2018年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題匯編

可編輯版/1．如圖,直線y=﹣x+c與x軸交于點A〔3,0,與y軸交于點B,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A,B．〔1求點B的坐標(biāo)和拋物線的解析式；〔2M〔m,0為x軸上一動點,過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P,N．①點M在線段OA上運動,若以B,P,N為頂點的三角形與△APM相似,求點M的坐標(biāo)；②點M在x軸上自由運動,若三個點M,P,N中恰有一點是其它兩點所連線段的中點〔三點重合除外,則稱M,P,N三點為"共諧點"．請直接寫出使得M,P,N三點成為"共諧點"的m的值．2．如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線C：y=ax2+bx+c與x軸相交于A,B兩點,頂點為D〔0,4,AB=4,設(shè)點F〔m,0是x軸的正半軸上一點,將拋物線C繞點F旋轉(zhuǎn)180°,得到新的拋物線C′．〔1求拋物線C的函數(shù)表達(dá)式；〔2若拋物線C′與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個不同的公共點,求m的取值范圍．〔3如圖2,P是第一象限內(nèi)拋物線C上一點,它到兩坐標(biāo)軸的距離相等,點P在拋物線C′上的對應(yīng)點P′,設(shè)M是C上的動點,N是C′上的動點,試探究四邊形PMP′N能否成為正方形？若能,求出m的值；若不能,請說明理由．3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中的點P和圖形M,給出如下的定義：若在圖形M上存在一點Q,使得P、Q兩點間的距離小于或等于1,則稱P為圖形M的關(guān)聯(lián)點．〔1當(dāng)⊙O的半徑為2時,①在點P1〔,0,P2〔,,P3〔,0中,⊙O的關(guān)聯(lián)點是．②點P在直線y=﹣x上,若P為⊙O的關(guān)聯(lián)點,求點P的橫坐標(biāo)的取值范圍．〔2⊙C的圓心在x軸上,半徑為2,直線y=﹣x+1與x軸、y軸交于點A、B．若線段AB上的所有點都是⊙C的關(guān)聯(lián)點,直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．4．如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣x2+ax+b交x軸于A〔1,0,B〔3,0兩點,點P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一點,直線BP與y軸相交于點C．〔1求拋物線y=﹣x2+ax+b的解析式；〔2當(dāng)點P是線段BC的中點時,求點P的坐標(biāo)；〔3在〔2的條件下,求sin∠OCB的值．5．如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A和點B,與y軸交于點C,點B坐標(biāo)為〔6,0,點C坐標(biāo)為〔0,6,點D是拋物線的頂點,過點D作x軸的垂線,垂足為E,連接BD．〔1求拋物線的解析式及點D的坐標(biāo)；〔2點F是拋物線上的動點,當(dāng)∠FBA=∠BDE時,求點F的坐標(biāo)；〔3若點M是拋物線上的動點,過點M作MN∥x軸與拋物線交于點N,點P在x軸上,點Q在坐標(biāo)平面內(nèi),以線段MN為對角線作正方形MPNQ,請寫出點Q的坐標(biāo)．6．已知拋物線y=x2+bx﹣3〔b是常數(shù)經(jīng)過點A〔﹣1,0．〔1求該拋物線的解析式和頂點坐標(biāo)；〔2P〔m,t為拋物線上的一個動點,P關(guān)于原點的對稱點為P'．①當(dāng)點P'落在該拋物線上時,求m的值；②當(dāng)點P'落在第二象限內(nèi),P'A2取得最小值時,求m的值．7．在同一直角坐標(biāo)系中,拋物線C1：y=ax2﹣2x﹣3與拋物線C2：y=x2+mx+n關(guān)于y軸對稱,C2與x軸交于A、B兩點,其中點A在點B的左側(cè)．〔1求拋物線C1,C2的函數(shù)表達(dá)式；〔2求A、B兩點的坐標(biāo)；〔3在拋物線C1上是否存在一點P,在拋物線C2上是否存在一點Q,使得以AB為邊,且以A、B、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在,求出P、Q兩點的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．8．已知函數(shù)y=﹣x2+〔m﹣1x+m〔m為常數(shù)．〔1該函數(shù)的圖象與x軸公共點的個數(shù)是．A.0B.1C.2D.1或2〔2求證：不論m為何值,該函數(shù)的圖象的頂點都在函數(shù)y=〔x+12的圖象上．〔3當(dāng)﹣2≤m≤3時,求該函數(shù)的圖象的頂點縱坐標(biāo)的取值范圍．9．已知直線y=2x+m與拋物線y=ax2+ax+b有一個公共點M〔1,0,且a＜b．〔Ⅰ求拋物線頂點Q的坐標(biāo)〔用含a的代數(shù)式表示；〔Ⅱ說明直線與拋物線有兩個交點；〔Ⅲ直線與拋物線的另一個交點記為N．〔ⅰ若﹣1≤a≤﹣,求線段MN長度的取值范圍；〔ⅱ求△QMN面積的最小值．10．在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)二次函數(shù)y1=〔x+a〔x﹣a﹣1,其中a≠0．〔1若函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點〔1,﹣2,求函數(shù)y1的表達(dá)式；〔2若一次函數(shù)y2=ax+b的圖象與y1的圖象經(jīng)過x軸上同一點,探究實數(shù)a,b滿足的關(guān)系式；〔3已知點P〔x0,m和Q〔1,n在函數(shù)y1的圖象上,若m＜n,求x0的取值范圍．11．定義：如圖1,拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0與x軸交于A,B兩點,點P在該拋物線上〔P點與A、B兩點不重合,如果△ABP的三邊滿足AP2+BP2=AB2,則稱點P為拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0的勾股點．〔1直接寫出拋物線y=﹣x2+1的勾股點的坐標(biāo)．〔2如圖2,已知拋物線C：y=ax2+bx〔a≠0與x軸交于A,B兩點,點P〔1,是拋物線C的勾股點,求拋物線C的函數(shù)表達(dá)式．〔3在〔2的條件下,點Q在拋物線C上,求滿足條件S△ABQ=S△ABP的Q點〔異于點P的坐標(biāo)．12．如圖,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,OB=OC．點D在函數(shù)圖象上,CD∥x軸,且CD=2,直線l是拋物線的對稱軸,E是拋物線的頂點．〔1求b、c的值；〔2如圖①,連接BE,線段OC上的點F關(guān)于直線l的對稱點F'恰好在線段BE上,求點F的坐標(biāo)；〔3如圖②,動點P在線段OB上,過點P作x軸的垂線分別與BC交于點M,與拋物線交于點N．試問：拋物線上是否存在點Q,使得△PQN與△APM的面積相等,且線段NQ的長度最小？如果存在,求出點Q的坐標(biāo)；如果不存在,說明理由．13．如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2﹣x﹣與x軸交于A、B兩點〔點A在點B的左側(cè),與y軸交于點C,對稱軸與x軸交于點D,點E〔4,n在拋物線上．〔1求直線AE的解析式；〔2點P為直線CE下方拋物線上的一點,連接PC,PE．當(dāng)△PCE的面積最大時,連接CD,CB,點K是線段CB的中點,點M是CP上的一點,點N是CD上的一點,求KM+MN+NK的最小值；〔3點G是線段CE的中點,將拋物線y=x2﹣x﹣沿x軸正方向平移得到新拋物線y′,y′經(jīng)過點D,y′的頂點為點F．在新拋物線y′的對稱軸上,是否存在點Q,使得△FGQ為等腰三角形？若存在,直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．14．如圖,拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點A〔﹣1,0,B〔4,0,交y軸于點C；〔1求拋物線的解析式〔用一般式表示；〔2點D為y軸右側(cè)拋物線上一點,是否存在點D使S△ABC=S△ABD？若存在請直接給出點D坐標(biāo)；若不存在請說明理由；〔3將直線BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°,與拋物線交于另一點E,求BE的長．15．如圖,直線y=kx+b〔k、b為常數(shù)分別與x軸、y軸交于點A〔﹣4,0、B〔0,3,拋物線y=﹣x2+2x+1與y軸交于點C．〔1求直線y=kx+b的函數(shù)解析式；〔2若點P〔x,y是拋物線y=﹣x2+2x+1上的任意一點,設(shè)點P到直線AB的距離為d,求d關(guān)于x的函數(shù)解析式,并求d取最小值時點P的坐標(biāo)；〔3若點E在拋物線y=﹣x2+2x+1的對稱軸上移動,點F在直線AB上移動,求CE+EF的最小值．16．如圖,已知二次函數(shù)y=x2﹣4的圖象與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,⊙C的半徑為,P為⊙C上一動點．〔1點B,C的坐標(biāo)分別為B〔,C〔；〔2是否存在點P,使得△PBC為直角三角形？若存在,求出點P的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由；〔3連接PB,若E為PB的中點,連接OE,則OE的最大值=．17．已知點A〔﹣1,1、B〔4,6在拋物線y=ax2+bx上〔1求拋物線的解析式；〔2如圖1,點F的坐標(biāo)為〔0,m〔m＞2,直線AF交拋物線于另一點G,過點G作x軸的垂線,垂足為H．設(shè)拋物線與x軸的正半軸交于點E,連接FH、AE,求證：FH∥AE；〔3如圖2,直線AB分別交x軸、y軸于C、D兩點．點P從點C出發(fā),沿射線CD方向勻速運動,速度為每秒個單位長度；同時點Q從原點O出發(fā),沿x軸正方向勻速運動,速度為每秒1個單位長度．點M是直線PQ與拋物線的一個交點,當(dāng)運動到t秒時,QM=2PM,直接寫出t的值．18．已知直線y=kx+b與拋物線y=ax2〔a＞0相交于A、B兩點〔點A在點B的左側(cè),與y軸正半軸相交于點C,過點A作AD⊥x軸,垂足為D．〔1若∠AOB=60°,AB∥x軸,AB=2,求a的值；〔2若∠AOB=90°,點A的橫坐標(biāo)為﹣4,AC=4BC,求點B的坐標(biāo)；〔3延長AD、BO相交于點E,求證：DE=CO．19．如圖,拋物線y=mx2﹣16mx+48m〔m＞0與x軸交于A,B兩點〔點B在點A左側(cè),與y軸交于點C,點D是拋物線上的一個動點,且位于第四象限,連接OD、BD、AC、AD,延長AD交y軸于點E．〔1若△OAC為等腰直角三角形,求m的值；〔2若對任意m＞0,C、E兩點總關(guān)于原點對稱,求點D的坐標(biāo)〔用含m的式子表示；〔3當(dāng)點D運動到某一位置時,恰好使得∠ODB=∠OAD,且點D為線段AE的中點,此時對于該拋物線上任意一點P〔x0,y0總有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立,求實數(shù)n的最小值．20．如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=x+2與x軸交于點A,與y軸交于點C,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點,與x軸的另一交點為點B．〔1求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；〔2點D為直線AC上方拋物線上一動點,①連接BC、CD,設(shè)直線BD交線段AC于點E,△CDE的面積為S1,△BCE的面積為S2,求的最大值；②過點D作DF⊥AC,垂足為點F,連接CD,是否存在點D,使得△CDF中的某個角恰好等于∠BAC的2倍？若存在,求點D的橫坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c的開口向上,且經(jīng)過點A〔0,〔1若此拋物線經(jīng)過點B〔2,﹣,且與x軸相交于點E,F．①填空：b=〔用含a的代數(shù)式表示；②當(dāng)EF2的值最小時,求拋物線的解析式；〔2若a=,當(dāng)0≤x≤1,拋物線上的點到x軸距離的最大值為3時,求b的值．22．如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+1交y軸于點A,交x軸正半軸于點B〔4,0,與過A點的直線相交于另一點D〔3,,過點D作DC⊥x軸,垂足為C．〔1求拋物線的表達(dá)式；〔2點P在線段OC上〔不與點O、C重合,過P作PN⊥x軸,交直線AD于M,交拋物線于點N,連接CM,求△PCM面積的最大值；〔3若P是x軸正半軸上的一動點,設(shè)OP的長為t,是否存在t,使以點M、C、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在,求出t的值；若不存在,請說明理由．23．如圖,拋物線y=ax2+bx﹣3經(jīng)過點A〔2,﹣3,與x軸負(fù)半軸交于點B,與y軸交于點C,且OC=3OB．〔1求拋物線的解析式；〔2點D在y軸上,且∠BDO=∠BAC,求點D的坐標(biāo)；〔3點M在拋物線上,點N在拋物線的對稱軸上,是否存在以點A,B,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在,求出所有符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．24．已知函數(shù)y=mx2﹣〔2m﹣5x+m﹣2的圖象與x軸有兩個公共點．〔1求m的取值范圍,并寫出當(dāng)m取范圍內(nèi)最大整數(shù)時函數(shù)的解析式；〔2題〔1中求得的函數(shù)記為C1．①當(dāng)n≤x≤﹣1時,y的取值范圍是1≤y≤﹣3n,求n的值；②函數(shù)C2：y=m〔x﹣h2+k的圖象由函數(shù)C1的圖象平移得到,其頂點P落在以原點為圓心,半徑為的圓內(nèi)或圓上．設(shè)函數(shù)C1的圖象頂點為M,求點P與點M距離最大時函數(shù)C2的解析式．25．如圖,拋物線y=x2+x+c與x軸的負(fù)半軸交于點A,與y軸交于點B,連結(jié)AB,點C〔6,在拋物線上,直線AC與y軸交于點D．〔1求c的值及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；〔2點P在x軸正半軸上,點Q在y軸正半軸上,連結(jié)PQ與直線AC交于點M,連結(jié)MO并延長交AB于點N,若M為PQ的中點．①求證：△APM∽△AON；②設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m,求AN的長〔用含m的代數(shù)式表示．26．如圖,過拋物線y=x2﹣2x上一點A作x軸的平行線,交拋物線于另一點B,交y軸于點C,已知點A的橫坐標(biāo)為﹣2．〔1求拋物線的對稱軸和點B的坐標(biāo)；〔2在AB上任取一點P,連結(jié)OP,作點C關(guān)于直線OP的對稱點D；①連結(jié)BD,求BD的最小值；②當(dāng)點D落在拋物線的對稱軸上,且在x軸上方時,求直線PD的函數(shù)表達(dá)式．27．如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0的圖象的頂點坐標(biāo)是〔2,1,并且經(jīng)過點〔4,2,直線y=x+1與拋物線交于B,D兩點,以BD為直徑作圓,圓心為點C,圓C與直線m交于對稱軸右側(cè)的點M〔t,1,直線m上每一點的縱坐標(biāo)都等于1．〔1求拋物線的解析式；〔2證明：圓C與x軸相切；〔3過點B作BE⊥m,垂足為E,再過點D作DF⊥m,垂足為F,求BE：MF的值．28．平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A、B的橫坐標(biāo)分別為a、a+2,二次函數(shù)y=﹣x2+〔m﹣2x+2m的圖象經(jīng)過點A、B,且a、m滿足2a﹣m=d〔d為常數(shù)．〔1若一次函數(shù)y1=kx+b的圖象經(jīng)過A、B兩點．①當(dāng)a=1、d=﹣1時,求k的值；②若y1隨x的增大而減小,求d的取值范圍；〔2當(dāng)d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4時,判斷直線AB與x軸的位置關(guān)系,并說明理由；〔3點A、B的位置隨著a的變化而變化,設(shè)點A、B運動的路線與y軸分別相交于點C、D,線段CD的長度會發(fā)生變化嗎？如果不變,求出CD的長；如果變化,請說明理由．29．如圖,拋物線y=﹣x2+x+3與x軸交于A、B兩點〔點A在點B的左側(cè),與y軸交于點C,連接AC、BC．點P沿AC以每秒1個單位長度的速度由點A向點C運動,同時,點Q沿BO以每秒2個單位長度的速度由點B向點O運動,當(dāng)一個點停止運動時,另一個點也隨之停止運動,連接PQ．過點Q作QD⊥x軸,與拋物線交于點D,與BC交于點E,連接PD,與BC交于點F．設(shè)點P的運動時間為t秒〔t＞0．〔1求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；〔2①直接寫出P,D兩點的坐標(biāo)〔用含t的代數(shù)式表示,結(jié)果需化簡②在點P、Q運動的過程中,當(dāng)PQ=PD時,求t的值；〔3試探究在點P,Q運動的過程中,是否存在某一時刻,使得點F為PD的中點？若存在,請直接寫出此時t的值與點F的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．30．如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=x2﹣2x﹣3交x軸于A,B兩點〔點A在點B的左側(cè),將該拋物線位于x軸上方曲線記作M,將該拋物線位于x軸下方部分沿x軸翻折,翻折后所得曲線記作N,曲線N交y軸于點C,連接AC、BC．〔1求曲線N所在拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；〔2求△ABC外接圓的半徑；〔3點P為曲線M或曲線N上的一動點,點Q為x軸上的一個動點,若以點B,C,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形,求點Q的坐標(biāo)．31．如圖,是將拋物線y=﹣x2平移后得到的拋物線,其對稱軸為x=1,與x軸的一個交點為A〔﹣1,0,另一個交點為B,與y軸的交點為C．〔1求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；〔2若點N為拋物線上一點,且BC⊥NC,求點N的坐標(biāo)；〔3點P是拋物線上一點,點Q是一次函數(shù)y=x+的圖象上一點,若四邊形OAPQ為平行四邊形,這樣的點P、Q是否存在？若存在,分別求出點P、Q的坐標(biāo)；若不存在,說明理由．32．如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3〔a≠0的圖象經(jīng)過點A〔3,0,B〔4,1,且與y軸交于點C,連接AB、AC、BC．〔1求此二次函數(shù)的關(guān)系式；〔2判斷△ABC的形狀；若△ABC的外接圓記為⊙M,請直接寫出圓心M的坐標(biāo)；〔3若將拋物線沿射線BA方向平移,平移后點A、B、C的對應(yīng)點分別記為點A1、B1、C1,△A1B1C1的外接圓記為⊙M1,是否存在某個位置,使⊙M1經(jīng)過原點？若存在,求出此時拋物線的關(guān)系式；若不存在,請說明理由．33．拋物線y=4x2﹣2ax+b與x軸相交于A〔x1,0,B〔x2,0〔0＜x1＜x2兩點,與y軸交于點C．〔1設(shè)AB=2,tan∠ABC=4,求該拋物線的解析式；〔2在〔1中,若點D為直線BC下方拋物線上一動點,當(dāng)△BCD的面積最大時,求點D的坐標(biāo)；〔3是否存在整數(shù)a,b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同時成立,請證明你的結(jié)論．34．如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a≠0的圖象經(jīng)過A〔﹣1,0、B〔4,0、C〔0,2三點．〔1求該二次函數(shù)的解析式；〔2點D是該二次函數(shù)圖象上的一點,且滿足∠DBA=∠CAO〔O是坐標(biāo)原點,求點D的坐標(biāo)；〔3點P是該二次函數(shù)圖象上位于第一象限上的一動點,連接PA分別交BC、y軸于點E、F,若△PEB、△CEF的面積分別為S1、S2,求S1﹣S2的最大值．35．如圖1,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過平行四邊形ABCD的頂點A〔0,3、B〔﹣1,0、D〔2,3,拋物線與x軸的另一交點為E．經(jīng)過點E的直線l將平行四邊形ABCD分割為面積相等的兩部分,與拋物線交于另一點F．點P為直線l上方拋物線上一動點,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t．〔1求拋物線的解析式；〔2當(dāng)t何值時,△PFE的面積最大？并求最大值的立方根；〔3是否存在點P使△PAE為直角三角形？若存在,求出t的值；若不存在,說明理由．36．如圖,某日的錢塘江觀潮信息如圖：按上述信息,小紅將"交叉潮"形成后潮頭與乙地之間的距離s〔千米與時間t〔分鐘的函數(shù)關(guān)系用圖3表示,其中："11：40時甲地‘交叉潮’的潮頭離乙地12千米"記為點A〔0,12,點B坐標(biāo)為〔m,0,曲線BC可用二次函數(shù)s=t2+bt+c〔b,c是常數(shù)刻畫．〔1求m的值,并求出潮頭從甲地到乙地的速度；〔211：59時,小紅騎單車從乙地出發(fā),沿江邊公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮,問她幾分鐘后與潮頭相遇？〔3相遇后,小紅立即調(diào)轉(zhuǎn)車頭,沿江邊公路按潮頭速度與潮頭并行,但潮頭過乙地后均勻加速,而單車最高速度為0.48千米/分,小紅逐漸落后．問小紅與潮頭相遇到落后潮頭1.8千米共需多長時間？〔潮水加速階段速度v=v0+〔t﹣30,v0是加速前的速度．37．如圖1,拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,AB=4,矩形OBDC的邊CD=1,延長DC交拋物線于點E．〔1求拋物線的解析式；〔2如圖2,點P是直線EO上方拋物線上的一個動點,過點P作y軸的平行線交直線EO于點G,作PH⊥EO,垂足為H．設(shè)PH的長為l,點P的橫坐標(biāo)為m,求l與m的函數(shù)關(guān)系式〔不必寫出m的取值范圍,并求出l的最大值；〔3如果點N是拋物線對稱軸上的一點,拋物線上是否存在點M,使得以M,A,C,N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在,直接寫出所有滿足條件的點M的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．38．如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與直線AB交于A〔﹣4,﹣4,B〔0,4兩點,直線AC：y=﹣x﹣6交y軸于點C．點E是直線AB上的動點,過點E作EF⊥x軸交AC于點F,交拋物線于點G．〔1求拋物線y=﹣x2+bx+c的表達(dá)式；〔2連接GB,EO,當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時,求點G的坐標(biāo)；〔3①在y軸上存在一點H,連接EH,HF,當(dāng)點E運動到什么位置時,以A,E,F,H為頂點的四邊形是矩形？求出此時點E,H的坐標(biāo)；②在①的前提下,以點E為圓心,EH長為半徑作圓,點M為⊙E上一動點,求AM+CM它的最小值．39．拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A〔1,0和點B〔5,0．〔1求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；〔2該拋物線與直線y=x+3相交于C、D兩點,點P是拋物線上的動點且位于x軸下方,直線PM∥y軸,分別與x軸和直線CD交于點M、N．①連結(jié)PC、PD,如圖1,在點P運動過程中,△PCD的面積是否存在最大值？若存在,求出這個最大值；若不存在,說明理由；②連結(jié)PB,過點C作CQ⊥PM,垂足為點Q,如圖2,是否存在點P,使得△CNQ與△PBM相似？若存在,求出滿足條件的點P的坐標(biāo)；若不存在,說明理由．40．《函數(shù)的圖象與性質(zhì)》拓展學(xué)習(xí)片段展示：[問題]如圖①,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=a〔x﹣22﹣經(jīng)過原點O,與x軸的另一個交點為A,則a=．[操作]將圖①中拋物線在x軸下方的部分沿x軸折疊到x軸上方,將這部分圖象與原拋物線剩余部分的圖象組成的新圖象記為G,如圖②．直接寫出圖象G對應(yīng)的函數(shù)解析式．[探究]在圖②中,過點B〔0,1作直線l平行于x軸,與圖象G的交點從左至右依次為點C,D,E,F,如圖③．求圖象G在直線l上方的部分對應(yīng)的函數(shù)y隨x增大而增大時x的取值范圍．[應(yīng)用]P是圖③中圖象G上一點,其橫坐標(biāo)為m,連接PD,PE．直接寫出△PDE的面積不小于1時m的取值范圍．1．如圖1,經(jīng)過原點O的拋物線y=ax2+bx〔a≠0與x軸交于另一點A〔,0,在第一象限內(nèi)與直線y=x交于點B〔2,t．〔1求這條拋物線的表達(dá)式；〔2在第四象限內(nèi)的拋物線上有一點C,滿足以B,O,C為頂點的三角形的面積為2,求點C的坐標(biāo)；〔3如圖2,若點M在這條拋物線上,且∠MBO=∠ABO,在〔2的條件下,是否存在點P,使得△POC∽△MOB？若存在,求出點P的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．2．如圖①,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸交于A,B,C三點,其中點A的坐標(biāo)為〔﹣3,0,點B的坐標(biāo)為〔4,0,連接AC,BC．動點P從點A出發(fā),在線段AC上以每秒1個單位長度的速度向點C作勻速運動；同時,動點Q從點O出發(fā),在線段OB上以每秒1個單位長度的速度向點B作勻速運動,當(dāng)其中一點到達(dá)終點時,另一點隨之停止運動,設(shè)運動時間為t秒．連接PQ．〔1填空：b=,c=；〔2在點P,Q運動過程中,△APQ可能是直角三角形嗎？請說明理由；〔3在x軸下方,該二次函數(shù)的圖象上是否存在點M,使△PQM是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在,請求出運動時間t；若不存在,請說明理由；〔4如圖②,點N的坐標(biāo)為〔﹣,0,線段PQ的中點為H,連接NH,當(dāng)點Q關(guān)于直線NH的對稱點Q′恰好落在線段BC上時,請直接寫出點Q′的坐標(biāo)．3．定義：對于給定的兩個函數(shù),任取自變量x的一個值,當(dāng)x＜0時,它們對應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)；當(dāng)x≥0時,它們對應(yīng)的函數(shù)值相等,我們稱這樣的兩個函數(shù)互為相關(guān)函數(shù)．例如：一次函數(shù)y=x﹣1,它的相關(guān)函數(shù)為y=．〔1已知點A〔﹣5,8在一次函數(shù)y=ax﹣3的相關(guān)函數(shù)的圖象上,求a的值；〔2已知二次函數(shù)y=﹣x2+4x﹣．①當(dāng)點B〔m,在這個函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象上時,求m的值；②當(dāng)﹣3≤x≤3時,求函數(shù)y=﹣x2+4x﹣的相關(guān)函數(shù)的最大值和最小值；〔3在平面直角坐標(biāo)系中,點M,N的坐標(biāo)分別為〔﹣,1,〔,1,連結(jié)MN．直接寫出線段MN與二次函數(shù)y=﹣x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象有兩個公共點時n的取值范圍．4．如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A,B兩點的坐標(biāo)分別為〔﹣4,0,〔4,0,C〔m,0是線段AB上一點〔與A,B點不重合,拋物線L1：y=ax2+b1x+c1〔a＜0經(jīng)過點A,C,頂點為D,拋物線L2：y=ax2+b2x+c2〔a＜0經(jīng)過點C,B,頂點為E,AD,BE的延長線相交于點F．〔1若a=﹣,m=﹣1,求拋物線L1,L2的解析式；〔2若a=﹣1,AF⊥BF,求m的值；〔3是否存在這樣的實數(shù)a〔a＜0,無論m取何值,直線AF與BF都不可能互相垂直？若存在,請直接寫出a的兩個不同的值；若不存在,請說明理由．5．如圖,已知拋物線y=ax2﹣2ax﹣9a與坐標(biāo)軸交于A,B,C三點,其中C〔0,3,∠BAC的平分線AE交y軸于點D,交BC于點E,過點D的直線l與射線AC,AB分別交于點M,N．〔1直接寫出a的值、點A的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸；〔2點P為拋物線的對稱軸上一動點,若△PAD為等腰三角形,求出點P的坐標(biāo)；〔3證明：當(dāng)直線l繞點D旋轉(zhuǎn)時,+均為定值,并求出該定值．6．如圖1,矩形OABC的頂點A,C的坐標(biāo)分別為〔4,0,〔0,6,直線AD交BC于點D,tan∠OAD=2,拋物線M1：y=ax2+bx〔a≠0過A,D兩點．〔1求點D的坐標(biāo)和拋物線M1的表達(dá)式；〔2點P是拋物線M1對稱軸上一動點,當(dāng)∠CPA=90°時,求所有符合條件的點P的坐標(biāo)；〔3如圖2,點E〔0,4,連接AE,將拋物線M1的圖象向下平移m〔m＞0個單位得到拋物線M2．①設(shè)點D平移后的對應(yīng)點為點D′,當(dāng)點D′恰好在直線AE上時,求m的值；②當(dāng)1≤x≤m〔m＞1時,若拋物線M2與直線AE有兩個交點,求m的取值范圍．7．如圖,已知拋物線y=ax2+2x+c與y軸交于點A〔0,6,與x軸交于點B〔6,0,點P是線段AB上方拋物線上的一個動點．〔1求這條拋物線的表達(dá)式及其頂點坐標(biāo)；〔2當(dāng)點P移動到拋物線的什么位置時,使得∠PAB=75°,求出此時點P的坐標(biāo)；〔3當(dāng)點P從A點出發(fā)沿線段AB上方的拋物線向終點B移動,在移動中,點P的橫坐標(biāo)以每秒1個單位長度的速度變動；與此同時點M以每秒1個單位長度的速度沿AO向終點O移動,點P,M移動到各自終點時停止．當(dāng)兩個動點移動t秒時,求四邊形PAMB的面積S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式,并求t為何值時,S有最大值,最大值是多少？8．如圖,直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交于B、C兩點,點A在x軸上,∠ACB=90°,拋物線y=ax2+bx+經(jīng)過A,B兩點．〔1求A、B兩點的坐標(biāo)；〔2求拋物線的解析式；〔3點M是直線BC上方拋物線上的一點,過點M作MH⊥BC于點H,作MD∥y軸交BC于點D,求△DMH周長的最大值．9．如圖,拋物線y=ax2+bx﹣2的對稱軸是直線x=1,與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,點A的坐標(biāo)為〔﹣2,0,點P為拋物線上的一個動點,過點P作PD⊥x軸于點D,交直線BC于點E．〔1求拋物線解析式；〔2若點P在第一象限內(nèi),當(dāng)OD=4PE時,求四邊形POBE的面積；〔3在〔2的條件下,若點M為直線BC上一點,點N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點,是否存在這樣的點M和點N,使得以點B,D,M,N為頂點的四邊形是菱形？若存在,直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．[溫馨提示：考生可以根據(jù)題意,在備用圖中補(bǔ)充圖形,以便探究]10．如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A〔﹣1,0,B〔5,0兩點．〔1求拋物線的解析式；〔2在第二象限內(nèi)取一點C,作CD垂直X軸于點D,鏈接AC,且AD=5,CD=8,將Rt△ACD沿x軸向右平移m個單位,當(dāng)點C落在拋物線上時,求m的值；〔3在〔2的條件下,當(dāng)點C第一次落在拋物線上記為點E,點P是拋物線對稱軸上一點．試探究：在拋物線上是否存在點Q,使以點B、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在,請出點Q的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．11．如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c過點A〔﹣1,0,B〔3,0,C〔0,3,點M、N為拋物線上的動點,過點M作MD∥y軸,交直線BC于點D,交x軸于點E．〔1求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的表達(dá)式；〔2過點N作NF⊥x軸,垂足為點F,若四邊形MNFE為正方形〔此處限定點M在對稱軸的右側(cè),求該正方形的面積；〔3若∠DMN=90°,MD=MN,求點M的橫坐標(biāo)．12．如圖1,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a、b、c為常數(shù),a≠0的圖象過點O〔0,0和點A〔4,0,函數(shù)圖象最低點M的縱坐標(biāo)為﹣,直線l的解析式為y=x．〔1求二次函數(shù)的解析式；〔2直線l沿x軸向右平移,得直線l′,l′與線段OA相交于點B,與x軸下方的拋物線相交于點C,過點C作CE⊥x軸于點E,把△BCE沿直線l′折疊,當(dāng)點E恰好落在拋物線上點E′時〔圖2,求直線l′的解析式；〔3在〔2的條件下,l′與y軸交于點N,把△BON繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)135°得到△B′ON′,P為l′上的動點,當(dāng)△PB′N′為等腰三角形時,求符合條件的點P的坐標(biāo)．13．如圖,矩形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上,點A的坐標(biāo)為〔10,0,拋物線y=ax2+bx+4過點B,C兩點,且與x軸的一個交點為D〔﹣2,0,點P是線段CB上的動點,設(shè)CP=t〔0＜t＜10．〔1請直接寫出B、C兩點的坐標(biāo)及拋物線的解析式；〔2過點P作PE⊥BC,交拋物線于點E,連接BE,當(dāng)t為何值時,∠PBE=∠OCD？〔3點Q是x軸上的動點,過點P作PM∥BQ,交CQ于點M,作PN∥CQ,交BQ于點N,當(dāng)四邊形PMQN為正方形時,請求出t的值．14．如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,⊙C經(jīng)過坐標(biāo)原點O,且與x軸,y軸分別相交于M〔4,0,N〔0,3兩點．已知拋物線開口向上,與⊙C交于N,H,P三點,P為拋物線的頂點,拋物線的對稱軸經(jīng)過點C且垂直x軸于點D．〔1求線段CD的長及頂點P的坐標(biāo)；〔2求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；〔3設(shè)拋物線交x軸于A,B兩點,在拋物線上是否存在點Q,使得S四邊形OPMN=8S△QAB,且△QAB∽△OBN成立？若存在,請求出Q點的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．15．如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0與y軸交與點C〔0,3,與x軸交于A、B兩點,點B坐標(biāo)為〔4,0,拋物線的對稱軸方程為x=1．〔1求拋物線的解析式；〔2點M從A點出發(fā),在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動,同時點N從B點出發(fā),在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動,其中一個點到達(dá)終點時,另一個點也停止運動,設(shè)△MBN的面積為S,點M運動時間為t,試求S與t的函數(shù)關(guān)系,并求S的最大值；〔3在點M運動過程中,是否存在某一時刻t,使△MBN為直角三角形？若存在,求出t值；若不存在,請說明理由．16．已知拋物線y=ax2+bx+c,其中2a=b＞0＞c,且a+b+c=0．〔1直接寫出關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根；〔2證明：拋物線y=ax2+bx+c的頂點A在第三象限；〔3直線y=x+m與x,y軸分別相交于B,C兩點,與拋物線y=ax2+bx+c相交于A,D兩點．設(shè)拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸與x軸相交于E．如果在對稱軸左側(cè)的拋物線上存在點F,使得△ADF與△BOC相似,并且S△ADF=S△ADE,求此時拋物線的表達(dá)式．17．已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c+1,①當(dāng)b=1時,求這個二次函數(shù)的對稱軸的方程；②若c=﹣b2﹣2b,問：b為何值時,二次函數(shù)的圖象與x軸相切？③若二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A〔x1,0,B〔x2,0,且x1＜x2,b＞0,與y軸的正半軸交于點M,以AB為直徑的半圓恰好過點M,二次函數(shù)的對稱軸l與x軸、直線BM、直線AM分別交于點D、E、F,且滿足=,求二次函數(shù)的表達(dá)式．18．如圖1,點A坐標(biāo)為〔2,0,以O(shè)A為邊在第一象限內(nèi)作等邊△OAB,點C為x軸上一動點,且在點A右側(cè),連接BC,以BC為邊在第一象限內(nèi)作等邊△BCD,連接AD交BC于E．〔1①直接回答：△OBC與△ABD全等嗎？②試說明：無論點C如何移動,AD始終與OB平行；〔2當(dāng)點C運動到使AC2=AE?AD時,如圖2,經(jīng)過O、B、C三點的拋物線為y1．試問：y1上是否存在動點P,使△BEP為直角三角形且BE為直角邊？若存在,求出點P坐標(biāo)；若不存在,說明理由；〔3在〔2的條件下,將y1沿x軸翻折得y2,設(shè)y1與y2組成的圖形為M,函數(shù)y=x+m的圖象l與M有公共點．試寫出：l與M的公共點為3個時,m的取值．19．拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A〔1,0,B〔m,0,與y軸交于C．〔1若m=﹣3,求拋物線的解析式,并寫出拋物線的對稱軸；〔2如圖1,在〔1的條件下,設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于D,在對稱軸左側(cè)的拋物線上有一點E,使S△ACE=S△ACD,求點E的坐標(biāo)；〔3如圖2,設(shè)F〔﹣1,﹣4,FG⊥y于G,在線段OG上是否存在點P,使∠OBP=∠FPG？若存在,求m的取值范圍；若不存在,請說明理由．20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中,規(guī)定：拋物線y=a〔x﹣h2+k的伴隨直線為y=a〔x﹣h+k．例如：拋物線y=2〔x+12﹣3的伴隨直線為y=2〔x+1﹣3,即y=2x﹣1．〔1在上面規(guī)定下,拋物線y=〔x+12﹣4的頂點坐標(biāo)為,伴隨直線為,拋物線y=〔x+12﹣4與其伴隨直線的交點坐標(biāo)為和；〔2如圖,頂點在第一象限的拋物線y=m〔x﹣12﹣4m與其伴隨直線相交于點A,B〔點A在點B的左側(cè),與x軸交于點C,D．①若∠CAB=90°,求m的值；②如果點P〔x,y是直線BC上方拋物線上的一個動點,△PBC的面積記為S,當(dāng)S取得最大值時,求m的值．21．我們知道,經(jīng)過原點的拋物線可以用y=ax2+bx〔a≠0表示,對于這樣的拋物線：〔1當(dāng)拋物線經(jīng)過點〔﹣2,0和〔﹣1,3時,求拋物線的表達(dá)式；〔2當(dāng)拋物線的頂點在直線y=﹣2x上時,求b的值；〔3如圖,現(xiàn)有一組這樣的拋物線,它們的頂點A1、A2、…,An在直線y=﹣2x上,橫坐標(biāo)依次為﹣1,﹣2,﹣3,…,﹣n〔n為正整數(shù),且n≤12,分別過每個頂點作x軸的垂線,垂足記為B1、B2,…,Bn,以線段AnBn為邊向左作正方形AnBnCnDn,如果這組拋物線中的某一條經(jīng)過點Dn,求此時滿足條件的正方形AnBnCnDn的邊長．22．如圖,拋物線y=a〔x﹣1〔x﹣3與x軸交于A,B兩點,與y軸的正半軸交于點C,其頂點為D．〔1寫出C,D兩點的坐標(biāo)〔用含a的式子表示；〔2設(shè)S△BCD：S△ABD=k,求k的值；〔3當(dāng)△BCD是直角三角形時,求對應(yīng)拋物線的解析式．23．如圖所示,頂點為〔,﹣的拋物線y=ax2+bx+c過點M〔2,0．〔1求拋物線的解析式；〔2點A是拋物線與x軸的交點〔不與點M重合,點B是拋物線與y軸的交點,點C是直線y=x+1上一點〔處于x軸下方,點D是反比例函數(shù)y=〔k＞0圖象上一點,若以點A,B,C,D為頂點的四邊形是菱形,求k的值．24．如圖,拋物線y=ax2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,已知A〔3,0,且M〔1,﹣是拋物線上另一點．〔1求a、b的值；〔2連結(jié)AC,設(shè)點P是y軸上任一點,若以P、A、C三點為頂點的三角形是等腰三角形,求P點的坐標(biāo)；〔3若點N是x軸正半軸上且在拋物線內(nèi)的一動點〔不與O、A重合,過點N作NH∥AC交拋物線的對稱軸于H點．設(shè)ON=t,△ONH的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．25．如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=ax2+bx﹣5與x軸交于A〔﹣1,0,B〔5,0兩點,與y軸交于點C．〔1求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；〔2若點D是y軸上的一點,且以B,C,D為頂點的三角形與△ABC相似,求點D的坐標(biāo)；〔3如圖2,CE∥x軸與拋物線相交于點E,點H是直線CE下方拋物線上的動點,過點H且與y軸平行的直線與BC,CE分別相交于點F,G,試探究當(dāng)點H運動到何處時,四邊形CHEF的面積最大,求點H的坐標(biāo)及最大面積；〔4若點K為拋物線的頂點,點M〔4,m是該拋物線上的一點,在x軸,y軸上分別找點P,Q,使四邊形PQKM的周長最小,求出點P,Q的坐標(biāo)．26．如圖,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點B〔3,0,C〔0,﹣2,直線l：y=﹣x﹣交y軸于點E,且與拋物線交于A,D兩點,P為拋物線上一動點〔不與A,D重合．〔1求拋物線的解析式；〔2當(dāng)點P在直線l下方時,過點P作PM∥x軸交l于點M,PN∥y軸交l于點N,求PM+PN的最大值．〔3設(shè)F為直線l上的點,以E,C,P,F為頂點的四邊形能否構(gòu)成平行四邊形？若能,求出點F的坐標(biāo)；若不能,請說明理由．27．如圖,⊙M的圓心M〔﹣1,2,⊙M經(jīng)過坐標(biāo)原點O,與y軸交于點A．經(jīng)過點A的一條直線l解析式為：y=﹣x+4與x軸交于點B,以M為頂點的拋物線經(jīng)過x軸上點D〔2,0和點C〔﹣4,0．〔1求拋物線的解析式；〔2求證：直線l是⊙M的切線；〔3點P為拋物線上一動點,且PE與直線l垂直,垂足為E；PF∥y軸,交直線l于點F,是否存在這樣的點P,使△PEF的面積最?。舸嬖?請求出此時點P的坐標(biāo)及△PEF面積的最小值；若不存在,請說明理由．28．如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上,點B坐標(biāo)為〔4,t〔t＞0,二次函數(shù)y=x2+bx〔b＜0的圖象經(jīng)過點B,頂點為點D．〔1當(dāng)t=12時,頂點D到x軸的距離等于；〔2點E是二次函數(shù)y=x2+bx〔b＜0的圖象與x軸的一個公共點〔點E與點O不重合,求OE?EA的最大值及取得最大值時的二次函數(shù)表達(dá)式；〔3矩形OABC的對角線OB、AC交于點F,直線l平行于x軸,交二次函數(shù)y=x2+bx〔b＜0的圖象于點M、N,連接DM、DN,當(dāng)△DMN≌△FOC時,求t的值．29．如圖甲,直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C,經(jīng)過B、C兩點的拋物線y=x2+bx+c與x軸的另一個交點為A,頂點為P．〔1求該拋物線的解析式；〔2在該拋物線的對稱軸上是否存在點M,使以C,P,M為頂點的三角形為等腰三角形？若存在,請直接寫出所符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由；〔3當(dāng)0＜x＜3時,在拋物線上求一點E,使△CBE的面積有最大值〔圖乙、丙供畫圖探究．30．如圖,拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0與直線y=x+1相交于A〔﹣1,0,B〔4,m兩點,且拋物線經(jīng)過點C〔5,0．〔1求拋物線的解析式；〔2點P是拋物線上的一個動點〔不與點A、點B重合,過點P作直線PD⊥x軸于點D,交直線AB于點E．①當(dāng)PE=2ED時,求P點坐標(biāo)；②是否存在點P使△BEC為等腰三角形？若存在請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．1．如圖,直線y=﹣x+c與x軸交于點A〔3,0,與y軸交于點B,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A,B．〔1求點B的坐標(biāo)和拋物線的解析式；〔2M〔m,0為x軸上一動點,過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P,N．①點M在線段OA上運動,若以B,P,N為頂點的三角形與△APM相似,求點M的坐標(biāo)；②點M在x軸上自由運動,若三個點M,P,N中恰有一點是其它兩點所連線段的中點〔三點重合除外,則稱M,P,N三點為"共諧點"．請直接寫出使得M,P,N三點成為"共諧點"的m的值．[分析]〔1把A點坐標(biāo)代入直線解析式可求得c,則可求得B點坐標(biāo),由A、B的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；〔2①由M點坐標(biāo)可表示P、N的坐標(biāo),從而可表示出MA、MP、PN、PB的長,分∠NBP=90°和∠BNP=90°兩種情況,分別利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于m的方程,可求得m的值；②用m可表示出M、P、N的坐標(biāo),由題意可知有P為線段MN的中點、M為線段PN的中點或N為線段PM的中點,可分別得到關(guān)于m的方程,可求得m的值．[解答]解：〔1∵y=﹣x+c與x軸交于點A〔3,0,與y軸交于點B,∴0=﹣2+c,解得c=2,∴B〔0,2,∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A,B,∴,解得,∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+2；〔2①由〔1可知直線解析式為y=﹣x+2,∵M(jìn)〔m,0為x軸上一動點,過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P,N,∴P〔m,﹣m+2,N〔m,﹣m2+m+2,∴PM=﹣m+2,AM=3﹣m,PN=﹣m2+m+2﹣〔﹣m+2=﹣m2+4m,∵△BPN和△APM相似,且∠BPN=∠APM,∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°,當(dāng)∠BNP=90°時,則有BN⊥MN,∴N點的縱坐標(biāo)為2,∴﹣m2+m+2=2,解得m=0〔舍去或m=2.5,∴M〔2.5,0；當(dāng)∠NBP=90°時,過點N作NC⊥y軸于點C,則∠NBC+∠BNC=90°,NC=m,BC=﹣m2+m+2﹣2=﹣m2+m,∵∠NBP=90°,∴∠NBC+∠ABO=90°,∴∠ABO=∠NBC,∴Rt△NCB∽Rt△BOA,∴=,∴=,解得m=0〔舍去或m=,∴M〔,0；綜上可知當(dāng)以B,P,N為頂點的三角形與△APM相似時,點M的坐標(biāo)為〔2.5,0或〔,0；②由①可知M〔m,0,P〔m,﹣m+2,N〔m,﹣m2+m+2,∵M(jìn),P,N三點為"共諧點",∴有P為線段MN的中點、M為線段PN的中點或N為線段PM的中點,當(dāng)P為線段MN的中點時,則有2〔﹣m+2=﹣m2+m+2,解得m=3〔三點重合,舍去或m=；當(dāng)M為線段PN的中點時,則有﹣m+2+〔﹣m2+m+2=0,解得m=3〔舍去或m=﹣1；當(dāng)N為線段PM的中點時,則有﹣m+2=2〔﹣m2+m+2,解得m=3〔舍去或m=﹣；綜上可知當(dāng)M,P,N三點成為"共諧點"時m的值為或﹣1或﹣．[點評]本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、線段的中點、方程思想及分類討論思想等知識．在〔1中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用,在〔2①中利用相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵,注意分兩種情況,在〔2②中利用"共諧點"的定義得到m的方程是解題的關(guān)鍵,注意分情況討論．本題考查知識點較多,綜合性較強(qiáng),分情況討論比較多,難度較大．2．如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線C：y=ax2+bx+c與x軸相交于A,B兩點,頂點為D〔0,4,AB=4,設(shè)點F〔m,0是x軸的正半軸上一點,將拋物線C繞點F旋轉(zhuǎn)180°,得到新的拋物線C′．〔1求拋物線C的函數(shù)表達(dá)式；〔2若拋物線C′與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個不同的公共點,求m的取值范圍．〔3如圖2,P是第一象限內(nèi)拋物線C上一點,它到兩坐標(biāo)軸的距離相等,點P在拋物線C′上的對應(yīng)點P′,設(shè)M是C上的動點,N是C′上的動點,試探究四邊形PMP′N能否成為正方形？若能,求出m的值；若不能,請說明理由．[分析]〔1由題意拋物線的頂點D〔0,4,A〔﹣2,0,設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+4,把A〔2,0代入可得a=﹣,由此即可解決問題；〔2由題意拋物線C′的頂點坐標(biāo)為〔2m,﹣4,設(shè)拋物線C′的解析式為y=〔x﹣2m2﹣4,由,消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0,由題意,拋物線C′與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個不同的公共點,則有,解不等式組即可解決問題；〔3情形1,四邊形PMP′N能成為正方形．作PE⊥x軸于E,MH⊥x軸于H．由題意易知P〔2,2,當(dāng)△PFM是等腰直角三角形時,四邊形PMP′N是正方形,推出PF=FM,∠PFM=90°,易證△PFE≌△FMH,可得PE=FH=2,EF=HM=2﹣m,可得M〔m+2,m﹣2,理由待定系數(shù)法即可解決問題；情形2,如圖,四邊形PMP′N是正方形,同法可得M〔m﹣2,2﹣m,利用待定系數(shù)法即可解決問題．[解答]解：〔1由題意拋物線的頂點D〔0,4,A〔﹣2,0,設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+4,把A〔﹣2,0代入可得a=﹣,∴拋物線C的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x2+4．〔2由題意拋物線C′的頂點坐標(biāo)為〔2m,﹣4,設(shè)拋物線C′的解析式為y=〔x﹣2m2﹣4,由,消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0,由題意,拋物線C′與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個不同的公共點,則有,解得2＜m＜2,∴滿足條件的m的取值范圍為2＜m＜2．〔3結(jié)論：四邊形PMP′N能成為正方形．理由：1情形1,如圖,作PE⊥x軸于E,MH⊥x軸于H．由題意易知P〔2,2,當(dāng)△PFM是等腰直角三角形時,四邊形PMP′N是正方形,∴PF=FM,∠PFM=90°,易證△PFE≌△FMH,可得PE=FH=2,EF=HM=2﹣m,∴M〔m+2,m﹣2,∵點M在y=﹣x2+4上,∴m﹣2=﹣〔m+22+4,解得m=﹣3或﹣﹣3〔舍棄,∴m=﹣3時,四邊形PMP′N是正方形．情形2,如圖,四邊形PMP′N是正方形,同法可得M〔m﹣2,2﹣m,把M〔m﹣2,2﹣m代入y=﹣x2+4中,2﹣m=﹣〔m﹣22+4,解得m=6或0〔舍棄,∴m=6時,四邊形PMP′N是正方形．綜上,四邊形PMP′N能成為正方形,m=﹣3或6．[點評]本題考查二次函數(shù)綜合題、中心對稱變換、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等知識,解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題,學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題,屬于中考壓軸題．3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中的點P和圖形M,給出如下的定義：若在圖形M上存在一點Q,使得P、Q兩點間的距離小于或等于1,則稱P為圖形M的關(guān)聯(lián)點．〔1當(dāng)⊙O的半徑為2時,①在點P1〔,0,P2〔,,P3〔,0中,⊙O的關(guān)聯(lián)點是P2,P3．②點P在直線y=﹣x上,若P為⊙O的關(guān)聯(lián)點,求點P的橫坐標(biāo)的取值范圍．〔2⊙C的圓心在x軸上,半徑為2,直線y=﹣x+1與x軸、y軸交于點A、B．若線段AB上的所有點都是⊙C的關(guān)聯(lián)點,直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．[分析]〔1①根據(jù)點P1〔,0,P2〔,,P3〔,0,求得OP1=,OP2=1,OP3=,于是得到結(jié)論；②根據(jù)定義分析,可得當(dāng)最小y=﹣x上的點P到原點的距離在1到3之間時符合題意,設(shè)P〔x,﹣x,根據(jù)兩點間的距離公式即可得到結(jié)論；〔2根據(jù)已知條件得到A〔1,0,B〔0,1,如圖1,當(dāng)圓過點A時,得到C〔﹣2,0,如圖2,當(dāng)直線AB與小圓相切時,切點為D,得到C〔1﹣,0,于是得到結(jié)論；如圖3,當(dāng)圓過點A,則AC=1,得到C〔2,0,如圖4,當(dāng)圓過點B,連接BC,根據(jù)勾股定理得到C〔2,0,于是得到結(jié)論．[解答]解：〔1①∵點P1〔,0,P2〔,,P3〔,0,∴OP1=,OP2=1,OP3=,∴P1與⊙O的最小距離為,P2與⊙O的最小距離為1,OP3與⊙O的最小距離為,∴⊙O,⊙O的關(guān)聯(lián)點是P2,P3；故答案為：P2,P3；②根據(jù)定義分析,可得當(dāng)最小y=﹣x上的點P到原點的距離在1到3之間時符合題意,∴設(shè)P〔x,﹣x,當(dāng)OP=1時,由距離公式得,OP==1,∴x=,當(dāng)OP=3時,OP==3,解得：x=±；∴點P的橫坐標(biāo)的取值范圍為：﹣≤x≤﹣,或≤x≤；〔2∵直線y=﹣x+1與x軸、y軸交于點A、B,∴A〔1,0,B〔0,1,如圖1,當(dāng)圓過點A時,此時,CA=3,∴C〔﹣2,0,如圖2,當(dāng)直線AB與小圓相切時,切點為D,∴CD=1,∵直線AB的解析式為y=﹣x+1,∴直線AB與x軸的夾角=45°,∴AC=,∴C〔1﹣,0,∴圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍為：﹣2≤xC≤1﹣；如圖3,當(dāng)圓過點A,則AC=1,∴C〔2,0,如圖4,當(dāng)圓過點B,連接BC,此時,BC=3,∴OC==2,∴C〔2,0．∴圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍為：2≤xC≤2；綜上所述；圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍為：﹣2≤xC≤1﹣或2≤xC≤2．[點評]本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì),勾股定理,直線與圓的位置關(guān)系,兩點間的距離公式,正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．4．如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣x2+ax+b交x軸于A〔1,0,B〔3,0兩點,點P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一點,直線BP與y軸相交于點C．〔1求拋物線y=﹣x2+ax+b的解析式；〔2當(dāng)點P是線段BC的中點時,求點P的坐標(biāo)；〔3在〔2的條件下,求sin∠OCB的值．[分析]〔1將點A、B代入拋物線y=﹣x2+ax+b,解得a,b可得解析式；〔2由C點橫坐標(biāo)為0可得P點橫坐標(biāo),將P點橫坐標(biāo)代入〔1中拋物線解析式,易得P點坐標(biāo)；〔3由P點的坐標(biāo)可得C點坐標(biāo),由B、C的坐標(biāo),利用勾股定理可得BC長,利用sin∠OCB=可得結(jié)果．[解答]解：〔1將點A、B代入拋物線y=﹣x2+ax+b可得,,解得,a=4,b=﹣3,∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+4x﹣3；〔2∵點C在y軸上,所以C點橫坐標(biāo)x=0,∵點P是線段BC的中點,∴點P橫坐標(biāo)xP==,∵點P在拋物線y=﹣x2+4x﹣3上,∴yP=﹣3=,∴點P的坐標(biāo)為〔,；〔3∵點P的坐標(biāo)為〔,,點P是線段BC的中點,∴點C的縱坐標(biāo)為2×﹣0=,∴點C的坐標(biāo)為〔0,,∴BC==,∴sin∠OCB===．[點評]本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和解直角三角形,利用中點求得點P的坐標(biāo)是解答此題的關(guān)鍵．5．如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A和點B,與y軸交于點C,點B坐標(biāo)為〔6,0,點C坐標(biāo)為〔0,6,點D是拋物線的頂點,過點D作x軸的垂線,垂足為E,連接BD．〔1求拋物線的解析式及點D的坐標(biāo)；〔2點F是拋物線上的動點,當(dāng)∠FBA=∠BDE時,求點F的坐標(biāo)；〔3若點M是拋物線上的動點,過點M作MN∥x軸與拋物線交于點N,點P在x軸上,點Q在坐標(biāo)平面內(nèi),以線段MN為對角線作正方形MPNQ,請寫出點Q的坐標(biāo)．[分析]〔1由B、C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式,再求其頂點D即可；〔2過F作FG⊥x軸于點G,可設(shè)出F點坐標(biāo),利用△FBG∽△BDE,由相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于F點坐標(biāo)的方程,可求得F點的坐標(biāo)；〔3由于M、N兩點關(guān)于對稱軸對稱,可知點P為對稱軸與x軸的交點,點Q在對稱軸上,可設(shè)出Q點的坐標(biāo),則可表示出M的坐標(biāo),代入拋物線解析式可求得Q點的坐標(biāo)．[解答]解：〔1把B、C兩點坐標(biāo)代入拋物線解析式可得,解得,∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+6,∵y=﹣x2+2x+6=﹣〔x﹣22+8,∴D〔2,8；〔2如圖1,過F作FG⊥x軸于點G,設(shè)F〔x,﹣x2+2x+6,則FG=|﹣x2+2x+6|,∵∠FBA=∠BDE,∠FGB=∠BED=90°,∴△FBG∽△BDE,∴=,∵B〔6,0,D〔2,8,∴E〔2,0,BE=4,DE=8,OB=6,∴BG=6﹣x,∴=,當(dāng)點F在x軸上方時,有=,解得x=﹣1或x=6〔舍去,此時F點的坐標(biāo)為〔﹣1,；當(dāng)點F在x軸下方時,有=﹣,解得x=﹣3或x=6〔舍去,此時F點的坐標(biāo)為〔﹣3,﹣；綜上可知F點的坐標(biāo)為〔﹣1,或〔﹣3,﹣；〔3如圖2,設(shè)對角線MN、PQ交于點O′,∵點M、N關(guān)于拋物線對稱軸對稱,且四邊形MPNQ為正方形,∴點P為拋物線對稱軸與x軸的交點,點Q在拋物線的對稱軸上,設(shè)Q〔2,2n,則M坐標(biāo)為〔2﹣n,n,∵點M在拋物線y=﹣x2+2x+6的圖象上,∴n=﹣〔2﹣n2+2〔2﹣n+6,解得n=﹣1+或n=﹣1﹣,∴滿足條件的點Q有兩個,其坐標(biāo)分別為〔2,﹣2+2或〔2,﹣2﹣2．[點評]本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識．在〔1中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用,在〔2中構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵,注意有兩種情況,在〔3中確定出P、Q的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多,綜合性較強(qiáng),難度適中．6．已知拋物線y=x2+bx﹣3〔b是常數(shù)經(jīng)過點A〔﹣1,0．〔1求該拋物線的解析式和頂點坐標(biāo)；〔2P〔m,t為拋物線上的一個動點,P關(guān)于原點的對稱點為P'．①當(dāng)點P'落在該拋物線上時,求m的值；②當(dāng)點P'落在第二象限內(nèi),P'A2取得最小值時,求m的值．[分析]〔1把A點坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得b的值,則可求得拋物線解析式,進(jìn)一步可求得其頂點坐標(biāo)；〔2①由對稱可表示出P′點的坐標(biāo),再由P和P′都在拋物線上,可得到關(guān)于m的方程,可求得m的值；②由點P′在第二象限,可求得t的取值范圍,利用兩點間距離公式可用t表示出P′A2,再由點P′在拋物線上,可以消去m,整理可得到關(guān)于t的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其取得最小值時t的值,則可求得m的值．[解答]解：〔1∵拋物線y=x2+bx﹣3經(jīng)過點A〔﹣1,0,∴0=1﹣b﹣3,解得b=﹣2,∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3,∵y=x2﹣2x﹣3=〔x﹣12﹣4,∴拋物線頂點坐標(biāo)為〔1,﹣4；〔2①由P〔m,t在拋物線上可得t=m2﹣2m﹣3,∵點P′與P關(guān)于原點對稱,∴P′〔﹣m,﹣t,∵點P′落在拋物線上,∴﹣t=〔﹣m2﹣2〔﹣m﹣3,即t=﹣m2﹣2m+3,∴m2﹣2m﹣3=﹣m2﹣2m+3,解得m=或m=﹣；②由題意可知P′〔﹣m,﹣t在第二象限,∴﹣m＜0,﹣t＞0,即m＞0,t＜0,∵拋物線的頂點坐標(biāo)為〔1,﹣4,∴﹣4≤t＜0,∵P在拋物線上,∴t=m2﹣2m﹣3,∴m2﹣2m=t+3,∵A〔﹣1,0,P′〔﹣m,﹣t,∴P′A2=〔﹣m+12+〔﹣t2=m2﹣2m+1+t2=t2+t+4=〔t+2+；∴當(dāng)t=﹣時,P′A2有最小值,∴﹣=m2﹣2m﹣3,解得m=或m=,∵m＞0,∴m=不合題意,舍去,∴m的值為．[點評]本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及待定系數(shù)法、中心對稱、二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理、方程思想等知識．在〔1中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用,在〔2①中求得P′點的坐標(biāo),得到關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵,在〔2②中用t表示出P′A2是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多,綜合性較強(qiáng),難度適中．7．在同一直角坐標(biāo)系中,拋物線C1：y=ax2﹣2x﹣3與拋物線C2：y=x2+mx+n關(guān)于y軸對稱,C2與x軸交于A、B兩點,其中點A在點B的左側(cè)．〔1求拋物線C1,C2的函數(shù)表達(dá)式；〔2求A、B兩點的坐標(biāo)；〔3在拋物線C1上是否存在一點P,在拋物線C2上是否存在一點Q,使得以AB為邊,且以A、B、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在,求出P、Q兩點的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．[分析]〔1由對稱可求得a、n的值,則可求得兩函數(shù)的對稱軸,可求得m的值,則可求得兩拋物線的函數(shù)表達(dá)式；〔2由C2的函數(shù)表達(dá)式可求得A、B的坐標(biāo)；〔3由題意可知AB只能為平行四邊形的邊,利用平行四邊形的性質(zhì),可設(shè)出P點坐標(biāo),表示出Q點坐標(biāo),代入C2的函數(shù)表達(dá)式可求得P、Q的坐標(biāo)．[解答]解：〔1∵C1、C2關(guān)于y軸對稱,∴C1與C2的交點一定在y軸上,且C1與C2的形狀、大小均相同,∴a=1,n=﹣3,∴C1的對稱軸為x=1,∴C2的對稱軸為x=﹣1,∴m=2,∴C1的函數(shù)表示式為y=x2﹣2x﹣3,C2的函數(shù)表達(dá)式為y=x2+2x﹣3；〔2在C2的函數(shù)表達(dá)式為y=x2+2x﹣3中,令y=0可得x2+2x﹣3=0,解得x=﹣3或x=1,∴A〔﹣3,0,B〔1,0；〔3存在．∵AB的中點為〔﹣1,0,且點P在拋物線C1上,點Q在拋物線C2上,∴AB只能為平行四邊形的一邊,∴PQ∥AB且PQ=AB,由〔2可知AB=1﹣〔﹣3=4,∴PQ=4,設(shè)P〔t,t2﹣2t﹣3,則Q〔t+4,t2﹣2t﹣3或〔t﹣4,t2﹣2t﹣3,①當(dāng)Q〔t+4,t2﹣2t﹣3時,則t2﹣2t﹣3=〔t+42+2〔t+4﹣3,解得t=﹣2,∴t2﹣2t﹣3=4+4﹣3=5,∴P〔﹣2,5,Q〔2,5；②當(dāng)Q〔t﹣4,t2﹣2t﹣3時,則t2﹣2t﹣3=〔t﹣42+2〔t﹣4﹣3,解得t=2,∴t2﹣2t﹣3=4﹣4﹣3=﹣3,∴P〔2,﹣3,Q〔﹣2,﹣3,綜上可知存在滿足條件的點P、Q,其坐標(biāo)為P〔﹣2,5,Q〔2,5或P〔2,﹣3,Q〔﹣2,﹣3．[點評]本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及待定系數(shù)法、對稱的性質(zhì)、函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點、平行四邊形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識．在〔1中由對稱性質(zhì)求得a、n的值是解題的關(guān)鍵,在〔2中注意函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點的求法即可,在〔3中確定出PQ的長度,設(shè)P點坐標(biāo)表示出Q點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多,綜合性較強(qiáng),難度適中．8．已知函數(shù)y=﹣x2+〔m﹣1x+m〔m為常數(shù)．〔1該函數(shù)的圖象與x軸公共點的個數(shù)是D．A.0B.1C.2D.1或2〔2求證：不論m為何值,該函數(shù)的圖象的頂點都在函數(shù)y=〔x+12的圖象上．〔3當(dāng)﹣2≤m≤3時,求該函數(shù)的圖象的頂點縱坐標(biāo)的取值范圍．[分析]〔1表示出根的判別式,判斷其正負(fù)即可得到結(jié)果；〔2將二次函數(shù)解析式配方變形后,判斷其頂點坐標(biāo)是否在已知函數(shù)圖象即可；〔3根據(jù)m的范圍確定出頂點縱坐標(biāo)范圍即可．[解答]解：〔1∵函數(shù)y=﹣x2+〔m﹣1x+m〔m為常數(shù),∴△=〔m﹣12+4m=〔m+12≥0,則該函數(shù)圖象與x軸的公共點的個數(shù)是1或2,故選D；〔2y=﹣x2+〔m﹣1x+m=﹣〔x﹣2+,把x=代入y=〔x+12得：y=〔+12=,則不論m為何值,該函數(shù)的圖象的頂點都在函數(shù)y=〔x+12的圖象上；〔3設(shè)函數(shù)z=,當(dāng)m=﹣1時,z有最小值為0；當(dāng)m＜﹣1時,z隨m的增大而減??；當(dāng)m＞﹣1時,z隨m的增大而增大,當(dāng)m=﹣2時,z=；當(dāng)m=3時,z=4,則當(dāng)﹣2≤m≤3時,該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)的取值范圍是0≤z≤4．[點評]此題考查了拋物線與x軸的交點,以及二次函數(shù)的性質(zhì),熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．9．已知直線y=2x+m與拋物線y=ax2+ax+b有一個公共點M〔1,0,且a＜b．〔Ⅰ求拋物線頂點Q的坐標(biāo)〔用含a的代數(shù)式表示；〔Ⅱ說明直線與拋物線有兩個交點；〔Ⅲ直線與拋物線的另一個交點記為N．〔ⅰ若﹣1≤a≤﹣,求線段MN長度的取值范圍；〔ⅱ求△QMN面積的最小值．[分析]〔Ⅰ把M點坐標(biāo)代入拋物線解析式可得到b與a的關(guān)系,可用a表示出拋物線解析式,化為頂點式可求得其頂點坐標(biāo)；〔Ⅱ由直線解析式可先求得m的值,聯(lián)立直線與拋物線解析式,消去y,可得到關(guān)于x的一元二次方程,再判斷其判別式大于0即可；〔Ⅲ〔i由〔Ⅱ的方程,可求得N點坐標(biāo),利用勾股定理可求得MN2,利用二次函數(shù)性質(zhì)可求得MN長度的取值范圍；〔ii設(shè)拋物線對稱軸交直線與點E,則可求得E點坐標(biāo),利用S△QMN=S△QEN+S△QEM可用a表示出△QMN的面積,再整理成關(guān)于a的一元二次方程,利用判別式可得其面積的取值范圍,可求得答案．[解答]解：〔Ⅰ∵拋物線y=ax2+ax+b過點M〔1,0,∴a+a+b=0,即b=﹣2a,∴y=ax2+ax+b=ax2+ax﹣2a=a〔x+2﹣,∴拋物線頂點Q的坐標(biāo)為〔﹣,﹣；〔Ⅱ∵直線y=2x+m經(jīng)過點M〔1,0,∴0=2×1+m,解得m=﹣2,聯(lián)立直線與拋物線解析式,消去y可得ax2+〔a﹣2x﹣2a+2=0〔*∴△=〔a﹣22﹣4a〔﹣2a+2=9a2﹣12a+4,由〔Ⅰ知b=﹣2a,且a＜b,∴a＜0,b＞0,∴△＞0,∴方程〔*有兩個不相等的實數(shù)根,∴直線與拋物線有兩個交點；〔Ⅲ聯(lián)立直線與拋物線解析式,消去y可得ax2+〔a﹣2x﹣2a+2=0,即x2+〔1﹣x﹣2+=0,∴〔x﹣1[x﹣〔﹣2]=0,解得x=1或x=﹣2,∴N點坐標(biāo)為〔﹣2,﹣6,〔i由勾股定理可得MN2=[〔﹣2﹣1]2+〔﹣62=﹣+45=20〔﹣2,∵﹣1≤a≤﹣,∴﹣2≤≤﹣1,∴MN2隨的增大而減小,∴當(dāng)=﹣2時,MN2有最大值245,則MN有最大值7,當(dāng)=﹣1時,MN2有最小值125,則MN有最小值5,∴線段MN長度的取值范圍為5≤MN≤7；〔ii如圖,設(shè)拋物線對稱軸交直線與點E,∵拋物線對稱軸為x=﹣,∴E〔﹣,﹣3,∵M(jìn)〔1,0,N〔﹣2,﹣6,且a＜0,設(shè)△QMN的面積為S,∴S=S△QEN+S△QEM=|〔﹣2﹣1|?|﹣﹣〔﹣3|=﹣﹣,∴27a2+〔8S﹣54a+24=0〔*,∵關(guān)于a的方程〔*有實數(shù)根,∴△=〔8S﹣542﹣4×27×24≥0,即〔8S﹣542≥〔362,∵a＜0,∴S=﹣﹣＞,∴8S﹣54＞0,∴8S﹣54≥36,即S≥+,當(dāng)S=+時,由方程〔*可得a=﹣滿足題意,∴當(dāng)a=﹣,b=時,△QMN面積的最小值為+．[點評]本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及函數(shù)圖象的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)、根的判別式、勾股定理、三角形的面積等知識．在〔1中由M的坐標(biāo)得到b與a的關(guān)系是解題的關(guān)鍵,在〔2中聯(lián)立兩函數(shù)解析式,得到關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵,在〔3中求得N點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵,在最后一小題中用a表示出△QMN的面積是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多,綜合性較強(qiáng),難度較大．10．在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)二次函數(shù)y1=〔x+a〔x﹣a﹣1,其中a≠0．〔1若函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點〔1,﹣2,求函數(shù)y1的表達(dá)式；〔2若一次函數(shù)y2=ax+b的圖象與y1的圖象經(jīng)過x軸上同一點,探究實數(shù)a,b滿足的關(guān)系式；〔3已知點P〔x0,m和Q〔1,n在函數(shù)y1的圖象上,若m＜n,求x0的取值范圍．[分析]〔1根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式；〔2根據(jù)函數(shù)圖象上的點滿足函數(shù)解析式,可得答案；〔3根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得答案．[解答]解：〔1函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點〔1,﹣2,得〔a+1〔﹣a=﹣2,解得a1=﹣2,a2=1,函數(shù)y1的表達(dá)式y(tǒng)=〔x﹣2〔x+2﹣1,化簡,得y=x2﹣x﹣2；函數(shù)y1的表達(dá)式y(tǒng)=〔x+1〔x﹣2化簡,得y=x2﹣x﹣2,綜上所述：函數(shù)y1的表達(dá)式y(tǒng)=x2﹣x﹣2；〔2當(dāng)y=0時〔x+a〔x﹣a﹣1=0,解得x1=﹣a,x2=a+1,y1的圖象與x軸的交點是〔﹣a,0,〔a+1,0,當(dāng)y2=ax+b經(jīng)過〔﹣a,0時,﹣a2+b=0,即b=a2；當(dāng)y2=ax+b經(jīng)過〔a+1,0時,a2+a+b=0,即b=﹣a2﹣a；〔3當(dāng)P在對稱軸的左側(cè)〔含頂點時,y隨x的增大而減小,〔1,n與〔0,n關(guān)于對稱軸對稱,由m＜n,得0＜x0≤；當(dāng)時P在對稱軸的右側(cè)時,y隨x的增大而增大,由m＜n,得＜x0＜1,綜上所述：m＜n,所求x0的取值范圍0＜x0＜1．[點評]本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,解〔1的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法；解〔2的關(guān)鍵是把點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式；解〔3的關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的性質(zhì),要分類討論,以防遺漏．11．定義：如圖1,拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0與x軸交于A,B兩點,點P在該拋物線上〔P點與A、B兩點不重合,如果△ABP的三邊滿足AP2+BP2=AB2,則稱點P為拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0的勾股點．〔1直接寫出拋物線y=﹣x2+1的勾股點的坐標(biāo)．〔2如圖2,已知拋物線C：y=ax2+bx〔a≠0與x軸交于A,B兩點,點P〔1,是拋物線C的勾股點,求拋物線C的函數(shù)表達(dá)式．〔3在〔2的條件下,點Q在拋物線C上,求滿足條件S△ABQ=S△ABP的Q點〔異于點P的坐標(biāo)．[分析]〔1根據(jù)拋物線勾股點的定義即可得；〔2作PG⊥x軸,由點P坐標(biāo)求得AG=1、PG=、PA=2,由tan∠PAB==知∠PAG=60°,從而求得AB=4,即B〔4,0,待定系數(shù)法求解可得；〔3由S△ABQ=S△ABP且兩三角形同底,可知點Q到x軸的距離為,據(jù)此求解可得．[解答]解：〔1拋物線y=﹣x2+1的勾股點的坐標(biāo)為〔0,1；〔2拋物線y=ax2+bx過原點,即點A〔0,0,如圖,作PG⊥x軸于點G,∵點P的坐標(biāo)為〔1,,∴AG=1、PG=,PA===2,∵tan∠PAB==,∴∠PAG=60°,在Rt△PAB中,AB===4,∴點B坐標(biāo)為〔4,0,設(shè)y=ax〔x﹣4,將點P〔1,代入得：a=﹣,∴y=﹣x〔x﹣4=﹣x2+x；〔3①當(dāng)點Q在x軸上方時,由S△ABQ=S△ABP知點Q的縱坐標(biāo)為,則有﹣x2+x=,解得：x1=3,x2=1〔不符合題意,舍去,∴點Q的坐標(biāo)為〔3,；②當(dāng)點Q在x軸下方時,由S△ABQ=S△ABP知點Q的縱坐標(biāo)為﹣,則有﹣x2+x=﹣,解得：x1=2+,x2=2﹣,∴點Q的坐標(biāo)為〔2+,﹣或〔2﹣,﹣；綜上,滿足條件的點Q有3個：〔3,或〔2+,﹣或〔2﹣,﹣．[點評]本題主要考查拋物線與x軸的交點及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,根據(jù)新定義求得點B的坐標(biāo),并熟練掌握待定系數(shù)求函數(shù)解析式及三角形面積問題是解題的關(guān)鍵．12．如圖,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,OB=OC．點D在函數(shù)圖象上,CD∥x軸,且CD=2,直線l是拋物線的對稱軸,E是拋物線的頂點．〔1求b、c的值；〔2如圖①,連接BE,線段OC上的點F關(guān)于直線l的對稱點F'恰好在線段BE上,求點F的坐標(biāo)；〔3如圖②,動點P在線段OB上,過點P作x軸的垂線分別與BC交于點M,與拋物線交于點N．試問：拋物線上是否存在點Q,使得△PQN與△APM的面積相等,且線段NQ的長度最?。咳绻嬖?求出點Q的坐標(biāo)；如果不存在,說明理由．[分析]〔1由條件可求得拋物線對稱軸,則可求得b的值；由OB=OC,可用c表示出B點坐標(biāo),代入拋物線解析式可求得c的值；〔2可設(shè)F〔0,m,則可表示出F′的坐標(biāo),由B、E的坐標(biāo)可求得直線BE的解析式,把F′坐標(biāo)代入直線BE解析式可得到關(guān)于m的方程,可求得F點的坐標(biāo)；〔3設(shè)點P坐標(biāo)為〔n,0,可表示出PA、PB、PN的長,作QR⊥PN,垂足為R,則可求得QR的長,用n可表示出Q、R、N的坐標(biāo),在Rt△QRN中,由勾股定理可得到關(guān)于n的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)可知其取得最小值時n的值,則可求得Q點的坐標(biāo),[解答]解：〔1∵CD∥x軸,CD=2,∴拋物線對稱軸為x=1．∴．∵OB=OC,C〔0,c,∴B點的坐標(biāo)為〔﹣c,0,∴0=c2+2c+c,解得c=﹣3或c=0〔舍去,∴c=﹣3；〔2設(shè)點F的坐標(biāo)為〔0,m．∵對稱軸為直線x=1,∴點F關(guān)于直線l的對稱點F的坐標(biāo)為〔2,m．由〔1可知拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3=〔x﹣12﹣4,∴E〔1,﹣4,∵直線BE經(jīng)過點B〔3,0,E〔1,﹣4,∴利用待定系數(shù)法可得直線BE的表達(dá)式為y=2x﹣6．∵點F在BE上,∴m=2×2﹣6=﹣2,即點F的坐標(biāo)為〔0,﹣2；〔3存在點Q滿足題意．設(shè)點P坐標(biāo)為〔n,0,則PA=n+1,PB=PM=3﹣n,PN=﹣n2+2n+3．作QR⊥PN,垂足為R,∵S△PQN=S△APM,∴,∴QR=1．①點Q在直線PN的左側(cè)時,Q點的坐標(biāo)為〔n﹣1,n2﹣4n,R點的坐標(biāo)為〔n,n2﹣4n,N點的坐標(biāo)為〔n,n2﹣2n﹣3．∴在Rt△QRN中,NQ2=1+〔2n﹣32,∴時,NQ取最小值1．此時Q點的坐標(biāo)為；②點Q在直線PN的