人教A版高三一輪復(fù)習教案67數(shù)列的綜合應(yīng)用教案

教案67數(shù)列的綜合應(yīng)用一、課前檢測1．猜想1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,……的第n個式子為。答案：2．用數(shù)學歸納法證明,在驗證成立時,左邊所得的項為(C)+C.D.二、知識梳理1.等差、等比數(shù)列的應(yīng)用題常見于：產(chǎn)量增減、價格升降、細胞繁殖等問題，求利率、增長率等問題也常歸結(jié)為數(shù)列建模問題。⑴生產(chǎn)部門中有增長率的總產(chǎn)量問題.例如，第一年產(chǎn)量為，年增長率為，則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為.其中第年產(chǎn)量為，且過年后總產(chǎn)量為：⑵銀行部門中按復(fù)利計算問題.例如：一年中每月初到銀行存元，利息為，每月利息按復(fù)利計算，則每月的元過個月后便成為元.因此，第二年年初可存款：=.注意：“分期付款”、“森林木材”型應(yīng)用問題⑴這類應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題.但在求解過程中，務(wù)必“卡手指”，細心計算“年限”.對于“森林木材”既增長又砍伐的問題,則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最后”解決.⑵利率問題：①單利問題：如零存整取儲蓄(單利)本利和計算模型：若每期存入本金元,每期利率為,則期后本利和為：(等差數(shù)列問題）；②復(fù)利問題：按揭貸款的分期等額還款(復(fù)利)模型：若貸款(向銀行借款)元,采用分期等額還款方式,從借款日算起,一期(如一年)后為第一次還款日,如此下去,分期還清.如果每期利率為（按復(fù)利），那么每期等額還款元應(yīng)滿足：(等比數(shù)列問題).⑶分期付款應(yīng)用題：為分期付款方式貸款為a元；m為m個月將款全部付清；為年利率.2.將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題時應(yīng)注意：（1）分清是等差數(shù)列還是等比數(shù)列；（2）分清是求an還是求Sn，特別要準確地確定項數(shù)n.3.數(shù)列與其他知識的綜合也是?？嫉念}型，如：數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何知識相互聯(lián)系和滲透，都是常見的題型。4.強化轉(zhuǎn)化思想、方程思想的應(yīng)用.三、典型例題分析題型1以等差數(shù)列為模型的問題例1由于美伊戰(zhàn)爭的影響，據(jù)估計，伊拉克將產(chǎn)生60~100萬難民，聯(lián)合國難民署計劃從4月1日起為伊難民運送食品.第一天運送1000t，第二天運送1100t，以后每天都比前一天多運送100t，直到達到運送食品的最大量，然后再每天遞減100t，連續(xù)運送15天，總共運送21300t，求在第幾天達到運送食品的最大量.剖析：本題實質(zhì)上是一個等差數(shù)列的求通項和求和的問題.解：設(shè)在第n天達到運送食品的最大量.則前n天每天運送的食品量是首項為1000，公差為100的等差數(shù)列.an=1000+（n－1）·100=100n+900.其余每天運送的食品量是首項為100n+800，公差為－100的等差數(shù)列.依題意，得1000n+×100+（100n+800）（15－n）+×（－100）=21300（1≤n≤15）.整理化簡得n2－31n+198=0.解得n=9或22（不合題意，舍去）.答：在第9天達到運送食品的最大量.變式訓練1數(shù)列{an}中，a1＝6，且an－an－1＝eq\f(an－1,n)＋n＋1(n∈N*，n≥2)，則這個數(shù)列的通項an＝________.答案：(n＋1)(n＋2)解：由已知等式得nan＝(n＋1)an－1＋n(n＋1)(n∈N*，n≥2)，則eq\f(an,n＋1)－eq\f(an－1,n)＝1，所以數(shù)列{eq\f(an,n＋1)}是以eq\f(a1,2)＝3為首項，1為公差的等差數(shù)列，即eq\f(an,n＋1)＝n＋2，則an＝(n＋1)(n＋2)．n＝1時，此式也成立．小結(jié)與拓展：對數(shù)列應(yīng)用題要分清是求通項問題還是求和問題。題型2以等比數(shù)列為模型的實際問題例2（2022年春季上海，20）某市2022年底有住房面積1200萬平方米，計劃從2022年起，每年拆除20萬平方米的舊住房.假定該市每年新建住房面積是上年年底住房面積的5%.（1）分別求2022年底和2022年底的住房面積；（2）求2024年底的住房面積.（計算結(jié)果以萬平方米為單位，且精確到）剖析：本題實質(zhì)是一個等比數(shù)列的求和問題.解:（1）2022年底的住房面積為1200（1+5%）－20=1240（萬平方米），2022年底的住房面積為1200（1+5%）2－20（1+5%）－20=1282（萬平方米），∴2022年底的住房面積為1240萬平方米，2022年底的住房面積為1282萬平方米.（2）2024年底的住房面積為1200（1+5%）20－20（1+5%）19－20（1+5%）18－…－20（1+5%）－20=1200（1+5%）20－20×≈（萬平方米），∴2024年底的住房面積約為萬平方米.評述：應(yīng)用題應(yīng)先建立數(shù)學模型，再用數(shù)學知識解決，然后回到實際問題，給出答案.變式訓練2從2002年1月2日起，每年1月2日到銀行存入一萬元定期儲蓄，若年利率為p，且保持不變，并約定每年到期存款均自動轉(zhuǎn)為新一年的定期存款，到2008年1月1日將所有存款及利息全部取回，則可取回的錢的總數(shù)為____萬元.答案：［（1+p）7－（1+p）］解：存款從后向前考慮（1+p）+（1+p）2+…+（1+p）5==［（1+p）7－（1+p）］.注：2022年不再存款.小結(jié)與拓展：對數(shù)列應(yīng)用題要分清是求通項問題還是求和問題。題型3數(shù)列與函數(shù)、不等式等問題的綜合應(yīng)用例3(文)在數(shù)列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N)．(1)試判斷數(shù)列{eq\f(1,an)}是否為等差數(shù)列；(2)設(shè){bn}滿足bn＝eq\f(1,an)，求數(shù)列{bn}的前n項為Sn；(3)若λan＋eq\f(1,an＋1)≥λ，對任意n≥2的整數(shù)恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．解：(1)∵a1≠0，∴an≠0，∴由已知可得eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝3(n≥2)，故數(shù)列{eq\f(1,an)}是等差數(shù)列．(2)由(1)的結(jié)論可得bn＝1＋(n－1)×3，所以bn＝3n－2，∴Sn＝eq\f(n(1＋3n－2),2)＝eq\f(n(3n－1),2).(3)將an＝eq\f(1,bn)＝eq\f(1,3n－2)代入λan＋eq\f(1,an＋1)≥λ并整理得λ(1－eq\f(1,3n－2))≤3n＋1，∴λ≤eq\f((3n＋1)(3n－2),3n－3)，原命題等價于該式對任意n≥2的整數(shù)恒成立．設(shè)Cn＝eq\f((3n＋1)(3n－2),3n－3)，則Cn＋1－Cn＝eq\f((3n＋1)(3n－4),3n(n－1))>0，故Cn＋1>Cn，∴Cn的最小值為C2＝eq\f(28,3)，∴λ的取值范圍是(－∞，eq\f(28,3)]．變式訓練3已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對任意n∈N*都有Sn＝eq\f(2,3)an－eq\f(1,3)，若1<Sk<9(k∈N*)，則k的值為________．答案：4解：∵Sn＝eq\f(2,3)an－eq\f(1,3)，∴S1＝eq\f(2,3)a1－eq\f(1,3)＝a1，a1＝－＝Sn－Sn－1(n>1)，即an＝(eq\f(2,3)an－eq\f(1,3))－(eq\f(2,3)an－1－eq\f(1,3))＝eq\f(2,3)an－eq\f(2,3)an－1，整理得：eq\f(an,an－1)＝－2，∴{an}是首項為－1，公比為－2的等比數(shù)列，Sk＝eq\f(a1(1－qk),1－q)＝eq\f((－2)k－1,3)，∵1<Sk<9，∴1<eq\f((－2)k－1,3)<9，即4<(－2)k<28，僅當k＝4時不等式成立．小結(jié)與拓展：數(shù)列的綜合問題常與函數(shù)、方程、不等式等知識相互聯(lián)系和滲透.四、歸納與總結(jié)（以學生為主，師生共同完成）1.等差、等比數(shù)列的應(yīng)用題常見于：產(chǎn)量增減、價格升降、