2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)必修5全冊學(xué)案含解析人教A版

2017?2018學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)必修5

全冊學(xué)案匯編

目錄

令第一章解三角形i.i.1正弦定理

令第一章解三角形1.1.2余弦定理

令第一章解三角形1.2.1正余弦定理在實際中的應(yīng)用

令第一章解三角形1.2.2正余弦定理在三角形中的應(yīng)用

令第二章數(shù)列2.1數(shù)列的概念與簡單表示法第一課時數(shù)列的概念與通項公式

令第二章數(shù)列2.1數(shù)列的概念與筒單表示法第二課時數(shù)列的通項公式與遞推公

式

令第二章數(shù)列2.2等差數(shù)列第一課時等差數(shù)列

令第二章數(shù)列2.2等差數(shù)列第二課時等差數(shù)列的性質(zhì)

令第二章數(shù)列2.3等差數(shù)列的前n項和

令第二章數(shù)列2.4等比數(shù)列第一課時等比數(shù)列

令第二章數(shù)列2.4等比數(shù)列第二課時等比數(shù)列的性質(zhì)

＜第二章數(shù)列2.5等比數(shù)列的前n項和第一課時等比數(shù)列的前n項和

令第二章數(shù)列2.5等比數(shù)列的前n項和第二課時數(shù)列求和習(xí)題課

令第三章不等式3.1不等關(guān)系與不等式

令第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法1

令第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法2

令第三章不等式3.3.1二元一次不等式組與平面區(qū)域

今第三章不等式3.3.2簡單的線性規(guī)劃問題

令第三章不等式3.4基本不等式

1.1.1正弦定理

層析教材，新知無師自通

倒回雷正弦定理

［提出問題］

如圖，在中，4=30°,斜邊c=2.

問題1：求△力回的其他邊和角.

提示：8=60°,C=90°,a—1,b=#.

問題2：試計算二M，7TL的值，三者有何關(guān)系？

sinAsinDsin6

提示：-j=2,-7=.—2,.二=2,三者的值相等.

sinAsmBsin60sinC

問題3：對于任意的直角三角形是否也有類似的結(jié)論?

提示：是.如圖，VsinA=~,

c

a

???c.

sinA

b.b

VsinB=-

c9,?sin5=c

a______b______c__

VsinC=l,

sinAsinBsinC

問題4：在鈍角中，6=C=30°,匕=小,試求其他邊和角.

提示：如圖，△/⑺為直角三角形，^=30°,仁木,

A

則止乎5=|,

BC=3?AB=pN胡C=120°.

問題5：問題4中所得數(shù)字滿足問題3中的結(jié)論嗎？

提示：滿足.

問題6：若是銳角三角形，上述結(jié)論還成立嗎？

1

提示：成立.

［導(dǎo)入新知］

1.正弦定理

在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

sin/—sinB-sinC

2.解三角形

一般地，把三角形的三個角4B,。和它們的對邊勢b,￡叫做三角形的元素，已知三

角形的兒個元素，求其他元素的過程叫做解三角形.

［化解疑難］

對正弦定理的理解

(1)適用范圍：正弦定理對任意的三角形都成立.

(2)結(jié)構(gòu)形式：分子為三角形的邊長，分母為相應(yīng)邊所對角的正弦的連等式.

(3)揭示規(guī)律：正弦定理指出的是三角形中三條邊與對應(yīng)角的正弦之間的一個關(guān)系式，

它描述了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系.

(4)主要功能：正弦定理的主要功能是實現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化.

鎖定考向，考題千變不離其宗

已知兩角及一邊解三角形

［例1］在△48C中，已知a=8,8=60°,C=75°,求4b,

［解］4=180°—(8+0=180°-(60°+75°)=45°.

b/口，asinB8Xsin60°r-

由得b=—r=—:—二一=4A/6,

sinBsinAIsmAsm45v

8x月也

a______c__asinC8><sin75°

ZB-^—=4加).

sinAsincCsinAsin45°

2

."=45°,b=4#,c=4(45+l).

［類題通法］

已知三角形任意兩角和一邊解三角形的基本思路

(1)由三角形的內(nèi)角和定理求出第三個角；

(2)由正弦定理公式的變形，求另外的兩條邊.

注意：若已知角不是特殊角時，往往先求出其正弦值(這時應(yīng)注意角的拆并，即將非特

2

殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差，如75°=45°+30°),再根據(jù)上述思路求解.

［活學(xué)活用］

在△/回中，已知c=10,4=45°,(7=30°,解這個三角形.

解：；4=45°,C=30°,

，8=180°—(什。=105°.

由si：廠si：渣csin4lOXsin450r-

sinC~sin30°

b______c,csinBlOXsin105°

sinBsinC"sinCsin30°=20sin75°

Vsin75°=sin(30°+45°)=sin300cos450+cos30°sin45°

也十乖

=4'

."=20X木:#=5小+5在

.,.5=105°,3=10^2,6=5巾+5#.

已知兩邊及一邊的對角解三角形

y

［例2］根據(jù)下列條件解三角形.

(1)2^附中，已知6=/,Q60°,c=l；

(2)Z\4?C中，己知。=乖,4=45°,a=2.

［解］(1)由正弦定理知

csinBIXsin60°=1,故。=30?；?。=1500.

Sln

\'A+B+C=180°,

：.C=150°不符合題意，舍去.

.\J=90°,a=y]l}+c=2.

故a=2,J=90°,C=30°.

⑵由正弦定理得sin45。=半

azz

故C=60?；颉?120°.

csinBmsin750

當(dāng)￡60°時，6=75°,bsinCsin60°=y/^+1.

csinB加sin15°

當(dāng)。=120°時，3=15°,b=

sinCsin120°

故6=/+l,A=75°,r=60°或6=/一1,3=15°,

C=120o.

3

［類題通法］

已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形時的方法

(1)首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值；

(2)如果已知的角為大邊所對的角時，由三角形中大邊對大角，大角對大邊的法則能判

斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一；

(3)如果已知的角為小邊所對的角時，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時由正弦

值可求兩個角，要分類討論.

［活學(xué)活用］

在△18，中，若C=~,a=2,求4B,b.

o

Lac加asinC42

解：由一:—:7得sinA==4.

sinAsmCc2

n3n

???力=7-或A=~-

又c>a,

：.OAf

_,JT

，只能取力=不，

nJT5n

廠5n

.V6?sin

csinBvT12Q

JI

sin7

題型三"判斷三角形的形狀

［例3］在中，sin2J=sin25+sin2C,且sin/=2sinBcosC,試判斷

的形狀.

［解］由正弦定理，得sin力=/sinB=*sin€=底（7?為△/87外接圓半徑）

Vsin3J=sin2〃+sin，C,

二⑥2=（附+尉,

即才二斤+1，故力=90。.

/.6?=90°—B,cosC=sinB.

A2sinBcosC=2sinJ6=sinA=1.

..n亞

..sm13=-^-.

4

.?.8=45°或8=135°(力+8=225°>180°,故舍去).

.?.△/玄是等腰直角三角形.

［類題通法］

1.判斷三角形的形狀，可以從考查三邊的關(guān)系入手，也可以從三個內(nèi)角的關(guān)系入手，

從條件出發(fā)，利用正弦定理進行代換、轉(zhuǎn)化，呈現(xiàn)出邊與邊的關(guān)系或求出角與角的關(guān)系或大

小，從而作出準(zhǔn)確判斷.

2.判斷三角形的形狀，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三

角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)

別.

［活學(xué)活用］

在中，若b=acosC,試判斷該三角形的形狀.

ab

解：b=acosC,—^~=~~-=2/?,("為△/式外接圓半徑)

sinAsinB

Asin8=sinA,cosC.

,:B=n—04+。，

/.sin(J+0=sinA,cosC.

艮|Jsin力cosC+cos/JsinC^=sinA?cosC,

/.cos力sinC=0,

VJ,Ce(0,n),Acos4=0,

Jl

."=萬,

???△//為直角三角形.

3修補短板，拉分題一分不丟

圖^B@系列y

/偏無度多/

1.警惕三角形中大邊對大角

［典例］在△｛氏'中，已知a=24，b=2,月=60°,貝！|6=

［解析］由正弦定理，得sin6=6乂已/=2義罷1一=*；0°<^<180°,：.B

=30°,或8=150°...”(a,根據(jù)三角形中大邊對大角可知，8二"。。不符合條件,

應(yīng)舍去，；.3=30°.

［答案］30°

［易錯防范］

5

1.由sin6=5得6=30°或150°,而忽視6=2<。=2/，從而易出錯.

2.在求出角的正弦值后，要根據(jù)“大邊對大角”和“內(nèi)角和定理”討論角的取舍.

［成功破障］

在△/第中，a,b,c分別是角4B,C所對應(yīng)的邊，且6=6,a=2小,4=30°,求

ac的值.

ab

解：由正弦定理?

sinAsin

bsinA6sin30°

sin

a2?

由條件6=6,a=2?4血知8>A.

...8=60°或120°.

①當(dāng)8=60°時，C=1800-A-B=180°-30°-60°=90°.

在RtZMbC中，C=90°,a=2小,6=6,c=4小,

Aac=2^3X4^3=24.

②當(dāng)6=120°時，＜7=180°-4-8=180°—30°-120°=30°,

：.A=C,貝lj有a=c=2，§.Aac=2,y［3X2yl3=12.

Mi庖周自主演練，百煉方成鋼

［隨堂即時演練］

1.(廣東高考)在△?!比■中，若/=60°,6=45°,6c=3/，則4g()

A.4/B.2y/3

C.小D.半

解析：選B由正弦定理得一々=一%

sinAsinB

即3立=AC

1sin60°~sin45°'

所以乎=2小，故選B.

2

2.在笫中，a=15,6=10,zf=60°,則cos6的值為（）

A.—平B.羋

oo

6

C.-VD半

oJ

ob15in

解析：選D根據(jù)正弦定理一^=—可得.的。=—^，

smAsm13sin60sin13

解得sin6=算，

o

又因為Ka,

所以欣4故8為銳角，

所以cosB—yj1—si

3.在△4%中，若(sin力+sinB)(sinJ-sin75)=sin2C,則△46c是_____三角

形.

解析：由已知得sir?/-sin"5=sin'C,根據(jù)正弦定理知

abc

sin,sin—,sin

所以閡-SM卦

即a2—/?2=c,故?+d=a,

所以△力回是直角三角形.

答案：直角

45

4.(全國甲卷)△A5C的內(nèi)角4B,。的對邊分別為a,b,c,若coscosa%

513

a=l,則b=______.

45

解析：在△力比'中，VcosA=-COSC=—,

5t13

/.sinJ=7，sinC=S，.'.sin4=sin(4+0=sir)JcosC+cos4sinC=~XX77

513513513

63

65,

?63

1x—

「abasinB6521

乂'sin；4=sinE：.b=

sin4—3-13,

5

答案：m

5.不解三角形，判斷下列三角形解的個數(shù).

⑴a=5,6=4,4=120°；

(2)a=7,8=14,4=150°；

7

(3)a=9,6=10,A=60°.

向/、Asin120°4J3A/3

解：⑴sinB-----------=5X2<2f

所以△力3。有一解.

小tein150°SIA八十5

⑵sinQ---=1,所以△胸?zé)o解.

小、.tein60°10小5m一#5#

（3）sinB=--------==乂丹-=-^-,而弓

a92929

所以當(dāng)6為銳角時，滿足sin6=球的6的取值范圍為60°V6<90°；

當(dāng)6為鈍角時有90°<6<120°,也滿足力+6<180°,

所以△48C有兩解.

［課時達(dá)標(biāo)檢測］

一、選擇題

1.在△板中，下列式子與迪W的值相等的是（）

a

A0sinB

B..

CsinAA

sinCc

C.D..,,

CsinC

解析：選C由正弦定理得品=至

sinAsinC

所以-----=-----.

a

2.在△板中，若sin冷sinB,則力與8的大小關(guān)系為（）

A.A>BB.A<B

C.D.A,8的大小關(guān)系不確定

解析:選AVsin冷sinB,

.*.27?sinJ>27feinB,

即a>b,故A>B.

3.一個三角形的兩個角分別等于120°和45°,若45°角所對的邊長是4m,那么120。

角所對邊長是（）

A.4B.12^/3

C.4^/3D.12

解析：選D若設(shè)120。角所對的邊長為x,

8

4季

則由正弦定理可得一

120°sin45°

4m?sin120°4mx

于是X—=12,故選D.

sin45°

2

4.在△46。中，已知6=40,c=20,C=60°,則此三角形的解的情況是（）

A.有一解有兩解

C.無解有解但解的個數(shù)不確定

hc

解析：選c由正弦定理得而干而

.?.角6不存在，即滿足條件的三角形不存在.

5.以下關(guān)于正弦定理或其變形的敘述錯誤的是（）

A.在充中，a：b：c=sinA：sinB：sinC

B.在△49。中，若sin2/=sin2B,則a=6

C.在中，若sinJ>sinB,則/>B,若A>B,則sin1>sin5都成立

D.在△?1國1中,

sinAsin5+sinC

解析：選B由正弦定理易知A,C,D正確.

對于B由sin24=sin2B,

可得力=6,或24+26=n,

即4=5,或/+5=萬，

，a=b,或a：+b'=c,故B錯誤.

二、填空題

2JT

6.（北京高考）在△/笈中，a=3,b=#,ZA=—,則N8=

o

qh

解析：在中，根據(jù)正弦定理一七=—

sinAsinD

可得sin8=乎.

.2m-sinE

Sin~

因為為鈍角，所以

9

答案：J

7.在△腑中，8=30°,(7=120°,則a：6：c=.

解析：4=180°—8—0=30°,由正弦定理得

a\b\c=sinA:sinB:sinC,

B|Ja：Z?：c=sin30°:sin30°：sin120°

=1:1:小.

答案：1：1：y/3

8.在中，若1=120°,AB=5,BC=1,則sinB=.

解析：由正弦定理，得

,48?sin-5sin120°5#

smABC-=7=14*

可知，為銳角，

/.cosC=yj]-sin2c=巳

Asin6=sin(180°-120°—C)=sin(60°—。

。。3m

=sin60?cosO-cos60?sinC=T~.

14

答案：n

三、解答題

9.在△/!a'中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知26=4+C,a+[^=2c,求

sinC的值.

U

解：：2S=A+CfA+B+C=180°,

A5=60°,力+0=120°,

AO°<J<120°,0°<?120°且

力=120°-a

???a+/b=2c,

由正弦定理得sin力+短sin8=2sinC,

，sin(120°—0+g=2sinC,

10

Asin(C-30°)=拳

V-30°<C-30°<90°,

AC-30°=45°,0=75°.

sinO=sin(45°+30°)

=sin45°cos30°+cos45°sin30°=乖”

4

10.（天津高考）在△力優(yōu)中，內(nèi)角4B,C所對的邊分別為ab,c.已知asin28=小

Z?sinA.

⑴求民

(2)若cos4=；,求sin。的值.

解：(1)由asin25=/bsin1及正弦定理得

2asinBcosB=yj3bsinA=y[3asinB,

所以cos8=｝，所以

26

⑵由cos力=[,可得sin則

OiJ

sin4sin[打一(1+⑸]

=sin(/+0=sin0+-^-)

術(shù).,,1.2^6+1

=^-sin力+5cosA=~---.

能哪蹦題I

.._asinBIDsinA、一?,八

11.在A△/a1中，已知----=-----試判a斷的A形狀.

cosBcosA

,才sinBI)sinA

解n：,,-----正=-----7，

?cosBcosA

a=27?sinA,b=27?sinB,

.4"sin'/sinBMsii?咫in4

…cosBcosA

又?.?sinJsinB*0,Asin力cos4=sinBcosB,

即sin24=sin2B,

：.2A=2B,或24+28=*

JT

即力=H或力+8=5.

11

故△/%是等腰三角形或直角三角形.

12.已知方程V-(Aos4)x+acos8=0的兩根之積等于兩根之和，且a,b為叢ABC

的兩邊，A,8為兩內(nèi)角，試判定這個三角形的形狀.

解：設(shè)方程的兩根為小、及，

[XI+E=Z?COS力，

由根與系數(shù)的關(guān)系，得

[為省=acosBn.

AZ>cosJ=acosB.

由正弦定理得：sinZfcosJ=sinAcosB,

sinJcos”—cosJsin8=0,

sin(A—&=0.

???/、8為△力寬的內(nèi)角，

：.0<A<Ji,0<2?<n,-Ji<A-B<n.

：.A-B=Q,即力=E

故△?1%為等腰三角形.

12

1.1.2余弦定理

層析教材，新知無師自通

_____________余弦定理_

［提出問題］

在△｛比'中，若48=2,4c=3,4=60°.

問題1：這個三角形確定嗎？

提示：確定.

問題2：你能利用正弦定理求出比嗎？

提示：不能.

問題3：能否利用平面向量求邊宛？如何求得？

提示：能.

'：^C=~AC~~AB,

112=i~AB\2+\^C\2-2AB?~AC

=|X512+：~AC|2-21~AB\\~AC\cosA

=4+9—2X2X3cos60°

=7.

.?/萬|

問題4：利用問題3的推導(dǎo)方法，能否推導(dǎo)出用Ac,1表示a?

提示：能.

［導(dǎo)入新知］

余弦定理

/=斤+。2-2bccos/,

余

公式表達(dá)甘=/+d-2accos_H,

弦

c=#+F—2aZ?cosC

定

三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩

理語言敘述

邊與它們夾角的余弦的積的兩倍

13

S+c'—a

cosA-2bc'

a4一—，

推論C0SB-2ac,

a+lf-c

cosC-2ab

［化解疑難］

對余弦定理的理解

(1)適用范圍：余弦定理對任意的三角形都成立.

(2)結(jié)構(gòu)特征：“平方”“夾角”“余弦”.

(3)揭示的規(guī)律：余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個角的余弦之間的關(guān)系式,

它描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系.

(4)主要功能：余弦定理的主要功能是實現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化.

iij

鎖定考向，考題千變不離其宗

理Ml_________已知三角形的三邊解三角形

［例1］在△18。中：

(l)a=3,b—4,c=~\j37,求最大角：

(2)a：6：c=l：/：2,求4B,。的大小.

［解］(1)由c>b>a9知。最大，

.?一—33?+42—371

*asC=-2^-=2X3X4="2,

：.C=120°.

⑵Va：b：c=l：$：2,

?,?設(shè)a=x,貝b=yf^x,c=2x(x>0).

由余弦定理，得

I)-\-c-a3歲+4/—/A/1

cosA~=尸—1

26。2yj3x,2x2

AJ=30°.

同理cosB=g,cosC=0,

/./?=60°,C=90°.

［類題通法］

已知三角形的三邊解三角形的方法

(1)先利用余弦定理求出一個角的余弦，從而求出第一個角；再利用余弦定理或由求得

14

的第一個角，利用正弦定理求出第二個角；最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個角.

(2)利用余弦定理求三個角的余弦，進而求三個角.

［活學(xué)活用］

在△46C中，已知a=7,6=3,c=5,求最大角和另外兩角的余弦值.

解：..*>。>方，...力為最大角，

b人力占TE/E3A。上+。2-a，32+52-1,1

由余弦定理得，cosA--....==-5,

乙bezx3x□/

又：0°<J<180",."=120°.

222222

a+c-Z>7+5-313

C0SB=-2ac—=2X7X5=T?

222222

_Z>+a-C_3+7-5_ll

C0Sg_2^b-=2X7X3=T?

己知三角形的兩邊及其夾角解三角形

V

［例2］在中，已知a=8,6=60°,c=4(，5+l),解此三角形.

［解］由余弦定理得：

l}=a+c：-2accosB

=82+［4(V3+l)］2-2X8X4(V3+D?cos600

=64+16(4+273)-64(73+1)x1=96,

:.b=4乖.

法一：由COS1=---——

_96+2-64

-2X476小+

J2

~2'

V0°<J<180°,；"=45°.

故。=180°—/-8=180°-45°-60°=75°.

ab

法二：由正弦定理一2~—

sinAsinB

.84m..加..

??-'j=.八°，??sinA——ca,b>a,

sinAsin602

.?.a最小，即4為銳角.

因此4=45°.

故C=180°—4-6=180°-45°-60°=75°.

［類題通法］

15

已知三角形的兩邊及其夾角解三角形的方法

先利用余弦定理求出第三邊，其余角的求解有兩種思路：一是利用余弦定理的推論求出

其余角；二是利用正弦定理(已知兩邊和一邊的對角)求解.

若用正弦定理求解，需對角的取值進行取舍，而用余弦定理就不存在這些問題［在(0,

")上，余弦值所對角的值是唯一的］,故用余弦定理求解較好.

［活學(xué)活用］

在△48。中，已知a=24,b=2/,。=15°,解此三角形.

解：c—ifIf—2abcosC

=(272)2+(2A/3)2-2X2^/2X2-\/3Xcos(45°-30°)

=8—44

=(#—?2,

0=乖一木.

法一：由余弦定理的推論得

If+c2—a2m2+-2一'yfi

皿=2bc=2X2^3#f=2-

V0°<J<180°,???力=45°,

從而4=120°.

?：a<b,：.A<B9

又二。。<J<180°,

???力必為銳角，?,"=45°,從而得8=120°.

已知三角形的兩邊和其中?邊的對角解三角形

［例3］在△/以中，已知6=3,。=3小,3=30°，求4Ga.

［解］法一：由余弦定理。2=才+。2—2accosB,

得32=a~+（3，5）一一2ax3*\y3Xcos30°,

工/一9a+18=0,得a=3或6.

當(dāng)a=3時，4=30°,

Xin/72

當(dāng)a=6時，由正弦定理得sin仁丁=丁=1.

?"=90°,

16

：.C=&0°.

法二：由。<c,8=30°,6>csin30°=34/；=平知本題有兩解.

3^x］r

由正弦定理得sin―廣=坐，

.,.<7=60°或120°,

當(dāng)C=60°時，4=90°,為直角三角形.

由勾股定理得a=ylb'+c=yli'+忑~^=6,

當(dāng)￡120°時，力=30°,△力%為等腰三角形，

a=3.

［類題通法］

已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形的方法

可根據(jù)余弦定理列一元二次方程求出第三邊（注意邊的取舍），再利用正弦定理求其他的

兩個角；也可以由正弦定理求出第二個角（注意角的取舍），再利用三角形內(nèi)角和定理求出第

三個角，最后再利用正弦定理求出第三邊.

［活學(xué)活用］

3

已知在△/充中，cosA=-a=4,b=3,則c—.

59

解析：A為b,。的夾角，由余弦定理得

a=lf+c-2bccosA,

,23

/.16=9+c—6X-TC,

o

整理得5c2—18。-35=0.

7

解得。=5或c=一三（舍）.

□

答案：5

題型四"判斷三角形的形狀

［例4］在△力4。中，若已知（〃+6+。）?（a+6—c）=3a6,并且sinC=2sin氏osAf

試判斷△4式的形狀.

17

bc

［解］由正弦定理，可得sin夕=赤sinC=—

,2i2_2

由余弦定理，得cos4=―第

代入sinC=2sinBcosA,

,日r>，/+/―/

得c=2b萬

整理得a=b.

又因為(z+A+c)(a+6—c)=3ab,

所以a+t)~c=ab,

a-\~t)—c1n

即cosC=2ab=了故'=于

又因為a=b,

所以△/1比為等邊三角形.

［類題通法］

判斷三角形的形狀的方法

判斷三角形的形狀應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進行思考，可用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)

化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等方式得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；也

可利用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)系，通過三角變換，得出三角形各內(nèi)

角之間的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.

［活學(xué)活用］

在△/玄中，若cos/=2號試判斷其形狀.

sm0

ELsinB/口

解：由cos”=而7得

b

cos/=一,即

c2bec

:.is,即且2+4=/,

因此△4比'是以C為直角的直角三角形.

3修補短板，拉分題一分不丟

18

1.利用正、余弦定理求解平面圖形中線段長

［典例］（12分）如圖所示，在四邊形/靦中，ADVCD,4?=10,AB=\\,

/BDA=6Q°,N6a=135°,求a1的長.

［解題流程］

由△ABD中的AD=10.AR=14.NRDA=

△ABD""%求BD的

60°.可利用余弦定理解此三角形.從而求灣

BD的長：由AD_CD,可得ZCDB=30°.長正二巴求BC的長

△BCD中已知兩角一邊.可解此三角形.

［規(guī)范解答］

一規(guī)范解答］［名師批注］

設(shè)BD=上在AABD中，根據(jù)余弦定理,AE=AT?+BD—「蔣四龍就ABCT）豆麻區(qū)法不三晟拓，面;

△和△?利用余弦定理列出關(guān)于大

2AD*BPtosZBPA,/.142=10z+x2-2X10X^cos600,（3分）ARDBCD

的一元二次方程，化簡方程時易出錯，應(yīng)注意

即二'10“-96=0,

步驟及計算的準(zhǔn)確性.

解得=16,」2=—6（舍去），:.BD=16.（6分）

VAD_LCD,ZBDA=60°ZCDB=30°.

在ZkBCD中，由正弦定理，得.界二=?另么內(nèi)（9分）

sinz_CDBsmZBCD:由AD±CD,2BDA=60°^2CT）Ti=30°,

:.BC="智思=8叵（12分）一”學(xué)生有時不易想到.

sin135

［活學(xué)活用］

如圖所示，在△49C中，已知8=45°,〃是比1邊上一點，49=5,AC

=7,DC=3,求46的長.

解：在中，cosC=

AC+DG—AH7^+32—5211

2?心DC=2X7X3=T?

又「。。<C<180°,

?RnC邛14.

ACAB

在△力式中,

sinBsinC

1B1阿周OiB自主演練，百煉方成鋼

［隨堂即時演練］

19

1.在中，6=5,c=5小,J=30°,則a等于（）

A.5B.4

C.3D.10

解析：選A由余弦定理，得才=4+1—26ccosJ=52+（5，§）2—2X5X54XCOS30°

=25,/?a=5.

1_J

2.在△回中，角小B,。的對邊分別為a,b,c,若"一'>0,則△/回（）

2ab

A.一定是銳角三角形

B.一定是直角三角形

C.一定是鈍角三角形

D.是銳角或直角三角形

2_2_,2

解析：選C由^~~A--->0得一cos00,

所以cosf<0,從而。為鈍角，

因此△力回一定是鈍角三角形.

3.（天津高考改編）在△腦中，若A8=y[^,/=3,N4120。，則/仁.

解析：由余弦定理得

用=〃+初一24。80cosC,

即13="+9—2〃?X3Xcos120°,

化簡得4d+371c-4=0,

解得4C=1或〃1=-4（舍去）.

答案：1

4.在△力打。中，a=1,b=2,cos。=[,則c=；sinA=.

解析：根據(jù)余弦定理，

c=a+l/-2abcosC=f+22-2X1X2X^=4,

故c=2.

因為cosC=：,

于是sinC=J-（*乎,

IX在廣

于是,由正弦定理得sin"=^U=V—=乎或：由a=Lb=2,c=2,得cos

20

,2J+2-r7.._V15

A一京'于無

~2X2X2sinA——8-

答案：2手

o

5.在中，已知a=5,6=3,角。的余弦值是方程59+7萬-6=0的根，求第三

邊c的長.

解：5