全等三角形輔助線做法講義

全等三角形問題中常見的輔助線的作法巧添輔助線 倍長(zhǎng)中線【夯實(shí)根底】例：AABC中，AD是/BAC的平分線，且BD=CD,方法1:作DE^AB于E,作DF^AC于F,證明二次全等方法2:輔助線同上，利用面積D方式1:延長(zhǎng)AD到E,使D方式1:延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,連接BE方式2：間接倍長(zhǎng)CEANC作CFXAD于F,延長(zhǎng)MD到N,使DN=MD,作BEXAD使DN=MD,連接BE連接連接BE.word.zl.且BE=AC,延長(zhǎng)BE且BE=AC,延長(zhǎng)BE交AC于F,【經(jīng)典例題】例1：4ABC中，AB=5，AC=3，求中線AD的取值圍例2：在4ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長(zhǎng)線上，DE交BBC于F，且DF=EF，求證：BD=CE例3:在4ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn),求證：AF=EF提示：倍長(zhǎng)AD至G,連接BG,證明ABDGWACDA三角形BEG是等腰三角形例4：：如圖，在AABC中，AB豐AC，D、E在BC上，且DE=EC，過口作DF//BA交AE于點(diǎn)F,DF=AC.求證：AE平分/BAC

提示：方法1:倍長(zhǎng)AE至G,連結(jié)DG方法2:倍長(zhǎng)FE至H,連結(jié)CHAA例5:CD=AB,/BDA=/BAD,AE是4人8口的中線,求證：/C=/BAE提示：倍長(zhǎng)AE至F，連結(jié)DF證明AABEWAFDE〔SAS〕進(jìn)而證明AADFWAADC〔SAS〕【融會(huì)貫穿】1、在四邊形ABCD中，AB//DC,E為BC邊的中點(diǎn)，/BAE=/EAF,AF與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F。試探究線段點(diǎn)F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系提示：延長(zhǎng)AE、DF交于G證明AB=GC、AF=GF所以AB=AF+FC.word.zl.2、如圖，AD為AABC的中線，DE平分/BDA交AB于E,DF平分3、：如圖，AABC中，ZC=90°,CMLAB于M,AT平分/BAC交CM于D,交BC于T，過D作ABCDE//AB交BC于E,求證：CT=BE.ABC提示：過T作TN，AB于N證明ABTNWAECD截長(zhǎng)補(bǔ)短法引輔助線思路：當(dāng)或求證中涉及到線段a、b、c有以下情況時(shí)：值士白二匚，如直接證不出來，可采用截長(zhǎng)法:在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于較短線段；補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短線段和較長(zhǎng)線段相等，這兩種方法放在一起叫截長(zhǎng)補(bǔ)短法。通過線段的截長(zhǎng)補(bǔ)短，構(gòu)造全等把分散的條件集中起來。例1.如圖，4ABC中，/ACB=2/B,/1=/2。求證：AB=AC+CD.word.zl.

CD證法二〔截長(zhǎng)法〕延長(zhǎng)AC至點(diǎn)F,使得AF=AB，AB=AC+CD在4ABD和4AFD中在AB上截取AE=AC,連結(jié)DE??./ACB=2/B/.△AED^AACD[SAS]+/距氏CD證法二〔截長(zhǎng)法〕延長(zhǎng)AC至點(diǎn)F,使得AF=AB，AB=AC+CD在4ABD和4AFD中在AB上截取AE=AC,連結(jié)DE??./ACB=2/B/.△AED^AACD[SAS]+/距氏ZAC￡=2Z5而/ACB=/F+/FDC，/F=/FDC.'.AB=AE+EB=AC+DC「,2/3=&十/EUB：.ZB=Z.EDB"HR=ED=DC例2.如圖，在Rt^ABC中，AB=AC,/BAC=90°,/1=/2,而AF=AC+CF，AF=AC+CD在AAED和AACD中/.△ABD^AAFD[SAS].??/B=/FZl=Z2??./ACB=2/F：.DE=DC,/AED=/C證法一〔補(bǔ)短B法〕Zl=Z2AD=AD.word.zl.CE^BD交BD的延長(zhǎng)線于E,證明：BD=2CE。分析：這是一道證明一條線段等于另一條線段的2倍的問題，可構(gòu)造線段2CE,轉(zhuǎn)化為證兩線段相，再證△ABDW^ACF,等的問題，分別延長(zhǎng)BA，CE交于F,證，再證△ABDW^ACF,#BD=CFO1、如圖，AABC中,AB=2AC,AD平分/BAC，且AD=BD求證：1、如圖，AABC中,AB=2AC,AD平分/BAC，且AD=BD求證：CDXAC2、如圖，AC//BD,EA,EB分別平分/CAB,/DBA,CD過點(diǎn)求證;AB=AC+BDC3、4、.word.zl..:如圖，4ABC中，AD平分/BAC,假設(shè)/C=2/B,證明：AB=AC+CD..:如圖，4ABC中，/A=60°,/B與/C的平分線BE,CF交于點(diǎn)1,求證：BC=BF+CE..:如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，BF平分/CBE交CD于F,求證：BE=CF+AE.向截其向截其與角平分線有關(guān)的輔助線角平分線具有兩條性質(zhì)：3、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。①從角平分線上一點(diǎn)兩邊作垂線；②利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形〔如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上取短邊〕。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線;

它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和條件?！?〕截取構(gòu)全等F,并連接D如圖1-1,/AOC=/BOC,如取F,并連接D如圖1-1,/AOC=/BOC,如取OE=OE、D我等那么有AOEOFD，從而為明線段、角相了條件。例1.如圖1-2,AB//CD,BE平分例1.如圖1-2,AB//CD,BE平分/ABC,CE平分/BCD,點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD。簡(jiǎn)證：在此題中可在長(zhǎng)線段BC上截取BF=AB,再證明CF=CD,從而到達(dá)證明的目的。這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。另外一個(gè)全等自已證明。此題的證明也可以延長(zhǎng)BE與CD的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)來證明。自已試一試。例2.:如圖1-3,AB=2AC,/BAD=/CAD,DA=DB,求證DC,AC分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。圖1-4

圖1-4例3.:如圖1-4,在4ABC中，/C=2/B,AD平分/BAC,求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長(zhǎng)的線段上截取短的線段，來證明。練習(xí).在4ABC中，AD平分/BAC,/B=2/C,求證：AB+BD=AC.:在4ABC中，/CAB=2/B,AE平分/CAB交BC于E,AB=2AC,求證：AE=2CE.：在4ABC中，AB>AC,AD為/BAC的平分線，M為AD上任一點(diǎn)。求證：BM-CM>AB-AC.：D是4ABC的/BAC的外角的平分線AD上的任一點(diǎn)，連接D圖2-1圖2-2B、DC。求證：BD+CD>AB+AC。圖2-1圖2-2〔2〕、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。例1.如圖2-1,AB>AD,/BAC=/FAC,CD=BC。求證：/ADC+/B=180分析：可由C向/BAD的兩邊作垂線。近而證/ADC與/B之和為平角。例2.如圖2-2,在4ABC中，/A=90,AB=AC,/ABD=/CBD。.word.zl.

求證：BC=AB+AD分析：過D作DE，BC于E,那么AD=DE=CE,那么構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。例3.如圖2-3,4ABC的角平分線8乂、相交于點(diǎn)口。求證：/BAC的平分線也經(jīng)過點(diǎn)口。分析：連接AP,證AP平分/BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等練習(xí):圖2-4D.如圖2-4/AOP=/BOP=15,PC//OA,PD^OA,如果P圖2-4DC=4,那么PD=〔 〕A4B3c2D1.在AABC中，/C=90,AD平分/CAB,CD=1.5,DB=2.5.求AC。.：如圖2-5,/BAC=/CAD,AB>AD,CE±AB,1AE=2〔AB+AD〕.求證：/D+/B=180。.:如圖2-6，在正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC上的點(diǎn)，/FAE=/DAE。求證：AF=AD+CF。.word.zl.

.:如圖2-7,在Rt^ABC中，/ACB=90?？?，人8,垂足為口，人日平分/CAB交CD于F,過F作FH//AB交BC于H。求證CF=BH。DEB圖2-6DEB圖2-6F圖2-7〔3〕、作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，那么截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)?！踩绻}目中有垂直于角平分線的線段，那么延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交〕。例1.:如圖3-1,/BAD=/DAC,AB>AC,CD，AD于D,H是〔3〕、作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，那么截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)?！踩绻}目中有垂直于角平分線的線段，那么延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交〕。例1.:如圖3-1,/BAD=/DAC,AB>AC,CD，AD于D,H是BC中1點(diǎn)。求證：DH=1〔AB-AC〕2分析：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)日，那么可得全等三角形。問題可證。例2.:如圖3-2,AB=AC,/BAC=90,AD為/ABC的平分線，CELBE.求證：BD=2CE。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，可延長(zhǎng)此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3.:如圖3-3在4ABC中，AD、AE分別/BAC的、外角平分線，過頂點(diǎn)B作BN垂直AD,交AD的延長(zhǎng)線于F,連結(jié)FC并延長(zhǎng)交AE于M。求證：AM=ME。分析：由AD、AE是/BAC外角平分線，可得EA，AF,從.word.zl.而有BF//AE,所以想到利用比例線段證相等。例4.:如圖3-4,在4ABC中，AD平分/BAC,AD=AB,CM1LAD交AD延長(zhǎng)線于M。而有BF//AE,所以想到利用比例線段證相等。例4.:如圖3-4,在4ABC中，AD平分/BAC,AD=AB,CM1LAD交AD延長(zhǎng)線于M。求證：AM=1〔AB+AC〕2分析：題設(shè)中給出了角平分線AD,自然想到以AD為軸作對(duì)稱變1換，作4人8口關(guān)于AD的對(duì)稱△人日口，然后只需證DM=1日*另外21由求證的結(jié)果AM=1〔人8+人^,即2AM二人8+人*也可嘗試作△ACM關(guān)于CM的對(duì)稱AFCM,2然后只需證DF=CF即可。練習(xí):1.:在4ABC中，AB=5,AC=3,D是BC中點(diǎn)，AE是/BAC的平分線，且CELAE于E,連接DE,求DE。2.BE、BF分別是AABC的/ABC的角與外角的平分線，AFLBF于F,AELBE于日，連接EF分別交AB、AC于M、N,求證MN=1BC2〔4〕、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線B圖4-2而也例4如圖，AB>AC,/1=/2,求證：AB—AC>BD—CD.word.zl.

例5如圖，BC>BA,BD平分/ABC,且AD=CD,求證：/A+/C=180。A例6如圖，AB//CD,AE、DE分別平分/BAD各/ADE,A求證：練習(xí)：求證：.，如圖，/C=2/A,AC=2BC。求證：4ABC是直角三角形。.:如圖，AB=2AC,/1=/2,DA=DB,求證：DC±AC.CE、AD是4ABC的角平分線，/B=60°4.:如圖在4ABC中，/A=90°分線，求證：BC=AB+AD,AB=AC,BD是/ABC的平(5)、且垂直一線段，應(yīng)想到、角平分線等腰三角形的中線例6.如圖7,AABC是等腰直角三角形，/BAC=90°,BD平分/ABC交AC于點(diǎn)D,CE垂直于BD,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)日。求證：BD=2CE。證明：延長(zhǎng)BA,CE交于點(diǎn)F，在ABEF和ABEC中，.「/1=/2,BE=BE,/BEF=/BEC=90°,??.△BEFWABEC,，EF=EC,從而CF=2CE。又/1+/F=/3+/F=90°,故/1=/3。在AABD和??.AACF中，???/1=/3,AB=AC,/BAD=/CAF=90°,AABDWAACF,，BD=CF,，BD=2CE。注：此例中BE是等腰△BCF的底邊CF的中線?！擦?、借助角平分線造全等1：如圖，在4ABC中，/B=60°,4ABC的角