空間解析幾何基礎(chǔ)知識演示文稿

空間解析幾何基礎(chǔ)知識演示文稿22三月20231當(dāng)前1頁，總共31頁。22三月20232（優(yōu)選）空間解析幾何基礎(chǔ)知識當(dāng)前2頁，總共31頁。第一節(jié)空間解析幾何基礎(chǔ)知識

第六章一、空間直角坐標系二、常見的空間曲面與方程三、平面區(qū)域的概念及其解析表示當(dāng)前3頁，總共31頁。一、空間直角坐標系

在空間中取定一點O,過O點作三條相互垂直的數(shù)軸Ox,Oy,Oz,取定正方向,各軸上再規(guī)定一個共同的單位長度,這就構(gòu)成了一個空間直角坐標系,記為Oxyz,并稱O為坐標原點,稱數(shù)軸Ox,Oy,Oz為坐標軸.當(dāng)前4頁，總共31頁。

稱由兩坐標軸決定的平面為坐標平面,簡稱xOy,yOz,zOx平面.當(dāng)前5頁，總共31頁。

對于空間直角坐標系,我們采用右手系.所謂右手系是指將右手的拇指、食指和中指伸成相互垂直的形狀,若拇指、食指分別指向x軸、y軸正向時,中指正好指向z軸方向.當(dāng)前6頁，總共31頁。

設(shè)給定空間中一點M,過點M作三個平行于坐標平面的平面,它們與x,y,z軸分別交于點P、Q、R,其所在坐標軸上的坐標分別為x,y,z.

我們稱與點M對應(yīng)的三個有序的實數(shù)為點M的坐標,記為M=M(x,y,z)其中x,y,z分別稱為點M的橫坐標、縱坐標、豎坐標,或稱為x坐標、y坐標、z坐標.當(dāng)前7頁，總共31頁。

三個坐標平面將空間分成八塊,每一塊叫做一個卦限,我們將八個卦限編號,在上半空間為I,II,II,IV,在它們的下方分別為V,VI,VII,VIII.當(dāng)前8頁，總共31頁。

對于空間中任意兩點A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)之間的距離為當(dāng)前9頁，總共31頁。

特別地,空間中任意一點M(x,y,z)到原點O的距離為當(dāng)前10頁，總共31頁。二、常見的空間曲面與方程

空間中的任意曲面S都是點的幾何軌跡.凡位于這一曲面上的點的坐標x,y,z都要滿足一個三元方程F(x,y,z)=0(7.3)

而不在這個曲面上的點的坐標都不滿足方程(7.3).我們稱方程(7.3)為曲面S的方程.曲面S的幾何圖形稱為方程(7.3)的圖形.下面來解決關(guān)于曲面的兩個基本問題:1.巳知曲面的幾何軌跡,建立曲面的方程當(dāng)前11頁，總共31頁。例1

求球心在點半徑為R的球面方程.特別地,以原點為球心,R為半徑的球面方程為當(dāng)前12頁，總共31頁。例2一動點M(x,y,z)與兩定點A(-1,0,4)和B(1,2,-1)的故M(x,y,z)的軌跡方程xoz面的方程為y=0

距離相等,求此動點M的軌跡方程.(即A、B兩點連線的垂直平分面的方程)為因xy平面上任意一點的坐標滿足z=0；而凡滿足z

=0的點又都在xy平面上；故坐標平面的方程分別為xoy面的方程為z

=0yoz面的方程為x=0當(dāng)前13頁，總共31頁。平行于xy面的平面方程為z=c(c為常數(shù),表示此平面平行于yz面的平面方程為x=a(a為常數(shù),表示此平面

平行于xz面的平面方程為y=b(b為常數(shù),表示此平面Ax+By+Cz+D=0

重要結(jié)論:

平面方程均為一次方程.

其中A、B、C、D均為常數(shù),且A、B、C不全為0.在z軸上的截距)在y軸上的截距)在x軸上的截距)一般地,x,y,z的三元一次方程所表示的圖形均是平面.

空間平面方程的一般形式為當(dāng)前14頁，總共31頁。2.已知曲面的方程,研究方程的圖形通常情況下,三元方程的圖形為一張空間曲面;至于會得出曲面S的全貌——這種方法稱為一、二元方程的圖形,則應(yīng)由具體的坐標系而定.一般的三元方程，通常很難立即想出其圖形的形狀.但若依次用平行于坐標面的平面x=a、y=b和z=c去截曲面S，則可得一系列的截口曲線；再將它們綜合起來就例考察下列的圖形方程:“平行截口”法.當(dāng)前15頁，總共31頁。解用平面z=c(c≥0)去截曲面,其截痕為圓當(dāng)c=0時,只有原點(0,0,0)滿足此方程；若用平面x=a或y=b去截曲面,其截痕為當(dāng)c>0時,其截痕為以(0,0,c)為圓心,顯然c越大，其截痕圓越大.zyOx以半徑為R的圓.拋物線.故曲面是一個旋轉(zhuǎn)拋物面(如圖).當(dāng)前16頁，總共31頁。1.平面空間平面方程的一般形式為ax+by+cz+d=0(7.4)其中a,b,c,d為常數(shù),且a,b,c不全為零.例如,當(dāng)a=b=d=0,而c≠0時,得平面方程z=0,也就是xOy平面.若a≠0,b≠0,c=d=0時,得平面方程ax+by=0.該平面垂直與xOy平面,且z軸在該平面上.

常見的空間曲面主要有平面、柱面、二次曲面等.當(dāng)前17頁，總共31頁。2.柱面

設(shè)L是空間中的一條曲線,與給定動直線l沿曲線L平行的移動所得的空間曲面稱為柱面,L稱為柱面的準線,動直線l稱為柱面的母線.當(dāng)前18頁，總共31頁。

柱面的準線不是唯一的,柱面上與所有母線都相交的曲線都可作為準線.我們只討論母線與坐標軸平行的柱面.設(shè)L是xOy平面上方程為f(x,y)=0的曲線,在空間,曲線L可以用聯(lián)立方程組表示.當(dāng)前19頁，總共31頁。

例如x2+y2=R2表示空間的一個圓柱面,它的母線平行于Oz軸,準線是xOy平面上的圓.當(dāng)前20頁，總共31頁。

方程x2－y2=1表示母線平行于Oz軸,準線為雙曲線的雙曲柱面.當(dāng)前21頁，總共31頁。方程y2=2px表示拋物柱面.當(dāng)前22頁，總共31頁。3.二次曲面三元二次方程a1x2+a2y2+a3z2+b1xy+b2yz+b3zx+c1x+c2y+c3z+d=0(7.5)所表示的空間曲面稱為二次曲面,其中ai,bi,ci(i=1,2,3)和d均為常數(shù),且ai,bi不全為零.(1)球面x2+y2+z2=R2(R>0)(7.6)當(dāng)前23頁，總共31頁。(2)橢球面當(dāng)a=b=c=R時,即為球面.當(dāng)前24頁，總共31頁。(3)單葉雙曲面當(dāng)前25頁，總共31頁。(4)雙葉雙曲面當(dāng)前26頁，總共31頁。(5)二次錐面(6)橢圓拋物面當(dāng)前27頁，總共31頁。(7)雙曲拋物面(馬鞍面)當(dāng)前28頁，總共31頁。例7.1

求球面方程x2+y2+z2－4x+6y+8z=0的球心和半徑.解用配方法將原方程改寫為(x－2)2+(y+3)2+(z+4)2－29=0即所以球心坐標為(2,－3,－4),半徑.當(dāng)前29頁，總共31頁。三、平面區(qū)域的概念及其解析表示

設(shè)P0(x0,y0)是xOy平面上的一定點,δ>0為一實數(shù),以P0為圓心,以δ為半