所失矣”．它體現(xiàn)了一種無(wú)限與有限的轉(zhuǎn)化過(guò)程．比如在表達(dá)式1＋eq\f（1,1＋\f（1,1＋…））中“…”即代表無(wú)限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值，它可以通過(guò)方程1＋eq\f(1，x)＝x求得x＝eq\f(\r（5)＋1，2）。類比上述過(guò)程，則eq\r（3＋2\r（3＋2\r(…)))＝（)A．3 B．eq\f（\r（13)＋1，2)C．6 D．2eq\r（2)答案A解析令eq\r（3＋2\r（3＋2\r（…）））＝x(x〉0），兩邊平方，得3＋2eq\r（3＋2\r(…)）＝x2，即3＋2x＝x2，解得x＝3，x＝－1(舍去),故eq\r（3＋2\r(3＋2\r（…))）＝3，選A。7．（2020·惠州調(diào)研)《周易》歷來(lái)被人們視作儒家群經(jīng)之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對(duì)萬(wàn)事萬(wàn)物深刻而又樸素的認(rèn)識(shí)，是中華人文文化的基礎(chǔ),它反映出中國(guó)古代的二進(jìn)制計(jì)數(shù)的思想方法．我們用近代術(shù)語(yǔ)解釋為：把陽(yáng)爻“”當(dāng)作數(shù)字“1"，把陰爻“”當(dāng)作數(shù)字“0”,則八卦所代表的數(shù)表示如下．依次類推,則六十四卦中的“屯”卦，符號(hào)為“”，其表示的十進(jìn)制數(shù)是（)卦名符號(hào)表示的二進(jìn)制數(shù)表示的十進(jìn)制數(shù)坤0000艮0011坎0102巽0113A．33 B．34C．36 D．35答案B解析由題意類推,可知六十四卦中的“屯”卦的符號(hào)“"表示的二進(jìn)制數(shù)為100010，轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)為0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34。故選B.8．（2019·西寧模擬)將自然數(shù)0,1，2，…，按照如下形式進(jìn)行擺列：根據(jù)以上規(guī)律判定，從2020到2022的箭頭方向是（）答案A解析從所給的圖形中觀察得到規(guī)律：每隔四個(gè)單位，箭頭的走向是一樣的，比如說(shuō),0→1，箭頭垂直指下，4→5，箭頭也是垂直指下，8→9也是如此，而2020＝4×505，所以2020→2021也是箭頭垂直指下，之后2021→2022的箭頭是水平向右．故選A。9．（2019·陜西咸陽(yáng)模擬)如圖所示的數(shù)陣中，若A(m，n）表示第m行的第n個(gè)數(shù),則依此規(guī)律A（15，2)為(）A．eq\f（29，42） B．eq\f(7,10）C．eq\f（17，24) D．eq\f(73,102)答案C解析由數(shù)陣知A（3，2)＝eq\f（1，6)＋eq\f(1，6）＝eq\f(1,6）＋eq\f（2,3×4）,A(4，2）＝eq\f（1，6）＋eq\f（1，6）＋eq\f(1,10)＝eq\f(1,6)＋eq\f（2，3×4)＋eq\f(2,4×5)，A（5，2）＝eq\f(1,6)＋eq\f（1，6）＋eq\f（1，10）＋eq\f(1，15）＝eq\f（1,6）＋eq\f(2,3×4)＋eq\f（2,4×5)＋eq\f(2，5×6），…,則A(15，2）＝eq\f（1，6）＋eq\f（2,3×4）＋eq\f（2,4×5）＋eq\f（2，5×6）＋…＋eq\f(2，15×16)＝eq\f（1,6)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，3)－\f（1，4）＋\f（1，4)－\f（1，5）＋…＋\f（1,15)－\f(1,16)）)＝eq\f(1,6）＋2×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,3)－\f(1,16)））＝eq\f（1，6)＋2×eq\f（13,48)＝eq\f（17，24)，選項(xiàng)C正確．10．老王和小王父子倆玩一種類似于古代印度的“梵塔游戲”；有3個(gè)柱子甲、乙、丙,在甲柱上現(xiàn)有4個(gè)盤(pán)子,最上面的兩個(gè)盤(pán)子大小相同，從第二個(gè)盤(pán)子往下大小不等，大的在下，小的在上（如圖）,把這4個(gè)盤(pán)子從甲柱全部移到乙柱游戲即結(jié)束，在移動(dòng)過(guò)程中每次只能移動(dòng)一個(gè)盤(pán)子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3個(gè)柱子上的盤(pán)子始終保持小的盤(pán)子不能放在大的盤(pán)子之下，設(shè)游戲結(jié)束需要移動(dòng)的最少次數(shù)為n，則n＝（）A．7 B．8C．11 D．15答案C解析由題意，得圖中甲柱最上面的兩個(gè)盤(pán)子是一樣大小的，所以比操作三個(gè)盤(pán)子的次數(shù)（23－1)要多,比操作四個(gè)盤(pán)子的次數(shù)(24－1）要少,相當(dāng)于操作三個(gè)盤(pán)子的時(shí)候，最上面的那個(gè)挪動(dòng)了幾次,就會(huì)增加幾次，故選C。11．如果函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是凸函數(shù)，那么對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，…，xn，都有eq\f（f（x1）＋f（x2)＋…＋f（xn），n）≤feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（x1＋x2＋…＋xn,n）)）。若y＝sinx在區(qū)間(0，π）上是凸函數(shù)，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是(）A．eq\f(3\r（3），2） B．eq\f（\r（3），3）C．eq\f(1,3） D．eq\f(2，3)答案A解析由題意，知凸函數(shù)滿足eq\f(f(x1)＋f(x2）＋…＋f（xn)，n)≤feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(x1＋x2＋…＋xn,n）)).因?yàn)閥＝sinx在區(qū)間(0，π）上是凸函數(shù)，所以sinA＋sinB＋sinC≤3sineq\f（A＋B＋C,3)＝3sineq\f(π,3）＝eq\f（3\r(3），2).故選A.12．（2019·南寧模擬)如圖，將一張等邊三角形紙片沿中位線剪成4個(gè)小三角形,稱為第一次操作；然后，將其中的一個(gè)三角形按同樣方式再剪成4個(gè)小三角形，共得到7個(gè)小三角形，稱為第二次操作;再將其中一個(gè)三角形按同樣方式再剪成4個(gè)小三角形，共得到10個(gè)小三角形，稱為第三次操作…，根據(jù)以上操作，若要得到100個(gè)小三角形，則需要操作（）A．31次 B．32次C．33次 D．34次答案C解析由題意可知，第一次操作后，三角形共有4個(gè);第二次操作后，三角形共有4＋3＝7個(gè)；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10個(gè)，…，由此可得第n次操作后,三角形共有4＋3（n－1)＝3n＋1個(gè)．當(dāng)3n＋1＝100時(shí),解得n＝33。故共需要操作33次．13．若△ABC內(nèi)切圓半徑為r，三邊長(zhǎng)為a，b，c，則△ABC的面積S＝eq\f(1，2）r(a＋b＋c），類比空間中，若四面體的內(nèi)切球的半徑為R，四個(gè)面的面積為S1,S2,S3，S4，則四面體的體積為_(kāi)_______．答案eq\f（1，3）R（S1＋S2＋S3＋S4）解析設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O,則球心O到四個(gè)面的距離都是R，所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和，即V＝eq\f（1，3）R（S1＋S2＋S3＋S4)．14．（2019·黃岡市一模)自2019年來(lái)某市各重點(diǎn)高中開(kāi)展了形式多樣的各種選課走班活動(dòng)，記者調(diào)查了該市某高中甲、乙、丙三位同學(xué),在被問(wèn)到是否參加過(guò)黃梅戲、黃梅挑花、岳家拳這三個(gè)特長(zhǎng)班時(shí)，甲說(shuō)：我參加過(guò)的特長(zhǎng)班比乙多，但沒(méi)有參加過(guò)岳家拳；乙說(shuō)：我沒(méi)有參加過(guò)黃梅挑花；丙說(shuō):我們?nèi)齻€(gè)人都參加過(guò)同一個(gè)特長(zhǎng)班，由此判斷乙參加過(guò)的特長(zhǎng)班為_(kāi)_______．答案黃梅戲解析甲說(shuō)：我參加過(guò)的特長(zhǎng)班比乙多，但沒(méi)有參加過(guò)岳家拳，可知甲參加過(guò)黃梅戲或黃梅挑花．由乙說(shuō)：我沒(méi)有參加過(guò)黃梅挑花，可知乙參加過(guò)黃梅戲或岳家拳．由丙說(shuō)：我們?nèi)齻€(gè)人都參加過(guò)同一個(gè)特長(zhǎng)班，可知乙參加過(guò)黃梅戲特長(zhǎng)班．又因?yàn)榧讌⒓舆^(guò)的特長(zhǎng)班比乙多，所以乙只參加過(guò)一個(gè)特長(zhǎng)班．即乙只參加過(guò)黃梅戲特長(zhǎng)班．故答案為黃梅戲．15．“解方程eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（3，5））)x＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（4,5）））x＝1”有如下思路：設(shè)f（x）＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(3,5）））x＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(4，5）））x，則f(x)在R上單調(diào)遞減，且f（2）＝1，故原方程有唯一解x＝2。類比上述思路，不等式x6－(x＋2）>(x＋2)3－x2的解集是________．答案{x|x>2或x〈－1}解析不等式化為x6＋x2〉(x＋2)3＋(x＋2)，設(shè)g（x）＝x3＋x,則g(x)在R上單調(diào)遞增，所以不等式即g（x2)>g(x＋2），所以x2>x＋2，解得x>2或x<－1.16．（2019·甘肅、青海、寧夏聯(lián)考）數(shù)列｛an}為1，1，2,1，1,2,3,1，1，2，1，1，2,3,4，…,首先給出a1＝1,接著復(fù)制該項(xiàng)后，再添加其后繼數(shù)2，于是a2＝1,a3＝2，然后再?gòu)?fù)制前面所有的項(xiàng)1，1，2，再添加2的后繼數(shù)3,于是a4＝1，a5＝1，a6＝2,a7＝3,接下來(lái)再?gòu)?fù)制前面所有的項(xiàng)1，1，2,1,1,2,3，再添加4，…,如此繼續(xù)，則a2019＝________。答案1解析由數(shù)列｛an}的構(gòu)造方法，得a1＝1，a3＝2，a7＝3,a15＝4,可得a2n－1＝n,即a2n－1＋k＝ak(1≤k≤2n－1），故a2019＝a996＝a485＝a230＝a103＝a40＝a9＝a2＝1。17．某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，圖甲、乙、丙、丁是她們刺繡中最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含f（n)個(gè)小正方形,求f(n）的表達(dá)式．解根據(jù)前面四個(gè)發(fā)現(xiàn)規(guī)律:f（2）－f(1）＝4×1，f(3）－f（2)＝4×2，f(4）－f(3）＝4×3，…f（n)－f（n－1)＝4(n－1），這n－1個(gè)式子相加可得:f（n)＝2n2－2n＋1。18．在銳角三角形ABC中，求證：sinA＋sinB＋sinC〉cosA＋cosB＋cosC。證明∵△ABC為銳角三角形,∴A＋B〉eq\f（π，2）,∴A>eq\f(π，2）－B,∵y＝sinx在eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f(π，2))）上是增函數(shù)，∴sinA〉sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π，2）－B)）＝cosB，同理可得sinB〉cosC，sinC>cosA，∴sinA＋sinB＋sinC〉cosA＋cosB＋cosC。19．在Rt△ABC中,AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證:eq\f（1,AD2)＝eq\f（1,AB2)＋eq\f（1，AC2）。在四面體A－BCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說(shuō)明理由．解如圖,由三角形相似得AD2＝BD·DC,AB2＝BD·BC，AC2＝DC·BC，故eq\f（1,AB2)＋eq\f(1，AC2）＝eq\f（1，BD·BC)＋eq\f（1,DC·BC）＝eq\f（DC＋BD，BD·DC·BC）＝eq\f(1，BD·DC)＝eq\f（1,AD2）。在四面體A－BCD中,AB，AC，AD兩兩垂直，AH⊥底面BCD，垂足為H.則eq\f(1,AH2）＝eq\f（1,AB2)＋eq\f（1,AC2）＋eq\f(1，AD2).證明：連接BH并延長(zhǎng)交CD于E，連接AE。∵AB，AC,AD兩兩垂直，∴AB⊥平面ACD，又AE?平面ACD，∴AB⊥AE，在Rt△ABE中，eq\f（1,AH2)＝eq\f（1，AB2）＋eq\f（1,AE2)，①又易證CD⊥AE,故在Rt△ACD中,eq\f（1，AE2）＝eq\f（1,AC2）＋eq\f(1，AD2)，②把②式代入①式，得eq\f(1，AH2)＝eq\f(1，AB2）＋eq\f(1，AC2）＋eq\f（1，AD2）。20．(2020·云南曲靖監(jiān)測(cè)）某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：①sin21°＋cos229°－sin1°cos29°;②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin211°＋cos219°－sin11°cos19°;④sin2（－12）°＋cos242°－sin（－12）°cos42°；⑤sin2（－40)°＋cos270°－sin（－40）°cos70°.(1)從上述5個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；(2）根據(jù)(1）的計(jì)算結(jié)果把該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為一個(gè)三角恒等式；(3)證明這個(gè)結(jié)論．解(1)選擇②式，計(jì)算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝