2018年中考二次函數(shù)復(fù)習(xí)

2018年中考復(fù)習(xí)《二次函數(shù)》綜合測(cè)試題及答案

一、與線段、周長有關(guān)的問題

1.如圖，拋物線y=x2+bx+c過點(diǎn)八(3,0),B(1,0),交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)P是該拋物線上

一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從C點(diǎn)沿拋物線向八點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P不與點(diǎn)人重合)，過點(diǎn)P作PD〃y軸交直

線AC于點(diǎn)D.

(1)求拋物線的解析式;

(2)求點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過程中線段PD長度的最大值;

(3)在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M,使I/VM-MCI的值最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

第1題圖

2.(2015珠海)如圖，折疊矩形OA8C的一邊BC,使點(diǎn)C落在。八邊的點(diǎn)。處，已知折

痕8E=5后，且器=g.以。為原點(diǎn),所在的直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

拋物線/：片-\x2+；x+c經(jīng)過點(diǎn)E,且與邊相交于點(diǎn)F.

(1)求證："BDS^ODE;

(2)若M是8E的中點(diǎn)，連接MF,求證：MF1BD;

(3)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線/上，且始終滿足PD_LDQ,在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過

程中，能否使得PD=DQ?若能，求出所有符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由.

第2題圖

3.（2015孝感改編）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-；x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)4

B,與y軸交于點(diǎn)C,直線y=x+4經(jīng)過4C兩點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）在AC上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P.

①如圖①，過點(diǎn)P作y軸的平行線交AC于點(diǎn)D,當(dāng)線段PD取得最大值時(shí)，求

出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②如圖②，過點(diǎn)。，P的直線片kx交AC于點(diǎn)E,若PE：OE=3：8,求k的值.

圖①圖②

第3題圖

4.（2015天水）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=-；x2+bx+c（b、c為常數(shù)）的頂點(diǎn)

為P,等腰直角三角形A8C的頂點(diǎn)人的坐標(biāo)為（0,；）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4,3）,直角頂

點(diǎn)8在第四象限.

（1）如圖，若拋物線經(jīng)過48兩點(diǎn)，求拋物線的解析式；

⑵平移（1）中的拋物線，使頂點(diǎn)P在AC上并沿AC方向滑動(dòng)距離為行時(shí)，試證明:

平移后的拋物線與直線AC交于x軸上的同一點(diǎn)；

⑶在（2）的情況下，若沿AC方向任意滑動(dòng)時(shí)一，設(shè)拋物線與直線AC的另一交點(diǎn)為Q,

取BC的中點(diǎn)N,試探究A/P+BQ是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，請(qǐng)

說明理由.

第4題圖

5.如圖，拋物線片―x2+bx+c與x軸交于A、8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,且OA=2,OC=3.

(1)求拋物線的解析式；

(2)作RtAOBC的高0D,延長0D與拋物線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)E,求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在一點(diǎn)Q,使得的周長最小？若存在，求出

點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

/Tv_

第5題圖

6.如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC的邊0A在y軸的正半軸上，0C

在x軸的正半軸上，AB//OC,OA=AB=2,OC=3,過點(diǎn)B作8D_L8C,交0A于點(diǎn)D,將/D8C

繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于點(diǎn)E、F.

(1)求經(jīng)過48、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

(2)當(dāng)8E經(jīng)過(1)中拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求CF的長；

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上取兩點(diǎn)P、Q(點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方)，且PQ=1,要使四邊形BCPQ

的周長最小，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo).

第6題圖

【答案】

［解:(1)?.?拋物線ynW+bx+c過點(diǎn)4(3,0),B(1,0),

?9+3b+c=0

??〈,

l+/?+c=O

解得

c=3

工拋物線的解析式為y=x2-4x+3.

(2)令x=0,則y=3,

.?.點(diǎn)C(0,3),

又???點(diǎn)43,0),

，直線AC的解析式為y=-x+3,

設(shè)點(diǎn)P(X,X2-4X+3),

?.?PD〃V軸，且點(diǎn)。在AC上，

；?點(diǎn)D(x,-x+3),

PD=(-X+3)-(X2-4X+3)=-X2+3X=-(X-g產(chǎn)+',

?**a=-l<0,

???當(dāng)x=1時(shí)-，線段P。的長度有最大值，最大值為g.

24

⑶存在.由拋物線的對(duì)稱性可知，對(duì)稱軸垂直平分48,

可得：MA=MB,

由三角形的三邊關(guān)系，IMA-MCI<BC,

可得：當(dāng)M、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，I/W4A4CI最大，即為8c的長度，

設(shè)直線8c的解析式為片kx+b(kw0),由8、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,0)、(0,3),

則(+

b=3

解得m

b=3

，直線BC的解析式為y=-3x+3,

???拋物線y=x2-4x+3的對(duì)稱軸為直線x=2,

當(dāng)x=2時(shí)，y=-3x2+3=-3,

二點(diǎn),M(2,-3),

即拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M(2,-3),使IMA-MCI最大.

2.(1)證明：由折疊知N/WB=90°-NODE=NOED,

ZEOD=ZDAB=90°,

/.RtZVlBD^RtAODE

(2)證明：設(shè)OE=3k,則00=4k,CE=DE=5k,AB=OC=8k,

由RtA/18DsRt/\0DE可得AD=6k,則OA=BC=BD=10k,

于是BE=J(5Z)2+(1OQ2=5氐解得卜=1,

??,拋物線y=Jx2+』x+c經(jīng)過點(diǎn)E(0,3),

162

??C=3,

將點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x=10代入y=-—X2+-X+3,

162

得到點(diǎn)F的坐標(biāo)為(10,-),

4

DF='A。?+A尸=J6?+(2)2=—,

V44

775

'.'BF=AB-FA=8--=—,

44

:.DF=BF,

XVZeDE=90o,M是BE的中點(diǎn)，第2題解圖

：.MB=MD,

：?MF是線段B。的中垂線，

:.MF.LBD.

(3)解：能.如解圖，令y=0,求得拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為H(-4,0),G(12,0),

①當(dāng)PD-LX軸時(shí)，由于PD=8,DG=DH=8,

故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-4,0)或(12,0)時(shí)，△PDQ是以。為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形;

②當(dāng)PD不垂直x軸時(shí)，分別過P,Q作x軸的垂線，垂足分別為N,/,則Q不與G重合,

從而/不與G重合，即D/H8,

YPDJ-OQ,

ZQDI=90°-ZPDN=NDPN,

RtAPD/V^RtADQ/,

?：PN=8,

:.PNrDI,

ARtAPD/V與RtADQ/不全等，

，PDNDQ另一側(cè)同理可得PDHDQ.

綜上①，②所有滿足題設(shè)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-4,0)和(12,0).

3.解：(1)對(duì)于直線y=x+4,令x=0,得y=4,令y=0,得x=-4,

則4-4,0)((0,4),代入拋物線解析式得['8+。=0,

解得/:1,

二?拋物線的解析式為y=-gx2-x+4.

(2)①???拋物線的解析式為y=[x2-x+4,

二?點(diǎn)P(x,-^X2-X+4),

?.,PD〃V軸，直線AC的解析式為y=x+4,

.*.D(x,x+4),

點(diǎn)在AC的上方，

."?PD=-^X2-X+4-(X+4)=(x+2)2+2,

-2>-4,

???當(dāng)x=-2時(shí)，線段P。取得最大值,

將x=-2代入y=-^X2-X+4中得y=4,

，線段P。取得最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,4).

②過點(diǎn)P作PF〃OC交4：于點(diǎn)F,如解圖.

?/PF//0C,/.APEFS△OEC,

?.?-P-E=-P-F-.

OEOC

又嚏=2,OC=4,：.PF=-.

82

???由①得PF=(-^X2-X+4)-(X+4)=

化簡得：x2+4x+3=0,解得Xi=-l,x2=-3.

當(dāng)x=-1時(shí)，V=g；當(dāng)x=-3時(shí)，y=g.

即滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,：)或(-3,!)?

又,點(diǎn)P在直線y=kx上,

??.T或k=!第3題解圖

4.⑴解：設(shè)AC與x軸的交點(diǎn)為M,

丁等腰直角三角形A8C的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,-1),C的坐標(biāo)為(4,3),

「?直線AC的解析式為y=x-l,

.??直線AC與x軸的交點(diǎn)M(l,0).

：.0M=0A,ZCAO=45°.

???△CAB是等腰直角三角形,

/.4CB=45°,

，BC〃y軸，

又〈NO/VM=45°,

1.NCWB=90。，

?〃x軸,

???點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,-1).

;拋物線過4。，T)，8(4,-1)兩點(diǎn)，將兩點(diǎn)代入拋物線的解析式中，

C=-]r

得1X一解得，

--xl6+4/?+c=-lc--\

I21

二?拋物線的解析式為y=-1x2+2x-l.

(2)證明：拋物線y=-gx2+2x-l=-g(x2-4x)-l=—g.一2尸+1,

,頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1),

:拋物線片~(X-2)2+1頂點(diǎn)P平移到直線AC上并沿AC方向移動(dòng)的距離為行，

二?其實(shí)是先向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，

???平移后的二次函數(shù)的解析式為片—體3產(chǎn)+2,

:當(dāng)y=0時(shí)，有0=-；(x-3產(chǎn)+2,

解得XFLx2=S,

???y=-；(x-3『+2過點(diǎn)(1,0)和(5,0),

???直線4:的解析式為y=x-l,

，直線AC與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),

???平移后的拋物線與直線AC交于x軸上的同一點(diǎn).

⑶解：如解圖，NP+8Q存在最小值，最小值為2石.理由：取48的中點(diǎn)F,連接F/V,FQ,

作B點(diǎn)關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B',設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)為P'.

連接B6,8Q8Q則8Q=BQ

:拋物線丫=-；/2產(chǎn)+1的頂點(diǎn)P(2,1),4。-1),

/.PA=7(2-0)2+(1+1)2=2V2,

???拋物線沿AC方向任意滑動(dòng)時(shí)，P9=2庶，

V/\(0,-1),8(4,-1),

二.AB中點(diǎn)“2,-1),

76(4,-1),C(4,3),

，M4,1),

：.FN=ylBF2+BN2=2憶

:.FN=P'Q,

二?在ABC中，F(xiàn)、N分別為AB、8C的中點(diǎn),第4題解圖

：.FN//P'Q,

二?四邊形P'NFQ是平行四邊形，

:.NP』FQ,

NP'+BQ=FQ+B'Q>FB'=A/22+42=2后.

，當(dāng)8、Q、F三點(diǎn)共線時(shí)，NP+BQ最小,最小值為2石.

5.解：⑴*：0A=2,

二?點(diǎn)八的坐標(biāo)為(-2,0).

.OC=3,

，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3).

把八(-2,0),C(0,3)分別代入拋物線y=-gx2+bx+c,

4曰f0=-2-20+c

得C，

3=c

解得歸2,

c=3

???拋物線的解析式為y=-；x2+；x+3.

⑵把y=0代入y=-1X2+|X+3,

解得XF3,X2=-2,

???點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0）,

.".OB=OC=3,

?「ODJ_BG

：?OE所在的直線為y=x.

y=x

解方程組

y=-一廠+—x+3

22

x=2x=-3

解得]2

7i=2,>2=-3

?.?點(diǎn)E在第一象限內(nèi),第5題解圖

.??點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2,2）.

（3）存在，

如解圖，設(shè)Q是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，連接Q4QB、QE、BE,

VQ4=QB,

.'.△BEQ的周長=BE+QA+QE,

為定值，且3+QEXE,

「?當(dāng)4Q、E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，/XBEQ的周長最小,

由4-2,0）、E（2,2）可得直線AE的解析式為片gx+1,

由（2）易得拋物線的對(duì)稱軸為x=g,

???點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（<,二），

24

???在拋物線的對(duì)稱軸上,存在點(diǎn)Q|)，使得△8EQ的周長最小.

6.解：(1)由題意得4。，2)、8(2,2)、C(3,0).

設(shè)經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax2+bx+2(a^0),

4a+2b+2-2

將點(diǎn)8、C分別代入得

9a+3/7+2=0

2

解得"飛

???拋物線的解析式為片-2*2.

(2)?y="|%2+gx+2=-1'(xT)~+g，

設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為G,

則頂點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1,|),

過G作垂足為H,如解圖①，

QO

則AH=BH=l,GH=--2=~,

33

：.EA//GH,

是人的中位線，

：.EA=2GH=~.

3

過8作8M_LOC,垂足為/W,如解圖①，則MB=OA=AB.

第6題解圖①第6題解圖②

?.*/EBF=/ABM=9。。,

/EBA=/FBM=90°-/ABF.

...RtZ\E8A會(huì)《△F8/W.

：.FM=EA=-.

3

'."CM=OC-OM=3-2=1,

7

.,.CF=FM+CM=~.

3

⑶如解圖②，要使四邊形BCPQ的周長最小，將B點(diǎn)向下平移一個(gè)單位至點(diǎn)K,取C點(diǎn)關(guān)

于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)M,

連接KM交對(duì)稱軸于P,將P向上平移1個(gè)單位至Q,此時(shí)M、P、K三點(diǎn)共線可使KP+PM

最短，則QPKB為平行四邊形，Q8=PK,連接CP,根據(jù)軸對(duì)稱求出CP=MP,則CP+BQ最小，

VCB,QP為定值，.??四邊形8CPQ周長最短.

???將點(diǎn)C向上平移一個(gè)單位，坐標(biāo)為（3,1）,再作其關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)C],

???得點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-1,1）.

可求出直線BG的解析式為y=1x+1.

直線V=與對(duì)稱軸x=l的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q,坐標(biāo)為（1,.

333

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,.

綜上所述，滿足條件的P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，（1，.

33

二、與面積有關(guān)的問題

1.（2015桂林）如圖，已知拋物線y=-gx2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)4。，8）、8（8,0）

和點(diǎn)E,動(dòng)點(diǎn)C從原點(diǎn)。開始沿。八方向以每秒1個(gè)單位長度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)B開始沿

8。方向以每秒1個(gè)單位長度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)C、。同時(shí)出發(fā)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)。到達(dá)原點(diǎn)。時(shí)一，點(diǎn)C、

D停止運(yùn)動(dòng).

⑴求拋物線的解析式；

(2)求△CE。的面積S與。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間f的函數(shù)解析式：當(dāng)t為何值時(shí)，ACED的面積最大?

最大面積是多少？

⑶當(dāng)△CED的面積最大時(shí)一，在拋物線上是否存在點(diǎn)P(點(diǎn)E除外)，使△PCD的面積等于△CED

的最大面積，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

第1題圖

2.(2015海南)如圖①，二次函數(shù)丫=09?+隊(duì)+3的圖象與x軸相交于點(diǎn)八(-3,0)、8(1,0),

與y軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)G是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，直線GC交x軸于點(diǎn)M3,0),4。平行

GC交y軸于點(diǎn)D.

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求證：四邊形是正方形；

(3)如圖②，點(diǎn)/W(t,p)是該二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第二象限內(nèi)，過點(diǎn)M

的直線y=kx交二次函數(shù)的圖象于另一點(diǎn)N.

①若四邊形AOCM的面積為S,請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并寫出t的取值范圍；

②若△<??收的面積等于日，請(qǐng)求出此時(shí)①中S的值.

圖①圖②

第2題圖

3.(2015深圳)如圖①,關(guān)于x的二次函數(shù)片4+bx+c經(jīng)過點(diǎn)430),點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)。為二

次函數(shù)的頂點(diǎn),DE為二次函數(shù)的對(duì)稱軸，E在x軸上.

(1)求拋物線的解析式;

(2)DE上是否存在點(diǎn)P到AD的距離與到x軸的距離相等？若存在，求出點(diǎn)P；若不存在,

請(qǐng)說明理由;

(3)如圖②，DE的左側(cè)拋物線上是否存在點(diǎn)F,使2s△FBC=3S^BC?若存在，求出點(diǎn)F的

坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

圖①圖②

第3題圖

4.(2015武威)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)4(0,4),B(1,0),C(5,

0),其對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)M.

(1)求此拋物線的解析式和對(duì)稱軸；

(2)在此拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使△力8的周長最??？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)連接AC,在直線AC下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)N,使△A/AC的面積最大？若

存在，請(qǐng)求出點(diǎn)/V的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】

L解：⑴將點(diǎn)4。，8)、8(8,0)代入拋物線y=-；x2+bx+c,

。=8r>_o

得1。孰C，解得；

—x644-8/?4-c=0c=8

I21

「?拋物線的解析式為y=-1X2+3X+8.

(2)：點(diǎn)A(0,8)、8(8,0),，OA=8,OB=8,

2

令y=0,得-1X+3X+8=0Z

解得：XI=8,X2=-2,

???點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸上，

.??點(diǎn)E(-2,0),：.OE=2,

根據(jù)題意得：當(dāng)。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，BD=t,OC=t,

...OD=8七

.,.DE=OE+OD=10-tt

111o

??5ACED=-DF-OC=—(10-t),t=--t+5t,

即S=°*+5t=」("產(chǎn)+”,

??當(dāng)t=5時(shí),S^CED最大=—

(3)存在.由⑵知：當(dāng)t=5時(shí)，S^CED最大=勺

.??當(dāng)t=5時(shí)、OC=5,OD=3,

.,.C(0,5),D(3,0)z

由勾股定理得CD=庖，

設(shè)直線C。的解析式為：y=kx+b(kwO),

將C(0,5),D(3,0),代入上式得：

"5解得火=《，.,.直線CD的解析式為

恢+6=0,b=5

5「

y=-/+5,

過E點(diǎn)作EF〃C。，交拋物線于點(diǎn)Pi，則S^CED=SACP,”，第1題解圖

如解圖，設(shè)直線EF的解析式為y=-|x+m,

將E(20)代入得：m=-與,

???直線EF的解析式為y=-|x-y,

將片lx-竺與y=-1X2+3X+8聯(lián)立成方程組得：

332

,510

V----X---

33

1,'

y=--x2+3A:+8

I2

34

解得產(chǎn)=：(與E點(diǎn)重合，舍去)，2：“、，

M=0,200

200

嗚~9~

過點(diǎn)E作EG_LCD,垂足為G,

1

,??當(dāng)t=5時(shí)，S^ECD=jCD-EG=y,CD=V34,

.,.EG=生"

34

過點(diǎn)。作DNJ_CD,垂足為N,且使。心等，過點(diǎn)N作NMU軸，垂足為M,可得

△EGDS^DMN,

25叵

.EG二空即_34_=_^_,

DMDNDM25后

34

冷刀,曰CAT八

角牛得：DM/=-12-5,???OM=-2-2-7,

3434

由勾股定理得:

MN=^DN2-DM2

.““22775、

?./V(——,—),

'3434

過點(diǎn)N作/VP2〃CD,與拋物線交于點(diǎn)P2,P3（與8點(diǎn)重合），則Sz\CED=S“p。，5Z^ED=S““

設(shè)直線NP2的解析式為y=-jx+n,

將N（字,1f）,代入上式得片手,

34343

???直線NP2的解析式為片1x+5,

將片-；x+號(hào)與片-；X2+3X+8聯(lián)立成方程組得:

5404

y=—X4-----

:3，解得＜X1=8

x=0100'

y=—X"+3x+8必=——

229

??。2（g,--）或。3（8,0）,

綜上所述，當(dāng)△CED的面積最大時(shí)，在拋物線上存在點(diǎn)P（點(diǎn)E除外），使△PC。的面積等

于△CE。的最大面積，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（號(hào),-學(xué)）或（；苧）或（8,0）.

3939

2.⑴解：,?,二次函數(shù)片0^+隊(duì)+3過點(diǎn)4-3,0）、

8(1,0),

,?配售”解得《。=-1

b=-2'

.,?二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2—2x+3.

（2）證明：由⑴知二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-X?—2x+3,

令x=0,則y=3,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,3）,

.,.OC=3,

又點(diǎn)A、H的坐標(biāo)分別為(-3,0)、(3,0),

OA=OH=OC=3,

：./OCH=/OHC,

'.'AD//GC,

ZOCH=ZODA,ZOHC=ZOAD,

ZOAD=ZODA,

OA=OD=OC=OH=3,

又AHLCD,

二?四邊形ACH。為正方形.

⑶解：①S四邊形ADCM=S四邊形AOCM+S/S。。，第2題解圖

由⑵知OA=OD=3,

.「1cr9

..5A^0D=]X3X3=—,

;點(diǎn)M(t,p)是直線y=kx與拋物線y=-x2-2x+3在第二象限內(nèi)的交點(diǎn)，

二點(diǎn)M的坐標(biāo)為(t,-F-2t+3),

如解圖，作軸于點(diǎn)K,/V7E_Ly軸于點(diǎn)E,則MK=-t2-2t+3,ME=|t\=-t,

??S四邊形AOCM=S4OM+S/\MOC

=2x3(-F-2t+3)+—x3(-t),

日nu3299

枝IJ、四邊形40CM=~~f~~，

__2999_329

S四邊形40cM=S四邊形AOCM+SAyAODt-]t--t+—+—=--t~—t+9,

乙乙乙乙乙乙

??S=--1+9,-3VtVO.

②設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(5pi),過點(diǎn)N作NF±y軸于點(diǎn)F,

:?NF=|h|,又由①知ME=\t\,

則SZ\C/WN=S/VOM+SZ\CON=5。。，(ItI+ItiI)>

又二點(diǎn)M(t,p)、N(t],p。分別在第二、四象限內(nèi)，

■■3

?tl>0,,,S&CMN=3

即"l(t「t)=

由直線片kx交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)/W、N得:

y=kx-)

,r,則x2+(2+k)X-3=0,

y=?廠-2x+3

._-(2+k)±7(2+Zr)2-4xlx(-3)

.?x=-------------------------------------，

即i(2+Q-J(2+k)2-4xlx(-3)

._-(2+Z)+J(2+Z)2-4xlx(-3)

32'

??t±-t=J(2+k『+12=-,

.?［是(2+k產(chǎn)+12的算術(shù)平方根，

??(2+k/+12=-，解得向=-1/2=；，

又(k+2產(chǎn)+12恒大于0,且k<0,

?,水1=-,/2=］都符合條件.

(i)若k=,有x?+(2-j)x-3=0,

解得XI=-2,X2=|(不符合題意，舍去);

2

(ii)若k=-^/^x+(2-^x-3=0,

解得X3=1,X4=2(不符合題意，舍去)，

.'.t=-2或-3，

2

當(dāng)t=-2時(shí),S=12;當(dāng)t=--時(shí),，

28

???S的值是12或券.

8

3.解：(1)將4-3,0),C(0,3)代入yb+bx+c,

得尸，解得f:2

［-9-3b+c=0c=3

2

???拋物線的解析式為y=-X-2X+3.

(2存在，由⑴知拋物線的解析式可化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=-(x+l)2+4,則

0(-1,4),

當(dāng)P在/MB的平分線上時(shí)，如解圖①，作設(shè)R-1,%),

,.,sin=—,PE=y

AD2V550/

貝ljPM=PD-sinNADE=*(4-y0),

?；PM=PE,第3題解圖

@

?*,g(4-yo)=/o/

解得所g-1.

當(dāng)P在N0A8的外角平分線上時(shí)，

如解圖②，作P/V，AD,設(shè)R-l,%),

PE=-y0,

則P/V=PD6in4DE=W(4-y0)z

?：PN=PE,

?,?—(4-%)=-%,解得丫0=-石-1.第3題解圖②

二?存在滿足條件的點(diǎn)戶，且點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,V5-1)或(-1,-75-1).

⑶存在.

?5AfBC=3,2SAFBC=3SAE6G

??SAFBC=-S/\—：x3=彳，

2EBC22

過點(diǎn)F作FH，x軸，交8c的延長線于點(diǎn)Q,如解圖③,

連接8F,設(shè)BF交y軸于點(diǎn)易得^BMCS^BFQ,

.OB_CM

OB+OH詼'

OBQF

即CM=

OB+OH

?'-S^FBC=-CM-OB+^CM-OH=|OBQF.

?SZ\FBC=2FQ，OB=5FQ=],

，F(xiàn)Q=9.

〈BC的解析式為片-3x+3,

設(shè)改0,必分0+3),則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,-3x0+3)

??QF=-3XO+3+XO2+2X0-3=9,

解得刈=喑或匕/(舍去)，

???滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)是(［事，嗎蘭).

第3題解圖③

4.解:(1)?.?拋物線過點(diǎn)4(0,4)、B(1,0)、C(5,0),

二?設(shè)過48、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a(x-D(x-5)(/0),

丁?將點(diǎn)八(0,4)代入y=a(x-l)(x-5),得,

???此拋物線的解析式為y=gx2-gx+4,

;拋物線過點(diǎn)B(1,0)、C(5,0),

???拋物線的對(duì)稱軸為直線X=9=3.

2

(2)存在，如解圖①，連接AC交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,連接BP、BA,

???點(diǎn)8與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

：.PB=PC,

.,.AB+AP+PB=AB+AP+PC=AB+AC)

??XB為定值，且AP+PCXC,

.??當(dāng)4、P、C三點(diǎn)共線時(shí)△以8的周長最小，

A(0,4)、C(5,0),

設(shè)直線AC的解析式為y=ax+b(a^0),第4題解圖①

將4C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得，一4,

5a+8=0

'_4

解得"=三，

b=4

???直線AC的解析式為片-|x+4.

,在y=-&X+4中，當(dāng)x=3時(shí),y=-,

二?P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,|),

即當(dāng)對(duì)稱軸上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,|)時(shí)，/S8P的周長最小.

(3)在直線AC下方的拋物線上存在點(diǎn)N,使△M4C面積最大.

如解圖②，設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3

此時(shí)點(diǎn)N(t,yt2-yt+4)(0<t<5),

過點(diǎn)N作y軸的平行線，分別交x軸、AC于點(diǎn)F、G,過點(diǎn)八作AD±NG,垂足為點(diǎn)D,

由(2)可知直線AC的解析式為片-gx+4,

把x=t代入y=-：x+4得y=-1t+4,

則G點(diǎn)的坐標(biāo)為(3-gt+4),

此時(shí)，NG~—1+4-(—t2--1+4)———+4t.

5555

'：AD-\~CF=OC=5,

??5Z\NAC=S&NG+54CGN=g'G/D+^NG-CF=

-NG-OC=-x(--t2+4t)x5=-2t2+10f=

225

_z5x225

-2(t——)+—.

22

V-2<0,即在對(duì)稱軸處取得最大值.

???當(dāng)t=g時(shí)-，△/VAC面積有最大值為g,第4題解圖②

22

由t=,，得片九?'t+4=-3,

255

:.N-3).

2

；?存在滿足條件的點(diǎn)N,使△AWC的面積最大，N點(diǎn)的坐標(biāo)為(，-3).

三、與特殊三角形有關(guān)的問題

1.(2015岳陽)如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過4(1,0)、8(4,0)、C(0,3)三點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖①，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使得四邊形PAOC的周長最小？若存

在，求出四邊形以O(shè)C周長的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖②，點(diǎn)Q是線段。8上一動(dòng)點(diǎn)，連接8C,在線段8c上是否存在這樣的點(diǎn)M,使

△CQM為等腰三角形且△BQ/Vf為直角三角形？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說

圖①圖②

第1題圖

2.如圖，直線y=-1x+2與x軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B、

C和點(diǎn)A(-1,0).

(1)求8、C兩點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)求該二次函數(shù)的關(guān)系式；

(3)若拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D,則在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使

△PC。是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說

明理由；

(4)點(diǎn)E是線段8c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)

動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的

坐標(biāo).

第2題圖

【答案】

針對(duì)演練

1.解：(1);點(diǎn)A(1,0),B(4,0)在拋物線上,

廠?設(shè)拋物線解析式為y=a(x-l)(x-4),

將點(diǎn)C(0,3)代入得a(0-l)(0-4)=3,

解得a=,

4

???拋物線解析式為y=|fx-l)(x-4),

4

即y=-x2--x+3.

744

(2)存在.連接8c交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,連接力，如解圖①,

???點(diǎn)八與點(diǎn)8關(guān)于對(duì)稱軸x=|對(duì)稱,

.,.BC<PB+PC=PA+PC,

即當(dāng)點(diǎn)P在直線8c上時(shí)，四邊形PAOC的周長最小，

在RtZkBOC中，0B=4,0C=3,ZBOC=90°,

.,.BC=YIOB2+OC2=5,

???四邊形PAOC的周長的最小值為OA+OC+8C=l+3+5=9.

(3)存在.設(shè)直線8c的解析式為片kx+t,第1題解圖①

3

將點(diǎn)8(4,0),點(diǎn)C(0,3)代入得［較+，=°,解得1=

I卜=3

丁?直線8c的解析式為片-3x+3.

4

點(diǎn)/W在8C上，設(shè)點(diǎn)A4的坐標(biāo)為(m,--m+3)(0<m<4),

4

要使△CQM是等腰三角形，且△8QM是直角三角形，則只有以下兩種情況,

(I)當(dāng)MQ.L0B,CM=MQ時(shí)，如解圖②所示，

3

則CM=MQ=--m+3,

4

33

MB:BC?CM=5-(--m+3)=2+-m,

44

由sin/CBO=型=避=-,

BCBM5

3

即二一=/解得

2+-m52

4

則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(。,號(hào))；

28

(II)當(dāng)C/W=MQ,/WQJ_BC時(shí)，如解圖③,第1題解圖②

過M作MN±0B于N,

3

則0N=m,MN=-3m+3,

4

在RtABM/V中，易得BM=———m+3)

sin/MBN

5

=--m+5r,

4

.'.CM=BC-BM=-m,

4

在RtZkBMQ中，QM=6/W-tanZ/WBQ=-(--m+5),

44

由CM=MQ得；(-1m+5)=第1題解圖③

解得m若,此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(y,y).

綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)點(diǎn)例的坐標(biāo)為(不?)或(/，7)-

2.解：(1)令x=0,可得y=2,

令y=0,可得x=4,

即點(diǎn)B(4,0),C(0,2).

(2)設(shè)二次函數(shù)的解析式為片cV+bx+c,

將點(diǎn)4B、C的坐標(biāo)代入解析式得，

1

Q=---

a-b^-c=02

<16a+4h+c=0,解得彳〃=：人，

即該二次函數(shù)的關(guān)系式為尸二X2+=X+2.

22

(3)存在.滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為Pi(|,4),P2(|,|),P3(|Z-1).

【解法提示】???y=-(x2+]x+2,

22

???拋物線的對(duì)稱軸是x=],

2

?3

??0D=—.

2

VC(0,2),

?\OC=2.

在RtAOCD中，由勾股定理得CD=~.

2

:△CDP是以CD為腰的等腰三角形，

.,.CP1=DP2=DP3=CD.

如解圖①所示，作CE_L對(duì)稱軸于點(diǎn)E,

:?EPFED=2,，DP1=4.

APi(-,4),P2T，』)，。3(3，.第2題解圖①

22222

(4)如解圖②，過點(diǎn)C作CM_1_EF于點(diǎn)/W,

設(shè)E(a,—a+2),F(a,—a2+二a+2),

222

??EF=—a2+—(7+2-(—o+2)

222

=--a2+2a(0<a<4).

2

.S四邊形CDBFUSABCD+SACEF+SABEF第2題解圖②

=-BD-OC+-EF-CM+-EF-BN

222

=—i—a(—+2.0)H—(4-Q)?(—Q2+2Q)

22222

=-/+4。+一

2

=-(a-2)2H—(0WaW4),

2

?13

?'?a=2時(shí)，S四邊形CDBF最大=~，

?*.E(2,1).

四、與特殊四邊形有關(guān)的問題

1.(2015重慶模擬)已知正方形0aBe中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)八在y軸的正半軸上,

點(diǎn)C在x軸的正半軸上，點(diǎn)8(4,4).二次函數(shù)片」x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、8.點(diǎn)P(3

6

0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP.

(1)求此二次函數(shù)的解析式;

(2)如圖①，過點(diǎn)戶作AP的垂線與線段8c交于點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)P在線段OC(點(diǎn)P不與點(diǎn)

C、。重合)上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線段GC的長有最大值，求出這個(gè)最大值;

(3)如圖②，過點(diǎn)。作AP的垂線與直線8c交于點(diǎn)D,二次函數(shù)片」x2+bx+c的圖象上

6

是否存在點(diǎn)Q,使得以P、C、Q、。為頂點(diǎn)的四邊形是以PC為邊的平行四邊形？若存在，

求出t的值；若不存在,

圖①

第1題圖

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x-2+bx+c的圖象與x軸交于八、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)

在原點(diǎn)左側(cè)，8點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0),與y軸交于C(0,-4)點(diǎn)，點(diǎn)P是直線8c下方的拋

物線上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)連接P。、PC,并把△POC沿C。翻折，得到四邊形POPC那么是否存在點(diǎn)P,使

四邊形POP(為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊

形八8PC的最大面積.

第2題圖

【答案】

1.解：(1)VB(4,4),

：.AB=BC=4,

???四邊形八8co是正方形,

.'.0A=4,

.'.A(0,4),

將點(diǎn)A(0,4),B(4,4)y=--x2+bx+c,

6

c=4

得1,

--xl6+4Z>+c=4

,6

\b-l

解得3,

c=4

二次函數(shù)解析式為y=--x2+|x+4.

63

(2)VP(t,0),

.\OP=t,PC=4-t,

'：AP±PG,

：.4PO+NCPG=180°-90°=90°,

'：ZOAP+ZAPO=90°,

：.ZOAP=ZCPG,

又?.?4OP=NPCG=90。,

:.AAOP^^\PCG,

?.?AO—OP，

PCGC

整理得，GC0g)M,

，當(dāng)t=2時(shí),GC有最大值是1,

即P(2,0)時(shí)，GC的最大值是L

(3)存在點(diǎn)Q,使得以P、C、Q、。為頂點(diǎn)的四邊形是以PC為邊的平行四邊形.

理由如下：如解圖①、②，易得NOAP=NC。。,

在ZX/IOP和△OCD中，

NOAP=NCOD

<OA=OC,

ZAOP=ZOCD^9Q°

：.^AOP^/\OCD(ASA),

.,.OP=CD,第1題解圖①

由P、C、Q、。為頂點(diǎn)的四邊形是以PC為邊的平行四邊形得，PC〃OQ且PC=OQ,

：,Pa,0),D(4,t),

APC=DQ=11-41,

???點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3t)或(8-t,t),

①當(dāng)Q(3t)時(shí),--t2+-t+4=t,

63

整理得，*+2t-24=0,

解得ti=4(舍去)，t2=-6,

②當(dāng)Q(8-3t)時(shí)，」(8-t)2+-(8-t)+4=3第1題解圖②

63

整理得,t2-6t+8=0,

解得ti=2,12=4(舍去)，

綜上所述，存在點(diǎn)Q(-6,-6)或(6,2),使得以P、C、Q、D為頂點(diǎn)的四邊形是以PC

為邊的平行四邊形.

2.解：(1)將8、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：

J6+4"C=0,解得尸-3,

c=-4[c=-4

工二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-3x-4.

(2)存在點(diǎn)P,使四邊形POP，C為菱形；

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,X2-3X-4),PP'交C。于點(diǎn)E,

若四邊形POP'C是菱形，則有PC=PO；

如解圖①，連接PP',則PE.LCO于點(diǎn)E,

VC(0,-4),

又S,'"EC，/，，巨優(yōu)茯承匕*

：.OE=EC=2,

??y=-2?

/.X2-3X-4=-2,第2題解圖①

解得勺=二叵，X2=±￡(不合題意，舍去)，

22

???P點(diǎn)的坐標(biāo)為(之答，-2).

2

(3)如解圖②，過點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q,與OB交于點(diǎn)F,設(shè)P(x,x<3x-4),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+d,

則［仁「，解得匕

，直線BC的解析式為y=x-4,

則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,x-4）；

當(dāng)0=X2-3X-4,

解得：X1=-1,X2=4,

.,.AO=1,AB=5,第2題解圖②

S四邊形A8PC=SA48C+S/\BPQ+S/\CPQ

=-AB-OC+-QP-BF+-QP-OF

222

=-x5x4+-(4-x)[x-4-(X2-3X-4)]+-X[X-4-(X2-3X-4)]

222

=-2/+8%+10

=-2(x-2)2+18,

當(dāng)x=2時(shí)，四邊形A8PC的面積最大，

此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-6),四邊形ABPC的面積的最大值為18.

五、與三角形相似有關(guān)的問題

1.(2015廣元)如圖，已知拋物線y=-，(x+2)(x-m)(m>0)與x軸相交于點(diǎn)4、B,

m

與y軸相交于點(diǎn)C,且點(diǎn)n在點(diǎn)B的左側(cè).

(1)若拋物線過點(diǎn)G(2,2),求實(shí)數(shù)m的值.

(2)在(工)的條件下，解答下列問題：

①求△48C的面積.

②在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H,使4H+CH最小，并求出點(diǎn)H的坐標(biāo).

(3)在第四象限內(nèi)，拋物線上是否存在點(diǎn)使得以點(diǎn)48、M為頂點(diǎn)的三角形與/W8C

相似？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

第1題圖

2.如圖，拋物線經(jīng)過八(4,0),B(1,0),C(0,-2)三點(diǎn).

(1)求出拋物線的解析式;

(2)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過P作PM_Lx軸，垂足為M,是否存在P點(diǎn)，使得以4P,

M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說明理由;

(3)在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)D,使得△DCA的面積最大，求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

第2題圖

【答案】

1.解：⑴???拋物線過點(diǎn)G(2,2),

??2=—(2+2)(2-/77),

m

/.m=4.

(2)①y=0,--(x+2)(x-m)=0,

m

解得Xi=-2,X2=m,

又,.，n?=4,>\AB=6.

令x=0,得y=2,.,.6(0,2),

.,.0C=2,

??S/\ARC~~xABxOC=—x6x2=6.第1題解圖①

，拋物線y=(x+2)(x-4)的對(duì)稱軸為x=l,

如解圖①，連接8c交對(duì)稱軸于點(diǎn)H,

由軸對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)可知,

止匕時(shí)AH+CH=BH+CH=BC最小.

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(kwO).

向什「4攵+〃=0七刀/曰k=--

則，c，解得2,

9=21=2

，直線BC的解析式為y=-；x+2.

當(dāng)x=l時(shí)，y=|^二?H(l,).

⑶存在.如解圖②，分兩種情況討論:

(I)當(dāng)ZX/lCBsA7ABM時(shí)，黑=黑第1題解圖②

即AB2=AC-AM.

,：A(-2,0),C(0,2),

即0A=0C=2,

ZCAB=45°,

/.ZBAM=45°.

過點(diǎn)M作MN.Lx軸于點(diǎn)N,

貝ljAN=MN,

.,.0A+0N=2+0N=MN,

???令M(x,-x-2)(x>0),

又???點(diǎn)M在拋物線上，

?,.-x-2=-—(x+2)(x-m),

m

'：x>0,.*.x+2>0,

又,二m〉。,.,.x=2m,

-,?AM=J(2m+2f+(-2m-2)2=2V2(m+1),

AB2=AC-AM,AC=2y