2020年全國各地中考數(shù)學(xué)壓軸題按題型(幾何綜合)匯編(二)四邊形中的計算和證明綜合(解析版)

2020全國各地中考數(shù)學(xué)壓軸題按題型（幾何綜合）匯編四邊形中的計算和證明綜合題1.（2020安徽）如圖1，已知四邊形ABCD是矩形，點E在BA的延長線上，AE＝AD．EC與BD相交于點G，與AD相交于點F，AF＝AB．（1）求證：BD⊥EC；（2）若AB＝1，求AE的長；（3）如圖2，連接AG，求證：EG﹣DG=2AG【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，點E在BA的延長線上，∴∠EAF＝∠DAB＝90°，又∵AE＝AD，AF＝AB，∴△AEF≌△ADB（SAS），∴∠AEF＝∠ADB，∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，即∠EGB＝90°，故BD⊥EC，（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AE∥CD，∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，∴△AEF∽△DCF，∴AEDC即AE?DF＝AF?DC，設(shè)AE＝AD＝a（a＞0），則有a?（a﹣1）＝1，化簡得a2﹣a﹣1＝0，解得a=1+5∴AE=1+（3）如圖，在線段EG上取點P，使得EP＝DG，在△AEP與△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，∴△AEP≌△ADG（SAS），∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°，∴△PAG為等腰直角三角形，∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG=2AG2.（2020黑龍江七臺河）以Rt△ABC的兩邊AB、AC為邊，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，過點A作AM⊥BC于M，延長MA交EG于點N．（1）如圖①，若∠BAC＝90°，AB＝AC，易證：EN＝GN；（2）如圖②，∠BAC＝90°；如圖③，∠BAC≠90°，（1）中結(jié)論，是否成立，若成立，選擇一個圖形進行證明；若不成立，寫出你的結(jié)論，并說明理由．【解答】解：（1）證明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ACB＝45°，∵AM⊥BC，∴∠MAC＝45°，∴∠EAN＝∠MAC＝45°，同理∠NAG＝45°，∴∠EAN＝∠NAG，∵四邊形ABDE和四邊形ACFG為正方形，∴AE＝AB＝AC＝AG，∴EN＝GN．（2）如圖1，∠BAC＝90°時，（1）中結(jié)論成立．理由：過點E作EP⊥AN交AN的延長線于P，過點G作GQ⊥AM于Q，∵四邊形ABDE是正方形，∴AB＝AE，∠BAE＝90°，∴∠EAP+∠BAM＝180°﹣90°＝90°，∵AM⊥BC，∴∠ABM+∠BAM＝90°，∴∠ABM＝∠EAP，在△ABM和△EAP中，∠ABM=∴△ABM≌△EAP（AAS），∴EP＝AM，同理可得：GQ＝AM，∴EP＝GQ，在△EPN和△GQN中，∠P=∴△EPN≌△GQN（AAS），∴EN＝NG．如圖2，∠BAC≠90°時，（1）中結(jié)論成立．理由：過點E作EP⊥AN交AN的延長線于P，過點G作GQ⊥AM于Q，∵四邊形ABDE是正方形，∴AB＝AE，∠BAE＝90°，∴∠EAP+∠BAM＝180°﹣90°＝90°，∵AM⊥BC，∴∠ABM+∠BAM＝90°，∴∠ABM＝∠EAP，在△ABM和△EAP中，∠ABM=∴△ABM≌△EAP（AAS），∴EP＝AM，同理可得：GQ＝AM，∴EP＝GQ，在△EPN和△GQN中，∠P=∴△EPN≌△GQN（AAS），∴EN＝NG．3.（2020黑龍江綏化）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點G在邊BC上，連接AG，作DE⊥AG于點E，BF⊥AG于點F，連接BE、DF，設(shè)∠EDF＝α，∠EBF＝β，BGBC=（1）求證：AE＝BF；（2）求證：tanα＝k?tanβ；（3）若點G從點B沿BC邊運動至點C停止，求點E，F(xiàn)所經(jīng)過的路徑與邊AB圍成的圖形的面積．【解答】解：（1）證明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AED＝∠BFA＝90°，∴∠ADE+∠DAE＝90°，∵∠BAF+∠DAE＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AE＝BF；（2）在Rt△DEF和Rt△EFB中，tanα=EFDE，tanβ∴tanαtanβ由①可知∠ADE＝∠BAG，∠AED＝∠GBA＝90°，∴△AED∽△GBA，∴AEGB由①可知，AE＝BF，∴BFGB∴BFDE∵BGBC=k，AB＝∴BFDE=∴tanαtanβ=∴tanα＝ktanβ．（3）∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AED＝∠BFA＝90°，∴當(dāng)點G從點B沿BC邊運動至點C停止時，點E經(jīng)過的路徑是以AD為直徑，圓心角為90°的圓弧，同理可得點F經(jīng)過的路徑，兩弧交于正方形的中心點O，如圖．∵AB＝AD＝4，∴所圍成的圖形的面積為S＝S△AOB=14×4×44.（2020湖南長沙）在矩形ABCD中，E為DC邊上一點，把△ADE沿AE翻折，使點D恰好落在BC邊上的點F．（1）求證：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝23，AD＝4，求EC的長；（3）若AE﹣DE＝2EC，記∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，由翻折可知，∠D＝∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠CEF＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）設(shè)EC＝x，由翻折可知，AD＝AF＝4，∴BF=AF∴CF＝BC﹣BF＝2，∵△ABF∽△FCE，∴ABCF∴23∴x=2∴EC=2（3）∵△ABF∽△FCE，∴AFEF∴tanα+tanβ=BF設(shè)AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，∴AE＝DE+2CE＝x+2（a﹣x）＝2a﹣x，∵AD＝AF＝b，DE＝EF＝x，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴BF=b2-a∵AD2+DE2＝AE2，∴b2+x2＝（2a﹣x）2，∴a2﹣ax=14b∵△ABF∽△FCE，∴ABCF∴ax∴a2﹣ax=b2-∴14b2=b2整理得，16a4﹣24a2b2+9b4＝0，∴（4a2﹣3b2）2＝0，∴ba∴tanα+tanβ=BC5.（2020江蘇連云港）（1）如圖1，點P為矩形ABCD對角線BD上一點，過點P作EF∥BC，分別交AB、CD于點E、F．若BE＝2，PF＝6，△AEP的面積為S1，△CFP的面積為S2，則S1+S2＝12；（2）如圖2，點P為?ABCD內(nèi)一點（點P不在BD上），點E、F、G、H分別為各邊的中點．設(shè)四邊形AEPH的面積為S1，四邊形PFCG的面積為S2（其中S2＞S1），求△PBD的面積（用含S1、S2的代數(shù)式表示）；（3）如圖3，點P為?ABCD內(nèi)一點（點P不在BD上），過點P作EF∥AD，HG∥AB，與各邊分別相交于點E、F、G、H．設(shè)四邊形AEPH的面積為S1，四邊形PGCF的面積為S2（其中S2＞S1），求△PBD的面積（用含S1、S2的代數(shù)式表示）；（4）如圖4，點A、B、C、D把⊙O四等分．請你在圓內(nèi)選一點P（點P不在AC、BD上），設(shè)PB、PC、BC圍成的封閉圖形的面積為S1，PA、PD、AD圍成的封閉圖形的面積為S2，△PBD的面積為S3，△PAC的面積為S4，根據(jù)你選的點P的位置，直接寫出一個含有S1、S2、S3、S4的等式（寫出一種情況即可）．【解答】解：（1）如圖1中，過點P作PM⊥AD于M，交BC于N．∵四邊形ABCD是矩形，EF∥BC，∴四邊形AEPM，四邊形MPFD，四邊形BNPE，四邊形PNCF都是矩形，∴BE＝PN＝CF＝2，S△PFC=12×PF×CF＝6，S△AEP＝S△APM，S△PEB＝S△PBN，S△PDM＝S△PFD，S△PCN＝S△PCF，S△ABD＝S∴S矩形AEPM＝S矩形PNCF，∴S1＝S2＝6，∴S1+S2＝12，故答案為12．（2）如圖2中，連接PA，PC，在△APB中，∵點E是AB的中點，∴可設(shè)S△APE＝S△PBE＝a，同理，S△APH＝S△PDH＝b，S△PDG＝S△PGC＝c，S△PFC＝S△PBF＝d，∴S四邊形AEPH+S四邊形PFCG＝a+b+c+d，S四邊形PEBF+S四邊形PHDG＝a+b+c+d，∴S四邊形AEPH+S四邊形PFCG＝S四邊形PEBF+S四邊形PHDG＝S1+S2，∴S△ABD=12S平行四邊形ABCD＝S1+S∴S△PBD＝S△ABD﹣（S1+S△PBE+S△PHD）＝S1+S2﹣（S1+a+S1﹣a）＝S2﹣S1．（3）如圖3中，由題意四邊形EBGP，四邊形HPFD都是平行四邊形，∴S四邊形EBGP＝2S△EBP，S四邊形HPFD＝2S△HPD，∴S△ABD=12S平行四邊形ABCD=12（S1+S2+2S△EBP+2S△HPD）=12（S1+S2）+S△∴S△PBD＝S△ABD﹣（S1+S△EBP+S△HPD）=12（S2﹣S（4）如圖4﹣1中，結(jié)論：S2﹣S1＝S3+S4．理由：設(shè)線段PB，線段PA，弧AB圍成的封閉圖形的面積為x，線段PC，線段PD，弧CD的封閉圖形的面積為y．由題意：S1+x+S4＝S1+y+S3，∴x﹣y＝S3﹣S4，∵S1+S2+x+y＝2（S1+x+S4），∴S2﹣S1＝x﹣y+2S4＝S3+S4．同法可證：圖4﹣2中，有結(jié)論：S1﹣S2=S3+S4圖4﹣3中和圖4﹣4中，有結(jié)論：|S1﹣S2|＝|S3﹣S4|．6.（2020江蘇蘇州）問題1：如圖①，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一點，PA＝PD，∠APD＝90°．求證：AB+CD＝BC．問題2：如圖②，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一點，PA＝PD，∠APD＝90°．求AB+CDBC【解答】證明：（1）∵∠B＝∠APD＝90°，∴∠BAP+∠APB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，∴∠BAP＝∠DPC，又PA＝PD，∠B＝∠C＝90°，∴△BAP≌△CPD（AAS），∴BP＝CD，AB＝PC，∴BC＝BP+PC＝AB+CD；（2）如圖2，過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥BC于F，由（1）可知，EF＝AE+DF，∵∠B＝∠C＝45°，AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠B＝∠BAE＝45°，∠C＝∠CDF＝45°，∴BE＝AE，CF＝DF，AB=2AE，CD=2∴BC＝BE+EF+CF＝2（AE+DF），∴AB+CDBC7.（2020江蘇泰州）如圖，正方形ABCD的邊長為6，M為AB的中點，△MBE為等邊三角形，過點E作ME的垂線分別與邊AD、BC相交于點F、G，點P、Q分別在線段EF、BC上運動，且滿足∠PMQ＝60°，連接PQ．（1）求證：△MEP≌△MBQ．（2）當(dāng)點Q在線段GC上時，試判斷PF+GQ的值是否變化？如果不變，求出這個值，如果變化，請說明理由．（3）設(shè)∠QMB＝α，點B關(guān)于QM的對稱點為B'，若點B'落在△MPQ的內(nèi)部，試寫出α的范圍，并說明理由．【解答】證明：（1）∵正方形ABCD的邊長為6，M為AB的中點，∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，AM＝BM＝3，∵△MBE是等邊三角形，∴MB＝ME＝BE，∠BME＝∠PMQ＝60°，∴∠BMQ＝∠PME，又∵∠ABC＝∠MEP＝90°，∴△MBQ≌△MEP（ASA）；（2）PF+GQ的值不變，理由如下：如圖1，連接MG，過點F作FH⊥BC于H，∵ME＝MB，MG＝MG，∴Rt△MBG≌Rt△MEG（HL），∴BG＝GE，∠BMG＝∠EMG＝30°，∠BGM＝∠EGM，∴MB=3BG＝3，∠BGM＝∠EGM＝60∴GE=3，∠FGH＝60∵FH⊥BC，∠C＝∠D＝90°，∴四邊形DCHF是矩形，∴FH＝CD＝6，∵sin∠FGH=FH∴FG＝43，∵△MBQ≌△MEP，∴BQ＝PE，∴PE＝BQ＝BG+GQ，∵FG＝EG+PE+FP＝EG+BG+GQ+PF＝23+GQ+PF∴GQ+PF＝23；（3）如圖2，當(dāng)點B'落在PQ上時，∵△MBQ≌△MEP，∴MQ＝MP，∵∠QMP＝60°，∴△MPQ是等邊三角形，當(dāng)點B'落在PQ上時，點B關(guān)于QM的對稱點為B'，∴△MBQ≌△MB'Q，∴∠MBQ＝∠MB'Q＝90°∴∠QME＝30°∴點B'與點E重合，點Q與點G重合，∴∠QMB＝∠QMB'＝α＝30°，如圖3，當(dāng)點B'落在MP上時，同理可求：∠QMB＝∠QMB'＝α＝60°，∴當(dāng)30°＜α＜60°時，點B'落在△MPQ的內(nèi)部．8.（2020江蘇無錫）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，點E為邊CD上的一點（與C、D不重合），四邊形ABCE關(guān)于直線AE的對稱圖形為四邊形ANME，延長ME交AB于點P，記四邊形PADE的面積為S．（1）若DE=33，求（2）設(shè)DE＝x，求S關(guān)于x的函數(shù)表達式．【解答】解：（1）當(dāng)DE=3∵AD＝1，∴tan∠AED=3，AE=∴∠AED＝60°，∵AB∥CD，∴∠BAE＝60°，∵四邊形ABCE關(guān)于直線AE的對稱圖形為四邊形ANME，∴∠AEC＝∠AEM，∵∠PEC＝∠DEM，∴∠AEP＝∠AED＝60°，∴△APE為等邊三角形，∴S=34×（233）（2）過E作EF⊥AB于F，由（1）可知，∠AEP＝∠AED＝∠PEA，∴AP＝PE，設(shè)AP＝PE＝a，AF＝ED＝x，則PF＝a﹣x，EF＝AD＝1，在Rt△PEF中，（a﹣x）2+1＝a2，解得：a=x∴S=19.（2020遼寧營口）如圖，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），點E是線段CB延長線上的一個動點，連接AE，過點A作AF⊥AE交射線DC于點F．（1）如圖1，若k＝1，則AF與AE之間的數(shù)量關(guān)系是AF＝AE；（2）如圖2，若k≠1，試判斷AF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并證明；（用含k的式子表示）（3）若AD＝2AB＝4，連接BD交AF于點G，連接EG，當(dāng)CF＝1時，求EG的長．【解答】解：（1）AE＝AF．∵AD＝AB，四邊形ABCD矩形，∴四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∵AF⊥AE，∴∠EAF＝90°，∴∠EAB＝∠FAD，∴△EAB≌△FAD（AAS），∴AF＝AE；故答案為：AF＝AE．（2）AF＝kAE．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°，∴∠FAD+∠FAB＝90°，∵AF⊥AE，∴∠EAF＝90°，∴∠EAB+∠FAB＝90°，∴∠EAB＝∠FAD，∵∠ABE+∠ABC＝180°，∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABE＝∠ADF．∴△ABE∽△ADF，∴ABAD∵AD＝kAB，∴ABAD∴AEAF∴AF＝kAE．（3）解：①如圖1，當(dāng)點F在DA上時，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AD＝2AB＝4，∴AB＝2，∴CD＝2，∵CF＝1，∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1．在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，∴AF=A∵DF∥AB，∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB，∴△GDF∽△GBA，∴GFGA∵AF＝GF+AG，∴AG=2∵△ABE∽△ADF，∴AEAF∴AE=1在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，∴EG=A②如圖2，當(dāng)點F在DC的延長線上時，DF＝CD+CF＝2+1＝3，在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，∴AF=AD∵DF∥AB，∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF，∴△AGB∽△FGD，∴AGFG∵GF+AG＝AF＝5，∴AG＝2，∵△ABE∽△ADF，∴AEAF∴AE=1在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，∴EG=A綜上所述，EG的長為5176或10.（2020山東菏澤）如圖1，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，OA＝OC，OB＝OD+CD．（1）過點A作AE∥DC交BD于點E，求證：AE＝BE；（2）如圖2，將△ABD沿AB翻折得到△ABD'．①求證：BD'∥CD；②若AD'∥BC，求證：CD2＝2OD?BD．【解答】（1）證明：∵AE∥DC，∴∠CDO＝∠AEO，∠EAO＝∠DCO，又∵OA＝OC，∴△AOE≌△COD（AAS），∴CD＝AE，OD＝OE，∵OB＝OE+BE，OB＝OD+CD，∴BE＝CD，∴AE＝BE；（2）①證明：如圖1，過點A作AE∥DC交BD于點E，由（1）可知△AOE≌△COD，AE＝BE，∴∠ABE＝∠AEB，∵將△ABD沿AB翻折得到△ABD'，∴∠ABD'＝∠ABD，∴∠ABD'＝∠BAE，∴BD'∥AE，又∵AE∥CD∴BD'∥CD．②證明：如圖2，過點A作AE∥DC交BD于點E，延長AE交BC于點F，∵AD'∥BC，BD'∥AE，∴四邊形AD'BF為平行四邊形．∴∠D'＝∠AFB，∵將△ABD沿AB翻折得到△ABD'．∴∠D'＝∠ADB，∴∠AFB＝∠ADB，又∵∠AED＝∠BEF，∴△AED∽△BEF，∴AEDE∵AE＝CD，∴CDDE∵EF∥CD，∴△BEF∽△BDC，∴BEEF∴CDDE∴CD2＝DE?BD，∵△AOE≌△COD，∴OD＝OE，∴DE＝2OD，∴CD2＝2OD?BD．11.（2020山東濟寧）如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC，點E，F(xiàn)，G分別在邊BC，CD上，BE＝CG，AF平分∠EAG，點H是線段AF上一動點（與點A不重合）．（1）求證：△AEH≌△AGH；（2）當(dāng)AB＝12，BE＝4時．①求△DGH周長的最小值；②若點O是AC的中點，是否存在直線OH將△ACE分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1：3．若存在，請求出AHAF【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°，∵AC是菱形ABCD的對角線，∴∠ACD=12∠BCD＝60°＝∠∵BE＝CG，∴△ABE≌△ACG（SAS），∴AE＝AG，∵AF平分∠EAG，∴∠EAF＝∠GAF，∵AH＝AH，∴△AEH≌△AGH（SAS）；（2）①如圖1，過點D作DM⊥BC交BC的延長線于M，連接DE，∵AB＝12，BE＝4，∴CG＝4，∴CE＝DG＝12﹣4＝8，由（1）知，△AEH≌△AGH，∴EH＝HG，∴l(xiāng)△DGH＝DH+GH+DG＝DH+HE+8，要是△AEH的周長最小，則EH+DH最小，最小為DE，在Rt△DCM中，∠DCM＝180°﹣120°＝60°，CD＝AB＝12，∴CM＝6，∴DM=3CM＝63在Rt△DME中，EM＝CE+CM＝14，根據(jù)勾股定理得，DE=EM2∴△DGH周長的最小值為251+8②Ⅰ、當(dāng)OH與線段AE相交時，交點記作點N，如圖2，連接CN，∴點O是AC的中點，∴S△AON＝S△CON=12S△∵三角形的面積與四邊形的面積比為1：3，∴S△AON∴S△CEN＝S△ACN，∴AN＝EN，∵點O是AC的中點，∴ON∥CE，∴AHAFⅡ、當(dāng)OH與線段CE相交時，交點記作Q，如圖3，連接AQ，F(xiàn)G，∵點O是AC的中點，∴S△AOQ＝S△COQ=12S△∵三角形的面積與四邊形的面積比為1：3，∴S△COQ∴S△AEQ＝S△ACQ，∴CQ＝EQ=12CE=12（12﹣∵點O是AC的中點，∴OQ∥AE，設(shè)FQ＝x，∴EF＝EQ+FQ＝4+x，CF＝CQ﹣FQ＝4﹣x，由（1）知，AE＝AG，∵AF是∠EAG的角平分線，∴∠EAF＝∠GAF，∵AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴FG＝EF＝4+x，過點G作GP⊥BC交BC的延長線于P，在Rt△CPG中，∠PCG＝60°，CG＝4，∴CP=12CG＝2，PG=3CP＝∴PF＝CF+CP＝4﹣x+2＝6﹣x，在Rt△FPG中，根據(jù)勾股定理得，PF2+PG2＝FG2，∴（6﹣x）2+（23）2＝（4+x）2，∴x=8∴FQ=85，EF＝4∵OQ∥AE，∴AHAF即AHAF的值為12或12.（2020四川南充）如圖，邊長為1的正方形ABCD中，點K在AD上，連接BK，過點A，C作BK的垂線，垂足分別為M，N，點O是正方形ABCD的中心，連接OM，ON．（1）求證：AM＝BN．（2）請判定△OMN的形狀，并說明理由．（3）若點K在線段AD上運動（不包括端點），設(shè)AK＝x，△OMN的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（寫出x的范圍）；若點K在射線AD上運動，且△OMN的面積為110，請直接寫出AK【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABM+∠CBM＝90°，∵AM⊥BM，CN⊥BN，∴∠AMB＝∠BNC＝90°，∴∠MAB+∠MBA＝90°，∴∠MAB＝∠CBM，∴△ABM≌△BCN（AAS），∴AM＝BN；（2）△OMN是等腰直角三角形，理由如下：如圖，連接OB，∵點O是正方形ABCD的中心，∴OA＝OB，∠OBA＝∠OAB＝45°＝∠OBC，AO⊥BO，∵∠MAB＝∠CBM，∴∠MAB﹣∠OAB＝∠CBM﹣∠OBC，∴∠MAO＝∠NBO，又∵AM＝BN，OA＝OB，∴△AOM≌△BON（SAS），∴MO＝NO，∠AOM＝∠BON，∵∠AON+∠BON＝90°，∴∠AON+∠AOM＝90°，∴∠MON＝90°，∴△MON是等腰直角三角形；（3）在Rt△ABK中，BK=AK∵S△ABK=12×AK×AB=1∴AM=AK?AB∴BN＝AM=x∵cos∠ABK=BM∴BM=AB?AB∴MN＝BM﹣BN=∵S△OMN=14MN2∴y=x2-2x+14x2+4（當(dāng)點K在線段AD上時，則110解得：x1＝3（不合題意舍去），x2=1當(dāng)點K在線段AD的延長線時，同理可求y=x2-2x+14x2∴110解得：x1＝3，x2=1綜上所述：AK的值為3或13時，△OMN的面積為113.（2020浙江杭州）如圖，在正方形ABCD中，點E在BC邊上，連接AE，∠DAE的平分線AG與CD邊交于點G，與BC的延長線交于點F．設(shè)CEEB=λ（λ＞（1）若AB＝2，λ＝1，求線段CF的長．（2）連接EG，若EG⊥AF，①求證：點G為CD邊的中點．②求λ的值．【解答】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAG＝∠F，又∵AG平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAG，∴∠EAG＝∠F，∴EA＝EF，∵AB＝2，∠B＝90°，點E為BC的中點，∴BE＝EC＝1，∴AE=A∴EF=5∴CF＝EF﹣EC=5-（2）①證明：∵EA＝EF，EG⊥AF，∴AG＝FG，在△ADG和△FCG中∠D=∠GCF∠AGD=∠FGC∴△ADG≌△FCG（AAS），∴DG＝CG，即點G為CD的中點；②設(shè)CD＝2a，則CG＝a，由①知，CF＝DA＝2a，∵EG⊥AF，∠GDF＝90°，∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，∴∠EGC＝∠F，∴△EGC∽△GFC，∴ECGC∵GC＝a，F(xiàn)C＝2a，∴GCFC∴ECGC∴EC=12a，BE＝BC﹣EC＝2a-12∴λ=CE14.（2020浙江金華）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABOC的兩直角邊分別在坐標(biāo)軸的正半軸上，分別過OB，OC的中點D，E作AE，AD的平行線，相交于點F，已知OB＝8．（1）求證：四邊形AEFD為菱形．（2）求四邊形AEFD的面積．（3）若點P在x軸正半軸上（異于點D），點Q在y軸上，平面內(nèi)是否存在點G，使得以點A，P，Q，G為頂點的四邊形與四邊形AEFD相似？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．【解答】（1）證明：如圖1中，∵AE∥DF，AD∥EF，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC＝AB＝OC＝OB，∠ACE＝∠ABD＝90°，∵E，D分別是OC，OB的中點，∴CE＝BD，∴△CAE≌△ABD（SAS），∴AE＝AD，∴四邊形AEFD是菱形．（2）解：如圖1中，連接DE．∵S△ADB＝S△ACE=12×8×4S△EOD=12×4×4∴S△AED＝S正方形ABOC﹣2S△ABD﹣S△EOD＝64﹣2×16﹣8＝24，∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48．（3）解：如圖1中，連接AF，設(shè)AF交DE于K，∵OE＝OD＝4，OK⊥DE，∴KE＝KD，∴OK＝KE＝KD＝22，∵AO＝82，∴AK＝62，∴AK＝3DK，①當(dāng)AP為菱形的一邊，點Q在x軸的上方，有圖2，圖3兩種情形：如圖2中，設(shè)AG交PQ于H，過點H作HN⊥x軸于N，交AC于M，設(shè)AM＝t．∵菱形PAQG∽菱形ADFE，∴PH＝3AH，∵HN∥OQ，QH＝HP，∴ON＝NP，∴HN是△PQO的中位線，∴ON＝PN＝8﹣t，∵∠MAH＝∠PHN＝90°﹣∠AHM，∠PNH＝∠AMH＝90°，∴△HMA∽△PNH，∴AMNH∴HN＝3AM＝3t，∴MH＝MN﹣NH＝8﹣3t，∵PN＝3MH，∴8﹣t＝3（8﹣3t），∴t＝2，∴OP＝2ON＝2（8﹣t）＝12，∴P（12，0）．如圖3中，過點H作HI⊥y軸于I，過點P作PN⊥x軸交IH于N，延長BA交IN于M．同法可證：△AMH∽△HNP，∴AMHN=MHPN=∴PN＝3MH＝3t，∴AM＝BM﹣AB＝3t﹣8，∵HI是△OPQ的中位線，∴OP＝2IH，∴HIHN，∴8+t＝9t﹣24，∴t＝4，∴OP＝2HI＝2