線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1公開課獲獎(jiǎng)?wù)n件

第2章線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型內(nèi)容提要

實(shí)際存在自動(dòng)控制系統(tǒng)可以是電氣、機(jī)械、熱力、化工，甚至是生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等等，然而描述這些系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型卻可以是相似。本章簡(jiǎn)介了系統(tǒng)各類數(shù)學(xué)模型如微分方程，傳遞函數(shù)，方框圖，信號(hào)流圖求取以及它們之間互相關(guān)系。1第1頁(yè)知識(shí)要點(diǎn)線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，非線性特性線性化處理，拉普拉斯變換，傳遞函數(shù)定義，方框圖簡(jiǎn)化，梅遜公式含義和應(yīng)用。2第2頁(yè)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型就是描述系統(tǒng)輸入、輸出及內(nèi)部各變量之間關(guān)系數(shù)學(xué)表達(dá)式。數(shù)學(xué)模型表達(dá)有多種時(shí)域中常用數(shù)學(xué)模型有微分方程、差分方程和狀態(tài)方程；復(fù)域中有傳遞函數(shù)、構(gòu)造圖和信號(hào)流圖；頻域中有頻率特性等。建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型重要措施：分析法和試驗(yàn)法。3第3頁(yè)目錄§2.1線性系統(tǒng)微分方程§2.2微分方程線性化§2.3傳遞函數(shù)§2.4方框圖§2.5信號(hào)流圖小結(jié)4第4頁(yè)§2.1線性系統(tǒng)微分方程（1）分析系統(tǒng)工作原理，將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，確定系統(tǒng)和環(huán)節(jié)輸入、輸出變量，每個(gè)環(huán)節(jié)可考慮列寫一種方程；（2）根據(jù)各變量所遵照基本定律(物理定律、化學(xué)定律)或通過試驗(yàn)等措施得出基本規(guī)律，列寫各環(huán)節(jié)原始方程式，并考慮合適簡(jiǎn)化和線性化；（3）將各環(huán)節(jié)方程式聯(lián)立，消去中間變量，最終得出只含輸入、輸出變量及其導(dǎo)數(shù)微分方程；（4）將輸出變量及各階導(dǎo)數(shù)放在等號(hào)左邊，將輸入變量及各階導(dǎo)數(shù)放在等號(hào)右邊，并按降冪排列，最終將系統(tǒng)歸化為具有一定物理意義形式，成為原則化微分方程。5第5頁(yè)例2-1試列寫圖中所示RC無源網(wǎng)絡(luò)微分方程。輸入為ui(t)，輸出為u0(t)。解根據(jù)基爾霍夫定理，可列出如下方程：6第6頁(yè)整頓得：令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2則得該網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型是一種二階線性常微分方程。7第7頁(yè)例2-2圖為一彈簧阻尼系統(tǒng)，當(dāng)外力F(t)作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)將產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)。試列寫外力F(t)與位移y(t)之間微分方程。

8第8頁(yè)解彈簧和阻尼器有對(duì)應(yīng)彈簧阻力F1(t)和粘性摩擦阻力F2(t)，根據(jù)牛頓第二定律有：其中F1(t)和F2(t)可由彈簧、阻尼器特性寫出式中k——彈簧系數(shù)

f——阻尼系數(shù)9第9頁(yè)整頓且原則化令稱為時(shí)間常數(shù)；稱為阻尼比；稱為放大系數(shù)。得10第10頁(yè)一般狀況下，描述線性定常系統(tǒng)輸入與輸出關(guān)系微分方程可寫為:或返回11第11頁(yè)§2.2微分方程線性化實(shí)際物理系統(tǒng)往往有間隙、死區(qū)、飽和等非線性特性，嚴(yán)格地講，任何一種元件或系統(tǒng)都不一樣樣程度地具有非線性特性。線性系統(tǒng)理論已經(jīng)相稱成熟，但非線性系統(tǒng)理論還遠(yuǎn)不完善。在研究系統(tǒng)時(shí)盡量將非線性在合理、也許條件下簡(jiǎn)化為線性問題，即將非線性模型線性化。12第12頁(yè)當(dāng)非線性原因?qū)ο到y(tǒng)影響較小時(shí)，一般可直接將系統(tǒng)當(dāng)作線性系統(tǒng)處理。此外，假如系統(tǒng)變量只發(fā)生微小偏移，則可通過切線法進(jìn)行線性化，以求得其增量方程式。13第13頁(yè)非線性函數(shù)線性化，是指將非線性函數(shù)在工作點(diǎn)附近展開成泰勒級(jí)數(shù)，忽視掉高階無窮小量及余項(xiàng)，得到近似線性化方程，來替代本來非線性函數(shù)。14第14頁(yè)假如元件輸出與輸入之間關(guān)系x2=f(x1)曲線如圖，元件工作點(diǎn)為(x10，x20)。將非線性函數(shù)x2=f(x1)在工作點(diǎn)(x10，x20)附近展開成泰勒級(jí)數(shù)

15第15頁(yè)當(dāng)(x1－x10)為微小增量時(shí)，可略去二階以上各項(xiàng)，寫成其中

為工作點(diǎn)(x10，x20)處斜率，即此時(shí)以工作點(diǎn)處切線代替曲線，得到變量在工作點(diǎn)增量方程，經(jīng)上述處理后，輸出與輸入之間就成為線性關(guān)系。

16第16頁(yè)例:如圖所示為一鐵芯線圈電路，其磁通Φ與線圈中電流i之間關(guān)系如圖所示，試列寫以u(píng)i為輸入量，i為輸出量電路微分方程。解設(shè)鐵芯線圈磁通變化時(shí)產(chǎn)生感應(yīng)電勢(shì)為根據(jù)基爾霍夫定律可寫出電路微分方程為(2-23)(2-24)圖2-9Φ(i)曲線iΦi0Φ0y00Φ圖2-8鐵芯線圈由圖2-9所示可知，磁通Φ與線圈中電流i之間為非線性關(guān)系，即式(2-24)中系數(shù)dΦ/di隨線圈中電流變化而變化，因此ui與i為非線性關(guān)系。17第17頁(yè)假設(shè)電路原工作在某一平衡狀態(tài)(u0,i0)。當(dāng)工作過程中線圈端電壓和電流只在平衡點(diǎn)附近變化時(shí)，即有式中，是工作點(diǎn)i0處導(dǎo)數(shù)值，為線圈電感L，即(2-27)(2-28)，線圈中磁通Φ對(duì)Φ0也有增量變化ΔΦ，假如Φ在i0附近持續(xù)可微，將Φ在i0附近展開成泰勒級(jí)數(shù)，即因Δi是微小增量，二階以上高階無窮小略去，得近似式(2-25)(2-26)則式(2-27)可寫成(2-29)18第18頁(yè)將系統(tǒng)中ui，i，Φ均表到達(dá)工作點(diǎn)附近增量，即這就是鐵芯線圈增量化方程。為簡(jiǎn)便起見，常略去增量符號(hào)而寫成

(2-32)(2-33)代入式(2-24)，得

(2-30)(2-31)(2-34)L為常值，可見經(jīng)上述處理后，Φ與i非線性關(guān)系（圖2-7）可變成(2-29)線性關(guān)系。

19第19頁(yè)在求取線性化增量方程時(shí)應(yīng)注意：(1)線性化方程一般是以增量方程描述；(2)線性化往往是相對(duì)某一工作點(diǎn)（平衡點(diǎn)）進(jìn)行。工作點(diǎn)不一樣樣，則對(duì)應(yīng)切線斜率不一樣樣，線性化方程系